MIMO中基于預(yù)處理的廣義加權(quán)Gauss-Seide算法

史傳勝,馮 姣

(南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，南京 210044)

0 引 言

在大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)系統(tǒng)中，基站端有數(shù)百個(gè)天線來同時(shí)服務(wù)幾十個(gè)用戶，并且基站天線數(shù)量遠(yuǎn)高于用戶天線數(shù)量[1]。最大似然估計(jì)(Maximum Likelihood，ML)雖然檢測性能最佳，但計(jì)算復(fù)雜度很高，在實(shí)際系統(tǒng)中很難得到應(yīng)用[2]。因此學(xué)者們在降低檢測性能的前提下提出了低復(fù)雜度的近似線性最佳檢測算法，如迫零(Zero Forcing，ZF)算法和最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)檢測算法[3]。MMSE和ZF算法涉及到矩陣的求逆問題，當(dāng)用戶數(shù)量很多時(shí)，這些檢測器的計(jì)算復(fù)雜度會很高?；诖?，出現(xiàn)了簡化算法，如共軛梯度[4](Conjugate Gradient，CG)、高斯-賽德爾(Gauss-Seide，GS)[5]、雅克比[6](Jacobi，JA)和超松弛迭代[7](Successsive Over-Relaxation，SOR)算法。文獻(xiàn)[8]提出了基于鄰域搜索的似然上升搜索(Likelihood Ascend Search，LAS)檢測算法，通過利用鄰域搜索算法來選擇初始向量，給出了一個(gè)接近最優(yōu)的解；文獻(xiàn)[9]提出了一種基于JA迭代算法的GS(Joint Jacobi and Gauss-Seidel，JA-GS)算法，JA-GS算法主要利用JA和GS迭代算法進(jìn)行信號檢測，雖然性能較好，但其收斂速度偏慢，復(fù)雜度偏高。

為解決這一問題，本文提出了一種基于預(yù)處理的廣義加權(quán)GS(Generalized Weighted-Preconditioned Gauss-Seide，GW-PGS)檢測算法。該算法通過對迭代矩陣進(jìn)行預(yù)處理，并且提出自適應(yīng)的加權(quán)因子方案，進(jìn)一步提高了算法的檢測性能和收斂速度。仿真結(jié)果表明，在128個(gè)基站天線和16個(gè)用戶天線數(shù)的前提下，與傳統(tǒng)GS檢測算法相比，GW-PGS算法的誤碼率(Bit Error Rate，BER)性能更優(yōu)。

1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

在上行鏈路大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，假設(shè)每個(gè)用戶配備一個(gè)天線，M為基站天線數(shù)，N為用戶數(shù)[10]，一般情況下M?N，例如M=128和N=16。大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型如圖1所示。圖中，發(fā)射端信號xN經(jīng)過用戶天線N向基站天線傳輸，基站端天線M接收到的信號經(jīng)過解調(diào)后得到y(tǒng)M。

圖1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

基站接收到的上行信號為

為避免復(fù)數(shù)運(yùn)算，將模型轉(zhuǎn)換為

式中，z為噪聲。

2 傳統(tǒng)信號檢測算法

2.1 MMSE檢測算法

在上行大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，MMSE檢測算法檢測性能比較優(yōu)異，即通過較為簡單的線性操作即可將原始發(fā)送信號x從接收端接收信號y中恢復(fù)出來。為了恢復(fù)發(fā)送的信號，使用加權(quán)濾波矩陣WMMSE來實(shí)現(xiàn)信道的逆轉(zhuǎn)。線性MMSE算法中發(fā)送信號的接收估計(jì)值WMMSE為

式中：HH為H的對稱轉(zhuǎn)置矩陣；yMF=HHy為匹配濾波器輸出。算法的復(fù)雜度主要體現(xiàn)在矩陣的求逆方面。因此在實(shí)際的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中， MMSE系統(tǒng)線性檢測算法增加了硬件實(shí)現(xiàn)難度，也限制了該算法在實(shí)際中的應(yīng)用。大部分大規(guī)模MIMO系統(tǒng)低復(fù)雜度檢測算法的原理就是通過降低求矩陣的逆的復(fù)雜度來降低MMSE整體算法的復(fù)雜度。

2.2 GS檢測算法

在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，當(dāng)基站天線數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于用戶數(shù)時(shí)，信道之間逐漸趨于正交[10]，MMSE濾波矩陣為對稱正定矩陣，且對角占優(yōu)。因此，可將A分解為

在GS檢測算法中，信號可以估計(jì)為[11]

式中，D、L和U分別為A的對角矩陣、嚴(yán)格下三角矩陣和嚴(yán)格上三角矩陣。

3 GW-PGS迭代算法

3.1 初始值和加權(quán)因子的選取

定義1 帶狀矩陣表示在矩陣A中，所有的非零元素都集中在以主對角線為中心上下w元素的帶狀區(qū)域中。其中w小于矩陣的維度。

由A=HHH+σ2I可知，A是一個(gè)N×N的方陣，那么帶狀矩陣Dw可以寫成：

式中，Ai,j為A中的元素。當(dāng)w=1時(shí)，有

那么初始解x0可以寫成：

為了更好地適應(yīng)不同的天線配置，本文提出了一個(gè)自適應(yīng)的加權(quán)因子μ。然而直接推導(dǎo)該最優(yōu)因子比較復(fù)雜，所以本文采用系統(tǒng)仿真的方式選取次優(yōu)的加權(quán)因子。

3.2 GW-PGS迭代算法

GW-PGS迭代算法是一種求解大型線性方程組的穩(wěn)定迭代方法。GW-PGS迭代算法能夠快速求解yMF=Ax的大型方程組。其中系數(shù)矩陣A為一個(gè)正定Hermit矩陣。將式(6)寫成兩個(gè)半迭代方程，可以得到收斂速度更快的GW-PGS迭代算法。

用GW-PGS迭代算法進(jìn)行第1次半迭代，k為迭代次數(shù)：

使用GW-PGS迭代算法進(jìn)行第2次半迭代：

將兩次迭代的結(jié)果通過加權(quán)因子μ結(jié)合在一起：

當(dāng)μ取1時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，GW-PGS迭代算法退化成了傳統(tǒng)的GS迭代算法。為了加快GW-PGS迭代算法的檢測速度，本文提出了預(yù)處理的方案，在線性方程組yMF=Ax前加入一個(gè)靜態(tài)迭代預(yù)調(diào)節(jié)器。將yMF=Ax寫成Q-1yMF=Q-1Ax形式，式中，Q為非奇異、對稱和正定矩陣。迭代預(yù)調(diào)節(jié)器應(yīng)該近似A-1,使得‖I-Q-1A‖<1[13]。

在本文中，采用了JA預(yù)調(diào)節(jié)器，設(shè)Q=diagonal(A)，diagonal()為求主對角矩陣函數(shù)。對角矩陣的預(yù)處理操作在計(jì)算上是高效的，并且降低了GW-PGS迭代算法的整體復(fù)雜性。

綜上所述，本文所提GW-PGS迭代算法的流程如下，tril()和triu()分別為下三角和上三角函數(shù)。

算法1 ：GW-PGS迭代算法：

輸入：y，H，σ2，

預(yù)處理：

1:A=HHH+σ2I，

2:yMF=HHy，

3:Q=diagonal(A)，

7:D1=triu(D_,-1)，

8:x0=D-1yMF，

9：提出自適應(yīng)加權(quán)因子μ，

10:迭代：

fork=1 tondo

End for

4 復(fù)雜度分析

本文主要分析了GW-PGS迭代算法的復(fù)雜度和一些線性檢測算法的復(fù)雜度，并做了一些比較。相比而言，乘法運(yùn)算的計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)比加法高[14]，所以算法的復(fù)雜度通常是比較乘法運(yùn)算的次數(shù)和相同迭代次數(shù)時(shí)需要做的乘法次數(shù)。表1所示為對GW-PGS、傳統(tǒng)的理查德森(Richardson,RI)、JA、GS和MMSE算法計(jì)算復(fù)雜度的比較。

表1 不同檢測方法計(jì)算的復(fù)雜度

5 性能仿真

為評估算法性能，本文在Matlab軟件上仿真了所提算法和現(xiàn)有算法的BER—信噪比(Signal Noise Rate，SNR)曲線。分析了所提GW-PGS迭代算法的檢測性能并與傳統(tǒng)的GS算法以及MMSE算法的檢測性能作了對比。設(shè)置仿真時(shí)的傳輸信道為不相關(guān)瑞利衰落信道，基帶信號調(diào)制方式為二進(jìn)制相移鍵控( Binary Phase Shift Keying，BPSK)、四相相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying，QPSK)、16正交幅度調(diào)制(16Quadrature Amplitude Modulation，16QAM)和64QAM，天線規(guī)模為128×16、128×32、16×16、32×16和64×16。模擬參數(shù)如表2所示。

表2 模擬參數(shù)

表3所示為SNR=16 dB，天線數(shù)量為128×16時(shí)，不同算法每比特實(shí)乘運(yùn)算次數(shù)的對比。由表可知，MMSE算法的每比特實(shí)乘次數(shù)最高，其次是GW-PGS、GS、JA和RI算法。表4所示為SNR=16 dB，基站天線數(shù)為128時(shí)，GW-PGS算法在不同用戶天線數(shù)下每比特實(shí)乘次數(shù)的對比。由表可知，在基站天線數(shù)量不變的前提下，隨著用戶數(shù)量不斷增加，GW-PGS迭代算法的復(fù)雜度不斷升高。

表3 SNR=16 dB，天線數(shù)量為128×16時(shí)，不同算法每比特實(shí)乘次數(shù)

表4 SNR=16 dB，基站天線數(shù)為128時(shí)，GW-PGS迭代算法在不同用戶天線數(shù)下的每比特實(shí)乘次數(shù)

圖2所示為SNR=16 dB，收發(fā)天線為128×16時(shí)，不同加權(quán)因子μ下GW-PGS迭代算法BER性能仿真圖。選取的μ以0.2為步長進(jìn)行仿真。經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)仿真發(fā)現(xiàn)，μ∈(-1.7,1.1)時(shí)有較為優(yōu)異的BER性能。由圖可知，當(dāng)μ=-0.1時(shí)，GW-PGS迭代算法的檢測性能最佳。當(dāng)μ選取不當(dāng)時(shí)，會導(dǎo)致GW-PGS迭代算法的檢測性能變差。

圖2 SNR=16 dB，收發(fā)天線為128×16時(shí)，不同μ下GW-PGS迭代算法BER性能仿真圖

圖3所示為大規(guī)模MIMO系統(tǒng)規(guī)模為64×16，在64QAM調(diào)制下，GW-PGS迭代算法與MMSE、Jacobi和GS算法的檢測性能比較。仿真結(jié)果表明，GW-PGS迭代算法隨著迭代次數(shù)的增加，算法的檢測性能也在不斷提高。以GS算法BER曲線作為對比參照，由圖可知，迭代次數(shù)為1時(shí)，GW-PGS迭代算法的性能與GS算法的性能相比，傳統(tǒng)GS算法性能更優(yōu)。當(dāng)?shù)?次時(shí)，本文所提GW-PGS迭代算法的檢測性能和傳統(tǒng)GS和JA算法檢測性能相比有明顯的優(yōu)勢，在BER=10-3時(shí)，相比于GS算法，SNR有0.8 dB的增益。迭代3次時(shí)，GW-PGS迭代算法相比于GS算法，SNR有1.6 dB的增益，與JA算法相比，其優(yōu)勢更明顯。

圖3 收發(fā)天線為64×16且使用64QAM調(diào)制時(shí)，幾種算法的BER性能比較

圖4所示為本文所提GW-PGS迭代算法與RI、JA、GS和MMSE算法的計(jì)算復(fù)雜度比較。由圖可知，算法復(fù)雜度最低的是RI算法，其次是JA、GS、GW-PGS和MMSE算法。為了平衡檢測性能與計(jì)算復(fù)雜度之間的矛盾，本文所提GW-PGS迭代算法的復(fù)雜度要比傳統(tǒng)的JA和GS算法復(fù)雜度稍微高一點(diǎn)。復(fù)雜度最高的是MMSE算法，這是因?yàn)镸MSE算法涉及到了矩陣的求逆。

圖4 天線數(shù)量與算法計(jì)算復(fù)雜度的關(guān)系

圖5所示為在不同基站天線數(shù)、16個(gè)用戶天線數(shù)和64QAM調(diào)制方式下，所提GW-PGS迭代算法檢測性能比較。大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，在用戶天線數(shù)量不變的前提下，隨著基站天線數(shù)量的增加，GW-PGS迭代算法的檢測性能也隨之提高。當(dāng)SNR=16 dB時(shí)，天線配置為128×16的BER達(dá)到10-5量級，相比之下，SNR=16 dB時(shí)，天線配置為64×16的BER只有10-3量級，天線配置為32×16的BER只有10-2量級，天線配置為16×16的BER只有10-1量級。由于基站天線數(shù)量變多，空間自由度也隨之提高，并且提高了信號的傳輸效率和系統(tǒng)容量。因此在16個(gè)用戶天線數(shù)量下，隨著基站天線數(shù)量的增加，GW-PGS迭代算法的檢測性能也隨之提高。

圖5 不同基站天線數(shù)、16個(gè)用戶和64QAM調(diào)制方式下，GW-PGS迭代算法的BER性能比較

圖6所示為在128個(gè)基站天線和16個(gè)用戶的配置下，不同調(diào)制方式對GW-PGS迭代算法BER檢測性能的影響。仿真結(jié)果表明，該算法在BPSK調(diào)制下性能表現(xiàn)更優(yōu)異，其他性能表現(xiàn)依次為QPSK、16QAM和64QAM。在抗加性高斯白噪聲方面，BPSK性能最好。由于64QAM調(diào)制方法的判決取樣點(diǎn)比BPSK、QPSK和16QAM都要多，所以增大了其BER，導(dǎo)致其性能最差。

圖6 收發(fā)天線為128×16時(shí)，在不同調(diào)制方式下的GW-PGS迭代算法BER性能比較

6 結(jié)束語

本文提出了一種新的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)上行鏈路用戶信號檢測算法。為了提高算法的性能，本文提出了一種GW-PGS迭代算法。在該算法中，首先提出了基于預(yù)處理的初始化方案，在不增加額外復(fù)雜度的情況下加快了收斂速度；其次，為了更好地適應(yīng)不同的天線配置，本文提出一個(gè)自適應(yīng)的加權(quán)因子μ。仿真結(jié)果表明，本文所提方法獲得了較優(yōu)的BER性能，與傳統(tǒng)的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)檢測算法相比有明顯的優(yōu)勢。