平面向量數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用

陳喜楊

(福建省莆田第六中學(xué) 351111)

高考中對(duì)平面向量數(shù)量積最值題目的考查常用其幾何意義，這種題型涉及的條件通常是一個(gè)向量已知、另一個(gè)向量運(yùn)動(dòng)變化，考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，以及學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的思想分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，不但有數(shù)的特征，而且有形的特點(diǎn)，是把代數(shù)與幾何很好地連接起來(lái)的紐帶，是數(shù)形結(jié)合的天然橋梁，向量中的很多問(wèn)題常常借助于圖形的幾何性質(zhì)，可以給抽象的運(yùn)算以直觀的解釋，顯得簡(jiǎn)捷方便.通過(guò)向量數(shù)量積解決問(wèn)題使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)各知識(shí)之間的滲透，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性、概括性和應(yīng)用性，從而提高學(xué)生解題的正確率.

1 從幾何角度理解平面向量數(shù)量積的定義

平面向量數(shù)量積的公式：a·b=|a|·|b|cosθ，其中θ=，|b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，因此投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量.當(dāng)θ=0°時(shí)投影為|b|，當(dāng)θ為銳角時(shí)投影為正，當(dāng)θ=90°時(shí)投影為0，當(dāng)θ為鈍角時(shí)投影為負(fù)，當(dāng)θ=180°時(shí)投影為-|b|.故平面向量數(shù)量積a·b的幾何意義是：向量a的長(zhǎng)度|a|與向量b在向量a方向上的投影|b|cosθ的乘積.

平面向量數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，屬高考?？純?nèi)容.利用平面向量數(shù)量積可以解決長(zhǎng)度問(wèn)題、夾角問(wèn)題、垂直問(wèn)題以及平行問(wèn)題等.

2 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

2.1基底與數(shù)量積的綜合應(yīng)用

當(dāng)長(zhǎng)度已知、向量夾角已知時(shí)，首先考慮用向量的三角形法則和平行四邊形法則，選擇兩個(gè)長(zhǎng)度已知、夾角已知的向量為基底來(lái)表示要求的向量，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義求解.

圖1 圖2

2.2 平面幾何知識(shí)與數(shù)量積的幾何意義的融合

幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容之一，在向量數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用中，整合了數(shù)學(xué)中的代數(shù)運(yùn)算和幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng).

圖3

因?yàn)镺為△ABC的外心,所以△ABC為直角三角形且∠BAC=90°.

評(píng)注此題出現(xiàn)了三角形外心的條件，要能根據(jù)外心的條件直接聯(lián)想到一些學(xué)過(guò)的平面幾何的知識(shí)，并學(xué)以致用、聯(lián)想推理從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.題目中的已知條件反映了圖形的幾何性質(zhì),通過(guò)圖形使得幾何條件及各數(shù)量之間的關(guān)系得以直觀地呈現(xiàn)出來(lái).

2.3 平面向量的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化思想

向量數(shù)量積常用的方法之一是轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化思想是指在解題時(shí)根據(jù)題目中的已知條件，結(jié)合定義、圖象、性質(zhì)或者公式把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們能解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而達(dá)到解題的目的.這個(gè)過(guò)程通常是把未知轉(zhuǎn)化為已知、抽象轉(zhuǎn)化為具體、復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，使我們能夠用已學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決遇到的問(wèn)題.

圖4

此題使用了數(shù)量積的幾何意義，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)直觀想象作出圖象，使問(wèn)題具體化、可視化，考查學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的遷移和應(yīng)用.對(duì)比兩種解法，由于本題是填空題，小題小做，故將數(shù)量積的幾何意義聯(lián)系數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解，計(jì)算量較小，用到的知識(shí)點(diǎn)較少，更方便得出結(jié)果，而且也更容易判斷出取最大值時(shí)點(diǎn)P的位置.

2.4 數(shù)量積幾何意義在求數(shù)量積取值范圍的應(yīng)用

解析分別過(guò)點(diǎn)F，C作FM⊥AB，CN⊥AB交直線AB于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)F，C在直線AB上的投影分別為點(diǎn)M，N.

如圖5，根據(jù)正六邊形圖形的性質(zhì)，得∠FAB=∠CBA=120°,故AM=BN=1.

圖5

向量是高中很多知識(shí)點(diǎn)之間的一個(gè)連接點(diǎn)，是聯(lián)系各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的橋梁，是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容之一，發(fā)揮著舉足輕重的作用.復(fù)雜背景下求向量數(shù)量積的最大值、最小值,關(guān)鍵是挖掘隱含條件來(lái)達(dá)到已知與未知的轉(zhuǎn)化，化數(shù)為形，從而解決問(wèn)題.