萬有引力與宇宙航行的知識(shí)概括與典型題解析

張巖松

(山東省泰安第十九中學(xué) 271000)

1 內(nèi)容概括

萬有引力與宇宙航行的內(nèi)容可以高度的概括為一條思路、二套公式、三種速度.

1.1 一條思路

衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)和行星繞恒星的運(yùn)動(dòng)都看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力.

1.2 兩套公式

天上一條龍.

地上一只蟲.

1.3 三種速度

1.3.1 第一宇宙速度

衛(wèi)星在地球的赤道面內(nèi)做近地勻圓的速度.

∴v1=7.9km/s.

解得：v1=7.9km/s.

第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，也是最小的發(fā)射速度.

1.3.2 第二宇宙速度

衛(wèi)星脫離地球束縛的最小速度.大小是v2=11.2km/s.

當(dāng)衛(wèi)星的速度大于11.2km/s時(shí)，將會(huì)脫離地球的束縛，成為太陽的行星.第二宇宙速度被稱為“脫離速度”.

注意：當(dāng)衛(wèi)星的速度7.9km/s

1.3.3 第三宇宙速度

衛(wèi)星脫離太陽束縛的最小速度是v3=16.7km/s.

當(dāng)衛(wèi)星的速度大于16.7km/s時(shí)，將會(huì)脫離太陽的束縛，跑到銀河系中去.第三宇宙速度被稱為“逃逸速度”.

2 常見題型及解析

這章知識(shí)常見的典型題型有三種：同步衛(wèi)星問題；雙星問題；衛(wèi)星變軌問題.

2.1 同步衛(wèi)星問題

同步衛(wèi)星在地球的赤道面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力.

①

②

由①②可以得出結(jié)論：高軌低速長(zhǎng)周期.

關(guān)于同步衛(wèi)星問題的六個(gè)一定:

(1)角速度一定.

(2)周期一定.

(3)線速度的大小一定.

(4)線速度的方向一定.

(5)向心加速度的大小一定.

(6)衛(wèi)星離地的高度一定.

例1同步衛(wèi)星相對(duì)地面靜止，猶如懸在高空中，下列說法不正確的是( ).

A.同步衛(wèi)星處于平衡狀態(tài)

B.同步衛(wèi)星的速率是唯一的

C.同步衛(wèi)星加速度大小是唯一的

D.各國(guó)的同步衛(wèi)星都在同一圓周上運(yùn)行.

解由上面的結(jié)論可知：BCD都正確.故應(yīng)選A.

例2已知地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度大小為v1，向心加速度大小為a1，近地衛(wèi)星線速度大小為v2，向心加速度大小為a2，地球同步衛(wèi)星線速度大小為v3，向心加速度大小為a3，設(shè)近地衛(wèi)星距地面高度不計(jì)，同步衛(wèi)星距地面高度約為地球半徑的6倍.則以下結(jié)論正確的是( ).

解答案應(yīng)選CD.

結(jié)論赤道上的物體和近地衛(wèi)星之間的距離雖然只有毫厘之距，但大小卻有天壤之別.

2.2 雙星問題與多星問題

2.2.1 雙星問題

被相互引力系在一起，互相繞轉(zhuǎn)的兩顆星就叫物理雙星.雙星是繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的一對(duì)恒星.兩恒星類似于一個(gè)無形的桿連接著.

有三個(gè)結(jié)論：

(1)兩恒星的半徑之和等于兩恒星之間的距離.

(2)周期相同.

(3)彼此之間的萬有引力提供各自的向心力.

例3雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng).研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為( ).

解答案選B.

2.2.2 多星問題

例4宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用.設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為r，四顆星穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，如圖1所示.已知引力常量為G.關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法錯(cuò)誤的是(忽略星體自轉(zhuǎn))( ).

圖1

A.四顆星圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

解答案應(yīng)選B.

小結(jié)無論是雙星還是多星，解題思路是相同的.任意一顆星的向心力都是其它星對(duì)它的萬有引力的合力提供的；然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)確定軌道半徑；最后根據(jù)萬有引力提供向心力列方程求解即可.

2.2.3 衛(wèi)星變軌問題

例5發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3.軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，如圖2所示.當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法中正確的是( ).

圖2

A.衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率；

B.衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度；

C.衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速率小于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)的速率；

D.衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速率小于它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速率.

解答案應(yīng)選BCD.

小結(jié)衛(wèi)星不論是在橢圓軌道上運(yùn)行，還是在圓形軌道上運(yùn)行，只要位置相同，所受的萬有引力是相同的，從而向心加速度相同.但是由于曲率半徑不同，導(dǎo)致線速度大小不同，這是這類變軌問題分析、求解的突破口.

《萬有引力與宇宙航行》這章知識(shí)說穿了就是研究了一種特殊的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為什么說它特殊呢？因?yàn)檫@種圓周運(yùn)動(dòng)在天上，而且做圓周運(yùn)動(dòng)的物體不是我門常見的小球、小車、滑塊等.這種圓周運(yùn)動(dòng)看不見、摸不著，很抽象.因此，雖然還是一種勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但實(shí)踐證明，學(xué)生學(xué)習(xí)這一章的知識(shí)會(huì)感到很困難，很迷茫.另外，造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難的原因還有一個(gè)，就是相似的、容易混淆的概念比較多，譬如中心天體、環(huán)繞天體；軌道半徑、星體的球體半徑；自轉(zhuǎn)周期、公轉(zhuǎn)周期等等.再者，這部分題目有的涉及的運(yùn)算量很大，不容易計(jì)算出結(jié)果；有的運(yùn)算量倒是不大，但是涉及的字母比較多，容易混淆.但是不管怎么變，萬變不離其宗，歸根結(jié)底它還是一種勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而且萬有引力提供向心力.然后從上面提到的“一條龍”中選取其中一個(gè)公式，而且在這五個(gè)公式中那個(gè)方便選那個(gè)，最后列方程求解即可.掌握這一點(diǎn)，就能夠以不變應(yīng)萬變.