高中數(shù)學(xué)解題中向量法的運(yùn)用

陳蘇平

(江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué) 211200)

運(yùn)用向量法解答高中數(shù)學(xué)習(xí)題的難點(diǎn)在于如何根據(jù)已知條件構(gòu)建合理的向量，因此教學(xué)中應(yīng)注重給予學(xué)生運(yùn)用向量法解題的引導(dǎo)，而后要求學(xué)生靈活運(yùn)用向量的幾何及其坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)順利地求解相關(guān)習(xí)題，使學(xué)生親身體會(huì)用向量法解題的簡(jiǎn)便之處.

1 向量法用于解答三角函數(shù)習(xí)題

解析由題意可設(shè)m=(cosα，sinα)，n=(cosβ，sinβ)，則m+n=(cosα+cosβ，sinα+sinβ).

又因?yàn)?≤|m+n|≤|m|+|n|，

點(diǎn)評(píng)應(yīng)用向量法解答三角函數(shù)習(xí)題時(shí)，既要注重利用三角函數(shù)的相關(guān)公式以及一些隱含條件，又要根據(jù)已知條件運(yùn)用向量構(gòu)建不等關(guān)系.

2 向量法用于解答不等式習(xí)題

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用向量法求解不等式習(xí)題具有一定的技巧性，可根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)以及已知條件構(gòu)建相關(guān)向量，而后運(yùn)用向量與其模之間的關(guān)系進(jìn)行求解.

3 向量法用于解答平面幾何習(xí)題

解析建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系：

圖1

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用向量法求解幾何問(wèn)題時(shí)，通常構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算簡(jiǎn)化解題步驟，提高解題效率.

4 向量法用于解答立體幾何習(xí)題

例4如圖2，已知三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC為直角，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°.若B1C=2，求二面角B1-CC1-A的余弦值.

圖2 圖3

設(shè)n2=(x2，y2，z2)為平面B1CC1的法向量,

設(shè)二面角B1-CC1-A的平面角為θ，則

點(diǎn)評(píng)解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建正確的空間直角坐標(biāo)系，找到線、面相關(guān)的向量以及法向量，而后通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算求解.

5 向量法用于解答直線與圓習(xí)題

點(diǎn)評(píng)向量法與幾何知識(shí)有著密切的聯(lián)系，因此，解題時(shí)應(yīng)注重熟練運(yùn)用向量知識(shí)并借助數(shù)形結(jié)合的思想，更加直觀地尋找相關(guān)點(diǎn)、線段之間的關(guān)系，達(dá)到化難為易，迅速解題的目的.

6 向量法用于解答數(shù)列習(xí)題

所以an-1+an+1=1-λ，1-an=λ.

所以an-1+an+1+1-an=1.

所以an-1+an+1=an，an+an+2=an+1，an-1+an+1+an+2=an+1.則an-1+an+2=0，an+an+3=0，an+3+an+6=0.所以an=an+6.

數(shù)列{an}是以6為周期的數(shù)列，因?yàn)閍1=a2=1，所以a3=a2-a1=0，a4=a3-a2=-1，a5=a4-a3=-1，a6=a5-a4=0.

所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=0.

因?yàn)?021=6×336+5，

所以S2021=S5=0.

點(diǎn)評(píng)向量常作為工具解答高中數(shù)學(xué)相關(guān)習(xí)題，尤其當(dāng)遇到向量與數(shù)列相結(jié)合的習(xí)題時(shí)，應(yīng)注重積極聯(lián)系所學(xué)的向量結(jié)論迅速地找到解題切入點(diǎn).

7 向量法用于解答圓錐曲線習(xí)題

解析由雙曲線離心率定義可知，

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用向量法解答圓錐曲線習(xí)題并注重靈活運(yùn)用向量的相關(guān)運(yùn)算，同時(shí)還應(yīng)注重對(duì)要求解的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，運(yùn)用換元法降低計(jì)算復(fù)雜度，確保問(wèn)題得以順利突破.