基于混沌壓縮感知和DNA編碼的多圖像加密算法

杜鑫昌，高瑜翔，曹遠(yuǎn)杰，涂雅培，吳美霖

(成都信息工程大學(xué) 通信工程學(xué)院(微電子學(xué)院)，四川 成都 610225)

0 引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，5G技術(shù)開始逐漸進(jìn)行商用。人們進(jìn)行信息交換的媒介也在發(fā)生著巨大的變化，從最初的文本信息逐漸過渡到圖像信息和視頻信息，從而使信息傳遞過程中所占據(jù)的信道帶寬與信息占據(jù)的存儲空間也越來越大[1]。另外，隨著人們越來越頻繁地進(jìn)行信息交流，如何保證信息的安全性也是所面臨的重要問題[2-3]。

傳統(tǒng)的加密算法已不再適用于加密數(shù)據(jù)量大、冗余度高和相關(guān)性強(qiáng)的數(shù)字圖像信息[4-5]。20世紀(jì)70年代發(fā)展起來的混沌理論為加密算法提供了新的方向，混沌系統(tǒng)的初值與參數(shù)極端敏感性、非周期性和長期演化軌道的不可預(yù)測性與圖像加密系統(tǒng)的密鑰敏感性、密文呈噪聲特性和明文敏感性等特性相對應(yīng)，因此基于混沌系統(tǒng)的密碼產(chǎn)生算法在圖像加密中的應(yīng)用受到了極大的關(guān)注[6]。低維混沌系統(tǒng)雖運(yùn)行速度快、運(yùn)行效率高，但系統(tǒng)初始值少，密鑰空間較小、安全性能較低。高維混沌系統(tǒng)雖然安全性能較高，但由于系統(tǒng)較復(fù)雜，故運(yùn)行效率低[7]。因此，為改善加密方案的性能，需要與其他的加密算法相結(jié)合。

DNA編碼技術(shù)是密碼學(xué)與生物技術(shù)相結(jié)合的新型研究領(lǐng)域。DNA序列不僅組合規(guī)則多樣，而且還存在著較高的并行性以及信息存儲密度高等優(yōu)點(diǎn)[8-9]。因此將DNA編碼技術(shù)與混沌加密系統(tǒng)相結(jié)合能夠有效地改善加密方案的性能。壓縮感知(Compressed Sensing,CS)[10-11]作為一種新的信號采集方法，在遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率的情況下，可以從采樣過程中精確地重建原始信號[12]。對比傳統(tǒng)的采樣方法，壓縮感知在相同采樣值的情況下可以恢復(fù)更多的信息。近幾年來，基于壓縮感知的圖像加密方案的研究是圖像加密領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。

為此，本文提出了一種基于混沌壓縮感知與DNA 編碼的多圖像加密算法。通過混沌方程產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列，構(gòu)建壓縮感知受控測量矩陣及DNA運(yùn)算規(guī)則序列，同時對多幅加密圖像進(jìn)行壓縮加密并合并為一幅密文圖像，在保證信息安全性的前提下，極大地增加了帶寬利用率，節(jié)省了存儲空間。所以，基于混沌壓縮感知與DNA編碼圖像加密技術(shù)具有很好的應(yīng)用前景。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 壓縮感知

壓縮感知是一種新興的信息獲取與處理理論，最早由文獻(xiàn)[12]提出。在遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率的情況下，從采樣樣本中精確地重建原始信號。

壓縮感知的核心思想主要包括3個方面：

(1) 信號的稀疏表示

通常信號都是在時域或者空域中來表示，也可以在其他變換域中通過一些少量元素的組合來近似地表示該信號。信號的稀疏表示是壓縮感知理論的先驗條件，壓縮感知采集處理的信號必須是稀疏的。常見的信號稀疏基包括正(余)弦基、小波基以及chirplet基等[13]。

本文提出的加密方案中采用小波基對圖像做稀疏處理，小波圖像將圖像信號轉(zhuǎn)化為高頻和低頻部分，最低頻的部分給出了圖像的一個粗略尺度近似，然而高頻成分填充了圖像的細(xì)節(jié)部分。以標(biāo)準(zhǔn)測試圖像Lena作為測試圖像，如圖1所示,稀疏圖像中圖像的絕大部分信息分布在左上角部分，其余部分的像素值灰度值幾乎為零。不同剪切率下的稀疏圖像的重建圖像的峰值信噪比(PSNR)如表1所示。由表1可知，選擇性地舍去黑色部分的區(qū)域?qū)τ谛盘栔貥?gòu)的質(zhì)量影響不大。因此，將多幅不同的密文稀疏圖像剪切合并為一幅稀疏圖像，就可以達(dá)到多圖像合并壓縮的效果，如圖2所示。

(a)剪切率為0

(b)剪切率為0.5

(c)剪切率為0.75

表1 不同剪切率下重構(gòu)圖像質(zhì)量分析

(a)合并2幅圖像

(b)合并4幅圖像

(2) 編碼測量(采樣過程)

測量矩陣影響了信號采樣壓縮復(fù)原的效果。測量矩陣包括確定性測量矩陣和隨機(jī)測量矩陣。隨機(jī)矩陣中的高斯矩陣和伯努利矩陣都能夠滿足約束等距條件(RIP)。

RIP定義：定義測量矩陣A的RIP參數(shù)δk為滿足式(1)的最小值δk[10]：

(1)

式中，x為K稀疏信號。若δk<1，則稱測量矩陣A滿足K階RIP[10]。

但是，隨機(jī)矩陣的不確定性和傳輸存儲過程中占據(jù)較大的空間等缺點(diǎn)，難以在實際運(yùn)用中使用。確定性測量矩陣可以很好地克服這些不足，因此很多研究學(xué)者利用其他技術(shù)在構(gòu)造受控的測量矩陣，例如Dimakis,Smarandache和Vontobel利用LDPC校驗矩陣來構(gòu)建測量矩陣；劉鑫吉、夏樹濤采用陣列碼構(gòu)造測量矩陣；LeiYum,Jean Pierre Barbot采用混沌序列構(gòu)造測量矩陣[14]。

(3) 恢復(fù)算法(非線性)

壓縮感知的重構(gòu)問題的求解是一個非凸優(yōu)化問題，屬于NP難問題。由低維M維的矢量求解高維N維的矢量，是一個欠定問題的求解。常見的壓縮感知恢復(fù)算法包括：匹配追蹤算法、正交匹配追蹤算法、分段正交匹配追蹤算法和壓縮采樣匹配追蹤算法等來重構(gòu)原始信號[13]。

1.2 混沌映射

1.2.1 超混沌Lorenz系統(tǒng)

超混沌Lorenz系統(tǒng)是Lorenz混沌系統(tǒng)的一種演變。主要定義如下：

(2)

當(dāng)a=-10,b=8/3,c=28且-1.52≤r≤-0.06時，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。

1.2.2 Chen氏超混沌系統(tǒng)

陳氏混沌系統(tǒng)與Lorenz系統(tǒng)相似，但不拓?fù)涞葍r而且更加復(fù)雜。定義如下：

(3)

式中，a，b，c，d，k是系統(tǒng)參數(shù)，a=36，b=3，c=28，d=16，-0.7≤k≤0.7。Chen系統(tǒng)進(jìn)入超混沌系統(tǒng)，可以生成4條混沌序列。

1.3 DNA基本理論

在生物學(xué)中，每條DNA分子鏈包含4種核酸堿基：A，C，G，T。其中，堿基A與堿基T互補(bǔ)，堿基C與堿基G互補(bǔ)[15]。通過規(guī)定A，C，G，T分別編碼為00，01，10，11，這樣的編碼方案有24種，但是只有8種編碼方案滿足Watson-Crick規(guī)則[15]，如表2所示。

表2 DNA編碼方案

對應(yīng)于8種DNA編碼規(guī)則，也分別存在8種加法、減法以及異或運(yùn)算規(guī)則。任何一個堿基在每行每列都是唯一的，即序列的運(yùn)算結(jié)果也是唯一的。表3，表4和表5分別介紹了DNA編碼的運(yùn)算方案。

表3 DNA加法運(yùn)算方案

表4 DNA減法運(yùn)算方案

表5 DNA異或運(yùn)算方案

1.4 安全散列算法

安全散列算法是一個密碼散列函數(shù)家族，包括SHA-1,SHA-224,SHA-256,SHA-384和SHA-512。本文采用SHA-256哈希函數(shù)用于圖像加密系統(tǒng)混沌系統(tǒng)初始值的生成，通過把消息或數(shù)據(jù)壓縮成摘要，使得數(shù)據(jù)量變小，將數(shù)據(jù)的格式固定之后打亂混合，重新創(chuàng)建一個散列值的指紋。對于任意長度的數(shù)據(jù)，SHA-256都會產(chǎn)生一個256 bit的二進(jìn)制哈希值,任何一個輸入數(shù)據(jù)的改變，都會使生成的哈希值發(fā)生很大的改變,所以SHA-256具有較高的安全性[16]。本文通過隨機(jī)選取一幅圖像數(shù)據(jù)作為哈希函數(shù)的輸入，然后將生成的256 bit二進(jìn)制密鑰分為8塊的十六進(jìn)制字符串,表示為：

H=(h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7,h8)。

(4)

加密系統(tǒng)中超混沌Lorenze混沌系統(tǒng)的初始值r為：

(5)

2 總體加密方案

總體加密方案如圖3所示，輸入加密圖像通過SHA-256函數(shù)生成系統(tǒng)密鑰，通過密鑰計算生成加密系統(tǒng)中混沌系統(tǒng)的初值并生成多個偽隨機(jī)序列。將多幅加密圖像進(jìn)行稀疏基稀疏變換得到加密圖像的小波稀疏圖像。截取每幅加密圖像小波圖的左上角部分拼接為一整幅小波圖。為降低稀疏圖像中非零元素點(diǎn)的相關(guān)性，使之分布的更加均勻，對稀疏圖像進(jìn)行加權(quán)置亂處理。利用超混沌Lorenz系統(tǒng)方程生成偽隨機(jī)序列構(gòu)造受控的測量矩陣并進(jìn)行壓縮感知測量得到壓縮加密后密文圖像，通過Chen氏超混沌系統(tǒng)生成的偽隨機(jī)序列構(gòu)造DNA矩陣并生成DNA編解碼運(yùn)算序列。與密文圖像進(jìn)行分塊DNA操作，獲得最后的密文圖像。

圖3 總體加密方案設(shè)計Fig.3 Overall encryption scheme design

3 加密與解密步驟

3.1 加密步驟

(1) 將需加密的圖像經(jīng)過稀疏基稀疏處理得到稀疏圖像，截取每幅小波圖像的右上角非零信息部分將其合并為一幅稀疏圖像。

(2) 對稀疏圖像進(jìn)行加權(quán)置亂操作，通過提高稀疏信號之間的差異性，降低相鄰非零元素的相關(guān)性，從而提高重建信號的重構(gòu)質(zhì)量。

(3) 加密圖像通過SHA-256函數(shù)生成系統(tǒng)中多個混沌系統(tǒng)的初始值，通過不同的初始值使混沌系統(tǒng)迭代生成多條偽隨機(jī)序列用于后續(xù)操作。

(4) 利用超混沌Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列構(gòu)造受控測量矩陣，并將壓縮感知線性測量后得到的壓縮加密后的密文圖像進(jìn)行無重復(fù)置亂操作，降低相鄰元素的相關(guān)性。

(5) 利用Chen氏超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列構(gòu)建DNA矩陣，并構(gòu)建DNA編碼規(guī)則序列、DNA運(yùn)算規(guī)則序列以及DNA解碼序列。

(6) 將密文矩陣與DNA矩陣進(jìn)行分塊處理，進(jìn)行塊與塊之間的編碼、運(yùn)算和解碼操作，最后合并為密文圖像。

3.2 解密步驟

解密過程就是加密過程的逆過程：

(1) 將密文圖像與DNA矩陣分塊后進(jìn)行解碼、運(yùn)算和編碼的逆操作生成密文矩陣P1。

(2) 對密文矩陣P1進(jìn)行置亂逆操作獲得觀測矩陣P2。

(3) 通過重建算法對觀測矩陣進(jìn)行信號重構(gòu)獲得密文圖像P3。

(4) 對密文圖像P3進(jìn)行加權(quán)置亂逆操作得到小波圖像P4。

(5) 對小波圖像P4進(jìn)行分割獲得各個加密圖像的小波圖像并進(jìn)行小波逆變換得到加密圖像。

4 仿真實驗

4.1 壓縮性能分析

為驗證本文算法壓縮復(fù)原的性能，選取多幅標(biāo)準(zhǔn)的灰度測試圖像作為實驗圖像。在壓縮率分別為0.75和0.5的情況下通過比較PSNR來衡量本文算法的壓縮性能。

加密單幅圖像的第1組和第2組測試如圖4和圖5所示。

(a) 明文圖像

(b) 壓縮率0.75密文圖像

(c) 壓縮率0.5密文圖像

(d) 壓縮率0.75復(fù)原圖像

(e) 壓縮率0.5復(fù)原圖像

(a) 明文圖像

(b) 壓縮率0.75密文圖像

(c) 壓縮率0.5密文圖像

(d) 壓縮率0.75復(fù)原圖像

(e) 壓縮率0.5復(fù)原圖像

加密2幅圖像如圖6所示。

(a) 明文圖像

(b) 明文圖像Camera

(c) 壓縮率0.75密文圖像

(d) 壓縮率0.75復(fù)原圖像Lena

(e) 壓縮率0.75復(fù)原圖像Camera

(f) 壓縮率0.5密文圖像

(g) 壓縮率0.5復(fù)原圖像Lena

(h) 壓縮率0.5復(fù)原圖像Camera

加密4幅圖像如圖7所示。

(a) 明文圖像

(b) 壓縮率0.75密文圖像

(c) 壓縮率0.75復(fù)原圖像

(d) 壓縮率0.5密文圖像

(e) 壓縮率0.5復(fù)原圖像

加密壓縮單幅圖像重構(gòu)圖像質(zhì)量分析如表6所示。合并壓縮2張圖像下重構(gòu)圖像質(zhì)量分析如表7所示。合并壓縮4張圖像下重構(gòu)圖像質(zhì)量分析如表8所示。

表6 加密壓縮單幅圖像重構(gòu)圖像質(zhì)量分析

表7 合并壓縮2張圖像下重構(gòu)圖像質(zhì)量分析

表8 合并壓縮4張圖像下重構(gòu)圖像質(zhì)量分析

經(jīng)過多次多組實驗仿真分析，本文提出的壓縮加密算法具有良好的性能，在合并壓縮2張圖像情況下，復(fù)原圖像與原圖像相比，圖像的質(zhì)量基本不受影響。存儲空間節(jié)省率達(dá)到75%。在合并壓縮4張圖像的情況下，復(fù)原圖像與原圖像相比，復(fù)原圖像雖然在重構(gòu)質(zhì)量上有一定的影響，但是在視覺上影響不大，還是可以清晰地觀察到圖像的細(xì)節(jié)，存儲空間節(jié)省率達(dá)到87.5%。

4.2 密鑰空間

密鑰空間是指能夠生成密鑰的所有可能密鑰的集合。決定了密碼系統(tǒng)的最重要的特性之一，理論上圖像加密算法的密鑰空間大于2100就可以抵御蠻力攻擊[17]。本文加密算法的密鑰由3部分組成：

(1) 給定的超混沌Lorenz系統(tǒng)的初始值a,b,c以及r。

(2) 一圖一密，隨機(jī)選取一幅加密圖像通過函數(shù)SHA-256生成的256 bit的哈希值。

(3) 給定的Chen氏超混沌映射的系統(tǒng)初值X0,Y0,Z0,H0。

超混沌Lorenz混沌方程中，a∈(-40,40),b∈(-40,40),z∈(1,81),r∈(-250,250),x、y和z的步長為10-13，r的步長為10-12，因此混沌方程的密鑰空間大小約為7.68×1059。SHA-256的密鑰空間為2128，Chen氏超混沌系統(tǒng)具有5個系統(tǒng)初值(如果計算進(jìn)度為10-14,密鑰空間為4×1056)。故加密算法總的密鑰空間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于2100[17]，所以該方案的密鑰空間足夠抵御蠻力攻擊。

4.3 敏感性分析

敏感性的性能分析有2個參數(shù)：像素變化率(NPCR)和統(tǒng)一平均變化強(qiáng)度(UACI)。2個參數(shù)分別表示了明文圖像與加密圖像之間的像素值變化率和平均變化強(qiáng)度值[20]。它們的理想值分別為：NPCR=99.609 4%，UACI=33.463 5%。如果2幅圖像所有相應(yīng)位置的像素值均不相同，則NPCR=100%，即：

(6)

(7)

敏感性分析如表9所示。

表9 敏感性分析

由表9可知,密文圖像與各個明文圖像在敏感性的參數(shù)上接近于理論值，表明本文提出的加密算法是安全的。

4.4 統(tǒng)計分析

針對統(tǒng)計規(guī)律的攻擊方案被稱為統(tǒng)計分析攻擊。統(tǒng)計分析攻擊是指攻擊者通過分析密文與明文的統(tǒng)計規(guī)律來破譯密碼。通過截獲的密文圖像的統(tǒng)計規(guī)律并與明文的統(tǒng)計規(guī)律進(jìn)行比較，從而分析出明文圖像與密文圖像之間的變換關(guān)系。統(tǒng)計分析包括直方圖分析和相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性分析。

4.4.1 直方圖分析

為抵御統(tǒng)計分析，密文的直方圖必須是均勻的，并且完全不同于明文圖像的直方圖。以合并加密4幅圖像為例，如圖8所示。

(a) 明文圖像Lena直方圖

(b) 明文圖像Peppers直方圖

(c) 明文圖像Couple直方圖

(d) 明文圖像Boat直方圖

(e) 合并密文圖像直方圖圖8 實驗圖像直方圖Fig.8 Experimental image histogram

由圖8可知，密文圖像的像素分布的直方圖是均勻分布，且不同于任何一個明文圖像的直方圖，因此可以抵抗統(tǒng)計直方圖攻擊。

4.4.2 相鄰像素相關(guān)性分析

相關(guān)性分析如表10所示，是指對2個或多個具備相關(guān)性的變量元素進(jìn)行分析，從而衡量變量之間的相關(guān)密切程度。由于圖像的相鄰像素之間存在著較高的相關(guān)性，通過一個像素往往會泄露周邊像素的信息。因此攻擊者往往可以通過圖像的這一特性推測出周圍像素的灰度值，從而對密文圖像進(jìn)行破解。所以為了抵御統(tǒng)計攻擊，需要打破這一特性。下面從像素的垂直方向、對角線方向以及水平方向?qū)γ芪膱D像進(jìn)行分析，計算表達(dá)式為：

(8)

(9)

(10)

(11)

由表10可知，密文圖像的各個方向像素值之間的相關(guān)性的數(shù)值極大地接近于零，因此可以抵抗基于相關(guān)性的統(tǒng)計攻擊能力。

4.5 信息熵分析

信息熵是反映圖像信息不確定性的重要指標(biāo)。信息熵的值越大，表明圖像信息的不確定性越大。信息量越大，說明信息的可視性就越小，系統(tǒng)的加密性能就越好。就以灰度等級為256的圖像而言，信息熵的理論最大值為8[21]。一般來說，密文圖像的信息熵超過了7.99,就說明該加密系統(tǒng)具有良好的加密性能。因此對加密前后的密文圖像與各個明文圖像的信息熵進(jìn)行比較。信息熵分析如表1所示。

信息熵的計算公式為：

(12)

由表11可知,密文圖像的信息熵數(shù)值接近于信息熵的理論最大值，說明本文提出的算法具有良好的加密性能。

5 結(jié)束語

本文提出的基于混沌壓縮感知與DNA編碼多圖像加密算法，利用壓縮感知技術(shù)與混沌理論、DNA編碼技術(shù)及其他加密算法相結(jié)合，同時對多幅圖像進(jìn)行壓縮加密，在保證了密文圖像傳遞的安全性的同時極大地減少了傳遞過程中密文的帶寬占用率并節(jié)省了存儲空間。加入SHA-256安全散列算法，一次一密，極大地增加了整體加密算法的安全性。與其他類似加密算法相比較，本文提出的算法具有一定的優(yōu)勢。由于在壓縮感知理論中不同的稀疏基、測量矩陣和重構(gòu)算法都會對重構(gòu)信號的質(zhì)量造成影響，因此下一步將對此方面進(jìn)行優(yōu)化，提高重構(gòu)信號的質(zhì)量。