兩相低速非達(dá)西滲流模型及相對(duì)滲透率曲線求取方法

趙國(guó)忠，董大鵬，肖魯川

（1.中國(guó)石油大慶油田有限責(zé)任公司勘探開發(fā)研究院，黑龍江大慶 163712；2.黑龍江省油層物理與滲流力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江大慶 163712）

在將達(dá)西定律應(yīng)用于石油領(lǐng)域的過程中，兩相相對(duì)滲透率曲線的獲取是個(gè)重要環(huán)節(jié)。1959 年，JOHNSON 等建立了利用巖心一維非穩(wěn)定流驅(qū)替數(shù)據(jù)求取兩相相對(duì)滲透率曲線的方法［1-2］，已被石油行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)所采用，適用于滲透率大于5 mD的巖樣。

流體在特低滲透-致密油藏中的流動(dòng)并不遵從達(dá)西定律［3-4］。閆慶來(lái)等依據(jù)低滲透巖心單相滲流實(shí)驗(yàn)結(jié)果推測(cè)，當(dāng)壓力梯度較小時(shí)滲流速度和壓力梯度呈曲線關(guān)系［5］，通過將近似直線段延長(zhǎng)交于壓力梯度軸上而得到擬啟動(dòng)壓力梯度，可以構(gòu)建擬啟動(dòng)壓力梯度模型［6］。然而，如何把單相流模型推廣到多相流尚未形成廣泛認(rèn)同的做法，通常把單相流擬啟動(dòng)壓力梯度直接用于多相流［7-10］，但這種做法缺乏實(shí)驗(yàn)和理論依據(jù)。開展兩相非達(dá)西穩(wěn)定流實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，兩相流體整體的擬啟動(dòng)壓力梯度并不等于單相時(shí)的值，且與含水率有關(guān)［11-13］。在此認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上建立了兩相非達(dá)西滲流模型，認(rèn)為兩相情況下不同相的擬啟動(dòng)壓力梯度相等且受控于空氣滲透率和相分流率（或飽和度）［14］。目前為止，基于擬啟動(dòng)壓力梯度依賴含水率的兩相非達(dá)西滲流模型的相對(duì)滲透率曲線求取方法尚未嚴(yán)格建立起來(lái)［15-17］。

以兩相低速非達(dá)西穩(wěn)定流實(shí)驗(yàn)為依據(jù)，分析各相擬啟動(dòng)壓力梯度相等假設(shè)的合理性，給出油水兩相非達(dá)西滲流模型，并采用JBN方法的思路，從源頭出發(fā)嚴(yán)格給出非達(dá)西情況下理論推導(dǎo)的條件，依據(jù)恒速法非穩(wěn)定流驅(qū)替實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立求取兩相低速非達(dá)西滲流相對(duì)滲透率曲線的方法。

1 油水兩相低速非達(dá)西穩(wěn)定流實(shí)驗(yàn)

采用穩(wěn)態(tài)法，對(duì)大慶油田特低滲透巖心進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，研究油水兩相的滲流特征。實(shí)驗(yàn)條件包括：實(shí)驗(yàn)溫度為45 ℃；實(shí)驗(yàn)用油為模擬油，45 ℃時(shí)黏度為9.426 mPa·s；實(shí)驗(yàn)用水為質(zhì)量分?jǐn)?shù)為3%的KCl 溶液，45 ℃時(shí)黏度為0.639 mPa·s。

實(shí)驗(yàn)步驟如下：①對(duì)巖樣依次進(jìn)行抽真空飽和水、稱重、測(cè)定孔隙體積、油驅(qū)造束縛水。②在束縛水飽和度下改變5 次不同的油相滲流速度，記錄穩(wěn)定時(shí)的壓差，測(cè)定束縛水時(shí)油相擬啟動(dòng)壓力梯度。③依次改變油水流速比為4∶1，1∶1，1∶4，在每一個(gè)油水流速比下改變5 次總的滲流速度，記錄穩(wěn)定時(shí)的壓差，測(cè)定不同流速比下的油水?dāng)M啟動(dòng)壓力梯度。④水驅(qū)至殘余油，在殘余油飽和度下改變5 次不同的水相滲流速度，記錄穩(wěn)定時(shí)的壓差，測(cè)定殘余油時(shí)水相擬啟動(dòng)壓力梯度。

應(yīng)用上述方法測(cè)試得到7塊巖樣不同含水率下的擬啟動(dòng)壓力梯度，由巖樣參數(shù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果（表1）可見，同一巖樣在不同含水率下的擬啟動(dòng)壓力梯度明顯不同。所以兩相情況下擬啟動(dòng)壓力梯度不能直接使用單相的測(cè)試結(jié)果，必須考慮含水率的影響。隨著含水率的增加，3號(hào)和4號(hào)巖樣的擬啟動(dòng)壓力梯度呈現(xiàn)先增后降的規(guī)律；而對(duì)于其他樣品，雖然中間有個(gè)別波動(dòng)，但總體也是呈現(xiàn)先增后降的變化趨勢(shì)。

表1 不同含水率下的擬啟動(dòng)壓力梯度Table1 Pseudo threshold pressure gradient at different water cut

應(yīng)用表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果，建立最大擬啟動(dòng)壓力梯度與空氣滲透率的關(guān)系式，對(duì)每塊巖樣的擬啟動(dòng)壓力梯度進(jìn)行歸一化處理，最終得到油水兩相滲流時(shí)擬啟動(dòng)壓力梯度的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式為：

對(duì)于不同空氣滲透率巖樣，（1）式可用于計(jì)算油水兩相流體在任意含水率下的擬啟動(dòng)壓力梯度。此關(guān)系式并非普適的和唯一的，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)增多或巖石、流體類型改變，可重復(fù)以上步驟得到不同的近似解析關(guān)系式，且所得關(guān)系式只能用于油水兩相低速非達(dá)西滲流模型之中?；诓煌臐B流模型也會(huì)得到不同的關(guān)系式，但顯然不可互用。曾有學(xué)者采用類似的實(shí)驗(yàn)方法得到兩相啟動(dòng)壓力梯度與含水飽和度的線性關(guān)系［18-19］，但所用巖樣與本文實(shí)驗(yàn)不同，且如何從不同流速下兩相穩(wěn)定流實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到兩相啟動(dòng)壓力梯度的方法不詳。因其考慮的是二次非線性滲流，其應(yīng)用也必須基于這種滲流模型而建立起來(lái)的滲流理論，但目前還未形成相應(yīng)的完整理論體系。

2 油水兩相低速非達(dá)西滲流模型

兩相低速非達(dá)西穩(wěn)定流動(dòng)規(guī)律可描述為：兩相不可壓縮流體按一定比例通過巖石介質(zhì)時(shí)總流速與壓力梯度的關(guān)系，其表達(dá)式為：

由于油、水按一定比例通過，等價(jià)于水按一定分流率通過，所以水相流速與壓力梯度的關(guān)系為：

由（2）和（3）式知，2 條直線在 ||?p軸上的截距，即擬啟動(dòng)壓力梯度相等。類似的關(guān)系也適用于油相。這就是說(shuō)，在一定的分流率下，各相的擬啟動(dòng)壓力梯度都與兩相總擬啟動(dòng)壓力梯度相等，只是流動(dòng)直線關(guān)系的斜率不同。

既然通過實(shí)驗(yàn)可以在一定的分流率條件下建立兩相低速非達(dá)西穩(wěn)定流，若把實(shí)驗(yàn)巖心看成油藏內(nèi)的單元體，考慮實(shí)驗(yàn)持續(xù)時(shí)間相對(duì)油藏尺度下流體流動(dòng)時(shí)間很短，可以認(rèn)為油藏內(nèi)任一點(diǎn)在一小段時(shí)間內(nèi)的兩相流動(dòng)可以達(dá)到穩(wěn)定。油藏內(nèi)流體的非穩(wěn)定流是由這樣的無(wú)數(shù)穩(wěn)定流構(gòu)成的。其實(shí)達(dá)西條件下的兩相流模型就是在此思想下建立的。因此，有理由假設(shè)兩相低速非達(dá)西滲流各相的擬啟動(dòng)壓力梯度相等，但其值與發(fā)生滲流位置的滲透率和當(dāng)時(shí)的含水率有關(guān)。有學(xué)者在研究?jī)上喾蔷€性滲流啟動(dòng)壓力梯度時(shí)并未區(qū)分各相的啟動(dòng)壓力梯度，已隱含了兩相啟動(dòng)壓力梯度相等的假設(shè)［18］。本文的研究使用的是相擬啟動(dòng)壓力梯度這個(gè)參量，并假設(shè)其相等，這與文獻(xiàn)［18］隱含假設(shè)是類似的，具有同樣的道理。在該假設(shè)條件下，一維均質(zhì)不考慮毛管壓力情況下油水兩相不互溶流體低速非達(dá)西滲流模型可表示為：

選取基準(zhǔn)滲透率為束縛水時(shí)非達(dá)西流條件下的油相有效滲透率，等價(jià)于定義束縛水時(shí)油相相對(duì)滲透率為1，即：

多孔介質(zhì)的滲透率是由達(dá)西定律定義的。須指出的是，在非達(dá)西模型下流動(dòng)不再滿足達(dá)西定律，滲透率的定義也該相應(yīng)作出關(guān)聯(lián)（3）或（4）式且形如（5）式的調(diào)整，才能構(gòu)成完整理論體系，單相的情況也類似。這樣定義的滲透率的量綱不變，且在忽略擬啟動(dòng)壓力梯度時(shí)即為原達(dá)西流時(shí)的定義。

3 油水兩相非達(dá)西滲流情況下JBN方法的適用條件

JBN 方法是建立在巴克利-列維里特前緣推進(jìn)方程和威爾奇積分的基礎(chǔ)之上，利用巖心一維非穩(wěn)定流驅(qū)替數(shù)據(jù)獲取兩相相對(duì)滲透率曲線的方法［1］。由低速非達(dá)西滲流模型（4）式，可得出發(fā)生兩相流動(dòng)條件下含水率的表達(dá)式為：

這表明非達(dá)西滲流情況下水相分流率仍然可表示為含水飽和度的函數(shù)，而黏度比只是參數(shù)，對(duì)于確定的流體其為常數(shù)。考慮不可壓條件，由相連續(xù)性方程和飽和度約束方程仍然可以得到巴克利-列維里特前緣推進(jìn)方程［20］：

（7）式表征了一維驅(qū)替過程中t時(shí)刻含水飽和度為Sw的推進(jìn)規(guī)律。可將其用于橫截面積為A、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維均質(zhì)巖心內(nèi)，忽略毛管壓力的油水兩相不互溶流體低速非達(dá)西驅(qū)替實(shí)驗(yàn)。

忽略毛管壓力是在特定條件下研究滲流單一影響因素的常用做法，也是建立基于非穩(wěn)定流驅(qū)替實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求取相對(duì)滲透率曲線方法的前提條件。在使用驅(qū)替實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求取相對(duì)滲透率曲線的過程中，所涉及的出口端飽和度范圍處于前緣飽和度和殘余油時(shí)水相飽和度之間（這是非穩(wěn)定流法求取相對(duì)滲透率曲線的局限性，達(dá)西流時(shí)也是如此），而入口端飽和度一直等于殘余油時(shí)水相飽和度。日常由特低滲透巖樣退汞曲線可轉(zhuǎn)換得到油水兩相毛管壓力曲線，在此飽和度區(qū)間的毛管壓力一般小于0.1 MPa，遠(yuǎn)低于特低滲透驅(qū)替實(shí)驗(yàn)的驅(qū)替壓差，所以用于研究特低滲透巖心驅(qū)替的模型可忽略毛管壓力。在應(yīng)用本文方法所得相對(duì)滲透率曲線開展油藏工程研究或數(shù)值模擬計(jì)算時(shí)，可根據(jù)具體情況在模型中隨時(shí)考慮毛管壓力、重力等其他項(xiàng)的作用。

對(duì)（7）式積分可得t時(shí)刻含水飽和度為Sw的推進(jìn)距離為：

由（8）式可得t時(shí)刻含水飽和度分布剖面，此剖面存在一個(gè)前緣飽和度Sw*，滿足的條件是［20］：

而剖面上的飽和度范圍為：

由于JBN方法求取的相對(duì)滲透率與含水飽和度的關(guān)系曲線是針對(duì)驅(qū)替實(shí)驗(yàn)出口端，由（10）式知，理論上講JBN 方法只能得到前緣飽和度Sw*后的數(shù)據(jù)點(diǎn)。這一點(diǎn)是無(wú)論達(dá)西流與否都應(yīng)該注意的適用范圍，在此之外都沒有理論依據(jù)，是不可信的。

由（8）式還可看出，在水驅(qū)前緣到達(dá)出口后的任意時(shí)刻，含水飽和度、含水率、含水率導(dǎo)數(shù)和坐標(biāo)x具有一一對(duì)應(yīng)（映射）關(guān)系，即它們之間都是兩兩單值函數(shù)關(guān)系。（8）式用于出口端可得［1］：

為后續(xù)推演方便，（8）式可進(jìn)一步寫成［1］：

基于低速非達(dá)西流模型即（4）式，由于以上諸條件的成立，威爾奇積分仍然成立，亦即存在巖心出口端含水飽和度與平均含水飽和度的關(guān)系為［2］：

平均含水飽和度可依據(jù)驅(qū)替數(shù)據(jù)確定：

而巖心出口端水相分流率或含水率可表示為：

4 油水兩相低速非達(dá)西流相對(duì)滲透率公式及應(yīng)用實(shí)例

JBN 方法的關(guān)鍵是把流動(dòng)方程運(yùn)用于巖心驅(qū)替，通過積分得到巖心兩端壓差與出口端流動(dòng)特征的關(guān)系，并由此定義一個(gè)可稱為相對(duì)注入能力的時(shí)間變量，然后再對(duì)注入孔隙體積倍數(shù)的倒數(shù)，即求導(dǎo)，從而得到出口端相流度與相對(duì)注入能力的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了公式推導(dǎo)及應(yīng)用。

4.1 相對(duì)滲透率曲線計(jì)算公式

由（4）式可把非達(dá)西滲流模型在流動(dòng)發(fā)生時(shí)刻t的水相方程（亦可選油相方程）表示為：

對(duì)（16）式沿巖心長(zhǎng)度積分可得巖心兩端壓差為：

利用（12）式對(duì)（17）式換元可得：

把（4）式用于驅(qū)替開始時(shí)的油相，再考慮（5）式，得：

若驅(qū)替實(shí)驗(yàn)采用恒速法，即v(t)=v(0)且為常數(shù)，則：

定義相對(duì)注入能力為：

則（18）式可表示為：

將（23）式代入（6）式，可求得：

4.2 相對(duì)滲透率曲線求取步驟

綜合兩相非達(dá)西滲流模型及相對(duì)滲透率計(jì)算公式，計(jì)算步驟可歸納為：①由（14）式利用驅(qū)替過程中的產(chǎn)油量數(shù)據(jù)計(jì)算并回歸得到平均含水飽和度與注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)的解析關(guān)系，即。②由（15）式求得出口端含水率與注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)的解析關(guān)系，即。③由（20）式利用前期實(shí)驗(yàn)得到的擬啟動(dòng)壓力梯度經(jīng)驗(yàn)公式λ=λ()fw和驅(qū)替實(shí)驗(yàn)起始?jí)翰钣?jì)算參考?jí)毫μ荻圈藃。④由（21）式利用驅(qū)替過程中的壓差數(shù)據(jù)計(jì)算并回歸得到相對(duì)注入能力與注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)的解析關(guān)系，即。⑤由（23）和（24）式求得出口端兩相相對(duì)滲透率與注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)的解析關(guān)系，即。⑥利用步驟①的結(jié)果由（13）式求得出口端含水飽和度與注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)的解析關(guān)系，即。⑦依據(jù)步驟⑤和⑥得到的解析關(guān)系算出一系列注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)對(duì)應(yīng)的出口端含水飽和度和相對(duì)滲透率，作圖得到兩相相對(duì)滲透率曲線。

以上步驟與達(dá)西流情況的經(jīng)典JBN 方法相比，步驟③是增加的，步驟④和⑤是不同的。

需要指出的是，不同于達(dá)西流的情況，如果未采用恒速法驅(qū)替實(shí)驗(yàn)，則不能由（22）式對(duì)fwe'微分而推導(dǎo)出（23）式。所以非達(dá)西流的相對(duì)滲透率求取須使用恒速法驅(qū)替實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

4.3 相對(duì)滲透率曲線求取實(shí)例

以大慶油田某特低滲透巖心為例驗(yàn)證算法的可行性。實(shí)驗(yàn)基本參數(shù)包括：巖心長(zhǎng)度為8.08 cm，直徑為2.52 cm，孔隙體積為4.92 mL，孔隙度為12.20%，氣測(cè)滲透率為1.131 mD，束縛水飽和度為42.07%，束縛水時(shí)達(dá)西流油相有效滲透率為0.047 6 mD，對(duì)應(yīng)的束縛水時(shí)非達(dá)西流油相有效滲透率即本文所選基準(zhǔn)滲透率為0.051 6 mD，油的黏度為5.20 mPa·s，水的黏度為0.57 mPa·s。所記錄的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表2。

表2 大慶油田某特低滲透巖心實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table2 Experimental data of a ultra-low permeability core from Daqing Oilfield

分別采用本文非達(dá)西流算法和達(dá)西流JBN 方法，計(jì)算得到相對(duì)滲透率曲線，結(jié)果如圖1所示。在計(jì)算過程中，平均含水飽和度與注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)的擬合函數(shù)關(guān)系為：

圖1 非達(dá)西流與達(dá)西流相對(duì)滲透率曲線對(duì)比Fig.1 Comparison between relative permeability curves of non-Darcy flow and Darcy flow

其中，a1=0.592，a2=-0.005 55，a3=0.081 8，a4=1.5。

非達(dá)西流情況下，相對(duì)注入能力與注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)的擬合函數(shù)關(guān)系為：

其中，b1=7.34，b2=0.36，b3=0.766，b4=-0.068 3。

對(duì)于達(dá)西流，考慮與非達(dá)西流情況的對(duì)比需要，基準(zhǔn)滲透率仍然選擇非達(dá)西流條件下的油相有效滲透率，則相對(duì)注入能力應(yīng)為：

達(dá)西流時(shí)相對(duì)注入能力與注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)的擬合函數(shù)關(guān)系式與非達(dá)西流情況相同，但對(duì)應(yīng)的b1=0.684 5，b2=0.033 6，b3=0.766，b4=-0.006 37。

平均含水飽和度及相對(duì)注入能力與注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)的擬合函數(shù)關(guān)系有個(gè)共同的特點(diǎn)，即當(dāng)注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)趨于0或注入孔隙體積倍數(shù)無(wú)窮大時(shí)，擬合函數(shù)的極限存在。這對(duì)相對(duì)滲透率端點(diǎn)值殘余油飽和度及其對(duì)應(yīng)的水相相對(duì)滲透率的確定提供了合理可行的辦法，因?yàn)闅堄嘤惋柡投仁菢O限驅(qū)替條件下的含油飽和度［21-26］，實(shí)驗(yàn)達(dá)不到這個(gè)理想狀態(tài)［27-28］。

計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于特低滲透巖心，考慮兩相滲流擬啟動(dòng)壓力梯度的影響后，油相和水相相對(duì)滲透率在等滲點(diǎn)之前都變高了；在等滲點(diǎn)之后油相近乎相同，而水相略微降低。這里應(yīng)指出，非達(dá)西流相對(duì)滲透率曲線只可以用在基于非達(dá)西流模型的相關(guān)研究或應(yīng)用中；而達(dá)西流相對(duì)滲透率曲線只可以用在基于達(dá)西流模型的相關(guān)研究或應(yīng)用中。二者不應(yīng)混淆。

5 結(jié)論

特低滲透巖心油水兩相滲流時(shí)，總流速與壓力梯度之間表現(xiàn)出明顯的非達(dá)西滲流特征，也存在啟動(dòng)壓力梯度。擬啟動(dòng)壓力梯度隨著含水率的增加，呈現(xiàn)出先增加后降低的變化規(guī)律，依據(jù)兩相低速非達(dá)西穩(wěn)定流實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)擬啟動(dòng)壓力梯度與含水率的關(guān)系曲線進(jìn)行歸一化，為二次多項(xiàng)式關(guān)系。

通過對(duì)兩相低速非達(dá)西穩(wěn)定流實(shí)驗(yàn)結(jié)果的進(jìn)一步分析，論證了一定的分流率下各相擬啟動(dòng)壓力梯度相等假設(shè)的合理性，建立了油水兩相低速非達(dá)西滲流模型。

導(dǎo)出了類似于JBN方法的油水兩相低速非達(dá)西流非穩(wěn)定驅(qū)替相對(duì)滲透率曲線求取方法。新方法考慮了兩相流擬啟動(dòng)壓力梯度的影響，給出了相對(duì)注入能力的新定義及油水相對(duì)滲透率新的計(jì)算公式。該方法僅適用于恒速法非穩(wěn)定流驅(qū)替數(shù)據(jù)。與傳統(tǒng)基于達(dá)西流的JBN 方法相比，所得油相和水相相對(duì)滲透率均有明顯不同。

符號(hào)解釋

A——橫截面積，cm2；

foe——出口端含油率，%；

fw——含水率，%；

fwe——出口端含水率，%；

——注入孔隙體積倍數(shù)倒數(shù)；

fw0——入口端含水率，%；

下標(biāo)i——o,w，分別表示油和水；

K——基準(zhǔn)滲透率，mD；

Ka——空氣滲透率，mD；

Kri(Sw)——相對(duì)滲透率；

Kro——油相相對(duì)滲透率；

Krw——水相相對(duì)滲透率；

Krwe——出口端的水相相對(duì)滲透率；

L——長(zhǎng)度，cm；

m(fw)——受控于fw的系數(shù)，表示直線斜率，即有效流度；

p——壓力，MPa；

?p——壓力梯度，MPa/cm；

Sor——?dú)堄嘤惋柡投龋?/p>

Sw*——前緣飽和度；

Sw——含水飽和度；

Swc——束縛水飽和度；

Swe——水驅(qū)前緣到達(dá)出口后出口端的含水飽和度；

t——時(shí)間，s；

vi——相流速，cm/s；

vo——油相流速，cm/s；

vt——總流速，cm/s；

v(t)——t時(shí)刻總流速，cm/s；

vw——水相流速，cm/s；

V(t)——t時(shí)刻累積注水量，cm3；

Vo(t)——累積出油量，cm3；

Wi——注入孔隙體積倍數(shù)；

x——橫坐標(biāo)，cm；

xsw(t)——推進(jìn)距離，cm；

xswe——對(duì)應(yīng)于出口端的推進(jìn)距離，cm；

λ——擬啟動(dòng)壓力梯度，MPa/cm；

λ(fw)——受控于fw的系數(shù)，表示直線在 ||?p軸上的截距，即擬啟動(dòng)壓力梯度，MPa/cm；

λr——參考?jí)毫μ荻?，常?shù)，MPa/cm；

μi——相黏度，mPa·s；

μo——油相黏度，mPa·s；

μw——水相黏度，mPa·s；

φ——孔隙度，%；

Ω——相對(duì)注入能力。