對(duì)2021年一道高考題目的深入研究

王振民

(山東省東平縣東原實(shí)驗(yàn)學(xué)校 271500)

原創(chuàng)題目命制的流程，一般是先要明確考查的知識(shí)，在命題者固有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過邏輯推理，借助數(shù)學(xué)軟件，進(jìn)行相應(yīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，經(jīng)過反復(fù)驗(yàn)證、修證、查重等過程，最終形成一道新的題目．原創(chuàng)題要滿足題目敘述的完整性、簡(jiǎn)潔性與準(zhǔn)確性，提供的答案要滿足知識(shí)考查的全面性與解題過程的一般性、多樣性，滿足答案最終結(jié)果的簡(jiǎn)單性．一道比較成功的數(shù)學(xué)原創(chuàng)題，考查的知識(shí)與方法要有極強(qiáng)的針對(duì)性，同種形式的問題考查不同的知識(shí)與方法，最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)題目全面考查知識(shí)的作用．多問之間有所銜接，達(dá)到多一問則簡(jiǎn)，少一問則繁的目的．

2021年新高考數(shù)學(xué)22題的第(2)問，左側(cè)不等式屬于極值點(diǎn)偏移問題，直接構(gòu)造φ(x)=f(x)-f(2-x)即可，而對(duì)于右側(cè)不等式來說，答案給出的方法是構(gòu)造g(x)=f(x)-f(e-x)，同一個(gè)題目中的兩個(gè)不等式證明，雖然具體證明過程不完全一樣，但是證明的數(shù)學(xué)思想與方法相同，這對(duì)于一道高考題目來說是令人驚訝的．筆者根據(jù)自己長(zhǎng)年命題的經(jīng)驗(yàn)知道，當(dāng)命題人命制出一道題目后，命題人提供的解題方法最能體現(xiàn)命題人的命制過程與命制思想．當(dāng)題目被廣大的教師與學(xué)生解答后，會(huì)呈現(xiàn)出更多的出乎命題人意料的解法．本文大膽揣測(cè)命題人命制題目的題源與過程，給出對(duì)應(yīng)的解法，并加以推廣．

1 沿波討源

1.1 切線放縮

題目1(2015年天津理20)已知函數(shù)f(x)=nx-xn，x∈R，其中n∈N*,n≥2．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x)，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f(x)≤g(x)；

圖1

設(shè)y=a與兩條切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4，如圖1所示，易證得x3

則|x2-x1|<|x4-x3|.

總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為x1,x2，與函數(shù)峰值兩側(cè)的切線交點(diǎn)C,D的橫坐標(biāo)分別為x3,x4，則AB

1.2 割線放縮

題目2(2020年寧陽縣第一中學(xué)高三段考題)已知f(x)=xlnx與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，其橫坐標(biāo)分別為x1,x2(x1

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)求證：x2-x1>ae+1．

圖2

分析如圖2，x2-x1表示線段AB的長(zhǎng)度，通過圖象可以看出，可以將線段AB適當(dāng)縮短為長(zhǎng)度為ae+1的線段．

因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的，故可以考慮割線放縮.

設(shè)直線y=a與兩條割線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4，且x3

易證得x1

易解得x3=-a，x4=ae-a+1.

故x4-x3=ae+1.

所以x2-x1>ae+1成立．

總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為x1,x2，與函數(shù)峰值兩側(cè)的割線交點(diǎn)C,D的橫坐標(biāo)分別為x3,x4，則AB>CD，即|x2-x1|>|x4-x3|．

題目1利用的是切線放縮，題目2利用的是割線放縮，能否在一個(gè)題目中同時(shí)利用切線與割線放縮呢？

2 切、割線放縮的綜合應(yīng)用

題目3(2021年新高考數(shù)學(xué)22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

所以f(x1)=f(x2)=t.只需要證明x1+x2

函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)為P(1,1)，與x軸的交點(diǎn)為E(e,0)．如圖3，割線OP方程為y=x，過點(diǎn)E的切線方程為y=-x+e．

設(shè)直線y=t與割線、切線的交點(diǎn)分別為x3,x4.

易證得x1

則x1+x2

易解得x3=t，x4=e-t.

所以x3+x4=e.于是x1+x2

圖3

總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2，在函數(shù)峰值兩側(cè)分別作割線、切線，直線y=a與割線、切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4，則x1+x2x3+x4．

高考題的精彩之處就是在學(xué)生具備的知識(shí)與方法的基礎(chǔ)上再提高，既著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，又有較高的思維含量，考查學(xué)生的發(fā)散性思維與創(chuàng)新能力．我相信本題的命制是命題人研究切線放縮與割線放縮時(shí)兩種思想方法碰撞的結(jié)果．

3 高考題目變式

3.1 切割線放縮

變式1 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

如圖4，圖象是上凸的，所以可以通過切線將x1縮小，通過割線將x2縮?。?/p>

設(shè)y=a與切線、割線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4，易證得x3≤x1，x4

則x1+x2>x3+x4．

圖4

3.2 切線放縮

變式2 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

分析因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的，證明關(guān)于f(x)與y=a交點(diǎn)的距離小于某個(gè)值的不等式，可以考慮切線放縮．

直線y=a與兩條切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4，易證得x1≥x3，x2

所以x2-x1

圖5

3.3 割線放縮

變式3 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)存在兩個(gè)不等的正數(shù)x1,x2(x1e(1-a)．

分析因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的，證明關(guān)于f(x)與y=a交點(diǎn)的距離大于某個(gè)值的不等式，可以考慮割線放縮．

兩條割線與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4，易證得x1

則x2-x1>x4-x3．

易解得x3=a，x4=a(1-e)+e.

則x4-x3=e(1-a).

于是x2-x1>e(1-a)得證．

圖6

4 切割線放縮應(yīng)用的推廣

在直線x=1的右側(cè)，顯然過點(diǎn)P的割線部分在曲線f(x)的上方，部分在曲線f(x)的下方，無法實(shí)現(xiàn)x2的有效放大，故放棄割線放縮．

因?yàn)閤3>x1，所以x2-x1>x2-x3=x2-ae>2-2ae，得x2>2-ae．

則x2-x1>x4-x3．

解得x4=2-ae.

所以x4-x3=2-2ae.

于是x2-x1>2-2ae得證.

圖7

圖8

即x3,x4(x3

令h(x)=xlnx-2x+e，則h′(x)=lnx-1，所以h(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+∞)上單調(diào)遞增．

因?yàn)閒(e)=1-ae≠0，

所以h(x)的定義域?yàn)?0,e)∪(e,+∞)，

可得h(x)>h(e)=0.

因?yàn)間(x3)=g(x4)=0，

所以x1

則x2-x1>x4-x3．

總結(jié)深刻理解切割線放縮的思想，在此基礎(chǔ)上，可以推廣到一般直線放縮(推廣1)與曲線放縮(推廣2)，進(jìn)一步豐富高中數(shù)學(xué)放縮方法．

筆者認(rèn)為，在利用切線放縮的題目出現(xiàn)后，衍生了題目2的割線放縮，而題目3正是深入汲取了兩個(gè)題目的營(yíng)養(yǎng)成份，綜合應(yīng)用了切線放縮與割線放縮，題目的設(shè)計(jì)形式常見，設(shè)計(jì)思維含量高，解題方法水到渠成，挖掘了學(xué)生潛能，真正起到了選拔人才的作用．筆者在三道題目的基礎(chǔ)上，給出了相應(yīng)的變式，同時(shí)加以推廣，使題目的應(yīng)用視野更加開闊．