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    一道競賽試題的多角度探索

    2022-04-01 11:19:56彭光焰
    數(shù)理化解題研究 2022年7期
    關(guān)鍵詞:利用

    彭光焰

    (湖北省廣水市一中 432700)

    1 一道賽題

    題目(2012年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題第9題)如圖1,ABCD中,AB=x,BC=1, 對角線AC與BD的夾角∠BOC=45°,記直線AB與CD的距離為h(x).求h(x)的表達(dá)式,并寫出x的取值范圍.

    圖1

    此題短小精悍,內(nèi)涵十分豐富,解法多樣,命題者真是匠心獨(dú)運(yùn),是值得研究的一道好題,下面給出本題的多種解法,其中解法7是命題者給出的參考答案,解法11是文[1]所給的,剩余10種解法是筆者給出的.

    2 解法探析

    2.1 利用解直角三角形

    解法1作DF⊥AB于點(diǎn)F,CE⊥AB于點(diǎn)E,如圖2,設(shè)DF=CE=t.

    圖2

    而S=tx=4S△BOC,

    4x2t2=(x2-1)2,

    解法2 如圖3,過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,則ΔBEO為直角三角形.

    圖3

    設(shè)OE=BE=m,EC=n

    因?yàn)锽C=1,所以m2+n2=1.

    在Rt△ABE中,

    AE=AO+OE=2m+n,

    x2=AB2

    =AE2+BE2

    =(2m+n)2+m2

    =4m2+4mn+(m2+n2)

    =4m2+4mn+1,

    又S=2S△ABC,

    DF·x=m(2m+2n),

    解法3 如圖3,設(shè)AC=2a,BD=2b,

    在Rt△ABE和RtΔBCE中,由勾股定理,得

    又S=xh(x),

    S=2S△ABC

    =AC×BE

    2.2 利用兩角和的三角函數(shù)

    解法4如圖2,設(shè)∠CAB=β,∠ABD=α,則α+β=45°.

    設(shè)BE=y,CE=n,

    則AF=BE=y,DF=CE=n.

    在Rt△BCE中,n2+y2=1,

    即y2=1-n2.

    即x2-2x-1≤0,

    而h(x)>0,

    即x2-1>0,x>1,x<-1.

    2.3 利用余弦定理

    解法5 如圖2,設(shè)AC=2a,BD=2b,則OC=a,OB=b,并設(shè)h(x)=t.

    在△BOC中,由余弦定理,得

    在Rt△ACE和Rt△BDF中,由勾股定理得,

    因?yàn)镾=xt,

    而0

    解法6 由解法5所設(shè),在△BOC和△AOB中,分別由余弦定理可得,

    又S=4S△BOC,

    解法7 由平行四邊形對角線平方和等于四條邊的平方和得

    在△OBC中,由余弦定理,得

    BC2=OB2+OC2-2OB·OCcos∠BOC,

    S=4S△OBC

    解法8 如圖4,設(shè)AO=OC=a,BO=OD=b,h(x)=t.

    圖4

    在Rt△BEO中,∠BOC=45°,

    在△BOC和△AOB中由余弦定理,得

    2.4 利用平面向量

    又因?yàn)?/p>

    S=h(x)·x,

    解法10 如圖5,以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.于是B(x,0).

    圖5

    又AD=BC=1,故m2+n2=1.

    2.5 利用平面解幾何

    解法11 如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系,于是B(x,0),然后利用直線的到角公式來求解.

    設(shè)∠DAB=θ(0<θ<π),

    于是D(cosθ,sinθ),C(cosθ+x,sinθ),h(x)=sinθ.

    再設(shè)AC,BD所在直線的斜率分別為k1,k2,且k1,k2均存在.

    根據(jù)到角公式,

    將k1,k2代入上式,

    解法12 建立如圖6所示平面直角坐標(biāo)系.

    由已知條件可知,可設(shè)(a,a),B(b,0),則A(-a,-a).

    圖6

    由兩點(diǎn)式可得直線AB的方程為

    ax-(a+b)y-ab=0.

    則h(x)就是點(diǎn)C到直線AB的距離,即

    又|AB|2=x2,

    即x2=(a+b)2+a2,

    |BC|2=12,

    即1=(a-b)+a2,

    x2-1=4ab.

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