微細(xì)銑刀位姿同軸全息重建方法

孫藝洋，許金凱，于占江，張向輝，程亞亞，于化東

（長春理工大學(xué) 跨尺度微納制造教育部重點實驗室，吉林 長春 130022）

1 引 言

在精密微加工過程中，微細(xì)銑刀位姿測量是精密/超精密加工領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容。刀具在主軸上存在裝夾偏角時，不僅會造成單刃磨損嚴(yán)重、刀具使用壽命降低，還會直接降低工件的加工精度。對于微細(xì)銑刀的位姿測量，常用的儀器及方法有激光對刀儀、激光衍射法、光學(xué)成像測量法等[1-3]，上述方法的測量精度難以保證且容易損壞刀具，在實際加工中仍采用高精度彈簧夾頭來保證刀具裝夾精度。

隨著微細(xì)銑刀制造技術(shù)的革新，刀具尺度也隨之減小。機械微加工領(lǐng)域中目前常用的微細(xì)銑刀直徑在0.5 mm以下，這對于刀具的位姿測量提出了更高的要求。數(shù)字同軸全息技術(shù)[4]通過干涉記錄和衍射再現(xiàn)物體真實信息三維狀態(tài)，具有記錄光路簡單、成像速度快等特點，已廣泛用于形貌測量[5-7]、生物醫(yī)學(xué)成像[8-10]、形變測量[11]、信息安全[12-13]等領(lǐng)域。隨著微細(xì)銑刀直徑的減小，刀具衍射現(xiàn)象越發(fā)明顯，利用數(shù)字同軸全息技術(shù)對刀具進行全息成像，可以不受微細(xì)銑刀直徑的限制，進而實現(xiàn)微細(xì)/超細(xì)刀具的高精度測量。

微細(xì)銑刀發(fā)生裝夾傾斜時，全息再現(xiàn)像中會同時混合著聚焦區(qū)域和離焦區(qū)域[14]，此時無法由單一再現(xiàn)距離確定刀具準(zhǔn)確的軸向位置獲得精確的刀具狀態(tài)。為了精確觀測微細(xì)銑刀在機傾斜狀態(tài)，提出了基于景深的微細(xì)銑刀三維位姿重建方法。利用刀具邊緣點作為關(guān)鍵點進行位姿重建，通過模擬和實驗分析了聚焦評價算子的性能，建立了基于最小二乘法的關(guān)鍵點擬合方法修正重建誤差，通過實驗驗證了微細(xì)銑刀三維位姿重建的可行性。

2 數(shù)字同軸全息成像原理

數(shù)字全息成像原理可分為兩個過程：波前記錄和數(shù)值再現(xiàn)。微細(xì)銑刀數(shù)字全息記錄光路如圖1所示。用一束相干光源垂直照射物體，光波穿過物面后將形成強而均勻的透射參考光波和弱的衍射物光波，這兩部分滿足相干條件的光波發(fā)生干涉被CMOS圖像傳感器所記錄，形成物體的數(shù)字全息圖，記錄面的光強分布為I(x,y)。

圖1 數(shù)字全息記錄過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of the recording process of the digital holography

數(shù)字全息再現(xiàn)過程如圖2所示：計算機模擬光學(xué)衍射過程，用單位振幅平面波C(x,y)照射全息圖。

圖2 數(shù)字全息再現(xiàn)過程示意圖Fig. 2 Schematic diagram of the reconstruction process of the digital holography

再現(xiàn)光波在全息圖后的復(fù)振幅分布U(x,y)為：

根據(jù)菲涅爾衍射積分公式，此再現(xiàn)光波經(jīng)距離d后在再現(xiàn)像面ξoη的復(fù)振幅分布為：

3 基于景深擴展的微細(xì)銑刀位姿重建方法

3.1 聚焦評價算子

聚焦評價算子是刀具全息再現(xiàn)像三維重建的關(guān)鍵判據(jù)，三維位姿重建實質(zhì)是根據(jù)聚焦評價算子取值獲取軸向位置的三維顯示。通過合適的聚焦評價算子計算出每一點的聚焦程度，然后分析聚焦程度，確定其軸向位置。無論是光學(xué)圖像還是全息再現(xiàn)像，圖像聚焦越清晰，其灰度變化越劇烈。尤其是圖像的邊緣位置，聚焦清晰的圖像較模糊圖像有更高的銳度，前者往往也能體現(xiàn)更豐富的細(xì)節(jié)信息。所以圖像的聚焦程度可以用灰度變化的平均程度即灰度方差來衡量，而采用局部灰度方差能夠降低背景的干擾，進一步增強圖像的對比度。

局部灰度方差函數(shù)定義為：

式中u為m×n區(qū)域灰度的平均值，文中m，n的取值為3。

小波變換局部方差算子是基于小波分解后的高低頻子圖的梯度圖像局部方差進行計算。陽靜等人[15]采用該算子對傾斜碳纖維進行了較好的三維重建。實現(xiàn)過程是對全息再現(xiàn)像進行小波分解，并利用Sobel算子求取高低頻系數(shù)子圖的梯度圖像。H表示高頻，L表示低頻，4張高低頻子圖像分別是：HH，HL，LH和LL。它們分別代表重建圖像的對角線高頻、水平高頻、豎直高頻和低頻系數(shù)。則子圖像的梯度矢量G可在x,y方向分別表示為:

再以m×n區(qū)域的高低頻子圖像的最大亮度梯度G的局部方差作為融合圖像的聚焦判據(jù),對重建圖像進行景深擴展,依次完成重建圖像上所有點的選取，最后實現(xiàn)了物體的位姿重建。

3.2 刀具位姿三維重建算法

刀具全息再現(xiàn)像三維位姿重建的核心思想與光學(xué)成像系統(tǒng)的景深擴展原理類似。首先通過一系列等步長的再現(xiàn)距離，獲取刀具在不同軸向位置的再現(xiàn)像，使整個再現(xiàn)像序列覆蓋刀具在光場中的全部信息。由于每幅再現(xiàn)像中不同區(qū)域的清晰程度不一，無法用一個再現(xiàn)距離得到所有點都聚焦清晰的軸向位置。故需要通過聚焦分析，使重建圖像的每一點都精確聚焦，從而實現(xiàn)刀具三維場的重建和相關(guān)測量。

設(shè)I為全息再現(xiàn)像，d為再現(xiàn)距離，f(i,j)為再現(xiàn)像中(i,j)位置聚焦評價算子的取值?；诰吧畹娜⒃佻F(xiàn)像三維位姿重構(gòu)步驟如下：

（1）得到全息圖如圖3(a)所示，保證再現(xiàn)距離在最小和最大記錄距離之內(nèi)。通過菲涅爾再現(xiàn)算法，記錄n個再現(xiàn)距離d=d0+kΔd(k=0···n-1)，Δd根據(jù)再現(xiàn)區(qū)間選取合適值，對應(yīng)的n張全息再現(xiàn)像I1～In，如圖3(b)所示；

圖3 刀具三維位姿重構(gòu)流程圖。(a)刀具全息圖；(b) n張再現(xiàn)像；(c)濾波后的n張再現(xiàn)像；(d)點(i, j)的最佳再現(xiàn)距離；(e)刀具三維位姿示意圖Fig.3 Flow diagram of three-dimensional pose reconstruction of the tool.(a) Tool hologram; (b) reconstruction images; (c) reconstruction images after filtering; (d) best reconstruction distance for point (i, j);(e) schematic diagram of the tool’s three-dimensional pose

（2）對n張全息再現(xiàn)像做基于改進自蛇模型濾波方法[16]處理如圖3(c)所示，再利用Sobel算子提取待測刀具的邊緣點；

（3）計算每張再現(xiàn)像中邊緣點對應(yīng)的聚焦評價算子的取值；

（4）以邊緣點中(i,j)位置距離值的選取為例，比較n張再現(xiàn)像的聚焦評價值f(i,j)，通過n張再現(xiàn)像的聚焦評價值取最大法，獲取該點的軸向位置。max(f1(i,j),f2(i,j),···,fn(i,j))對應(yīng)的距離為dK，則dK為(i,j)的最佳再現(xiàn)距離，如圖3(d)所示，依次獲得所有邊緣點的最佳再現(xiàn)距離；

（5）結(jié)合邊緣點在再現(xiàn)像中的位置和其物理尺寸，以及對應(yīng)的軸向距離，通過三維繪圖，可直觀顯示刀具在三維空間中的位置和傾斜程度如圖3(e)所示。

4 實驗結(jié)果與分析

4.1 模擬實驗

使用的數(shù)字全息實驗裝置如圖4所示。數(shù)字全息成像系統(tǒng)主要由激光器、激光擴束鏡、CMOS、濾波片等組成。激光器安裝架、擴束鏡安裝架及相機安裝組件的設(shè)計和安裝過程，必須保證激光器中心、擴束鏡中心和CMOS感光面中心三者共軸線。相機固定在精密滑臺上，可以X向和Y向自由移動，調(diào)節(jié)相機感光面的位置。激光器波長為635nm，CMOS記錄區(qū)域的像素數(shù)為2448×2048 pixels，為提高計算效率，截取再現(xiàn)像中600×1024 pixels像素大小作為計算區(qū)域。

圖4 數(shù)字全息實驗裝置示意圖Fig.4 Schematic diagram of the digital holography experimental device

利用圖4所示實驗裝置，獲得直徑0.5mm鉛芯的數(shù)字全息圖。實驗中調(diào)整鉛芯與微調(diào)角度臺垂直，如圖5（a）所示，手動調(diào)節(jié)角度臺至傾斜10°，如圖5（b）所示。圖6（a）為鉛芯的全息圖，圖 6（b）為記錄距離2 5.8mm處的再現(xiàn)像。

圖5 鉛芯數(shù)字全息實驗裝置示意圖。（a）擺正狀態(tài)；（b）傾斜指定角度Fig.5 Schematic diagram of the digital holographic experimental device for the lead core as simulated sample.(a) Straightened; (b) incline at a specified angle

圖6 鉛芯數(shù)字全息圖及再現(xiàn)像。(a)數(shù)字全息圖；（b）再現(xiàn)像（左）及計算區(qū)域放大圖（右）Fig.6 Digital hologram and reconstruction image of the lead-core.(a) Digital hologram; (b) reconstruction image (left) and calculation area magnification(right)

選擇重建距離區(qū)間為 24mm～28mm，重建距離間隔10 μm，等間隔重建401張局部聚焦的鉛芯再現(xiàn)像。然后，分別以小波變換局部方差算子和局部灰度方差算子，計算再現(xiàn)像中600×1024區(qū)域每點對應(yīng)的聚焦評價值，并通過聚焦評價曲線獲得聚焦評價最大值，得到如圖7（a）和圖7（b）所示圖像整體的軸向位置分布。

觀察上述軸向位置分布結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩種聚焦評價算子在低頻區(qū)域點的重建均存在聚焦評價抗干擾性不佳的情況。小波變換局部方差算子重建結(jié)果中低頻點（290,400）的聚焦評價曲線如圖8（a）（彩圖見期刊電子版）所示，可以發(fā)現(xiàn)該曲線單峰性不好，存在明顯干擾峰值，容易帶來重建距離的誤判。反觀邊緣點（229,400）的聚焦評價曲線（如圖8（b）所示彩圖見期刊電子版），一般都能得到準(zhǔn)確的重建距離。觀察局部灰度方差算子重建結(jié)果中低頻點（290,400）和邊緣點（229,400）的聚焦評價曲線（如圖8（c）和圖8（d）所示），曲線的分布具有類似的特點。考慮到圖像低頻區(qū)域點重建距離的不準(zhǔn)確性，在重建過程中舍去低頻點。從再現(xiàn)像中提取鉛芯的邊緣點作為關(guān)鍵點，僅對關(guān)鍵點進行三維重建。

圖7 (a)小波變換局部方差算子及 (b)局部灰度方差算子對應(yīng)的的整體軸向位置分布Fig.7 Overall axial position distribution corresponding to (a) the local variance operator of wavelet transform and (b) local gray-scale variance operator

圖8 (a)小波變換局部方差算子對應(yīng)的低頻點的聚焦評價曲線; (b)小波變換局部方差算子對應(yīng)的邊緣點的聚焦評價曲線;(c)局部灰度方差算子對應(yīng)的低頻點聚焦評價曲線; (d)局部灰度方差算子對應(yīng)的邊緣點聚焦評價曲線Fig.8 (a) Focus evaluation curve of low frequency points corresponding to the local variance operator of the wavelet transform; (b) focus evaluation curve of the edge points corresponding to the local variance operator of the wavelet transform; (c) focus evaluation curve of the low frequency points corresponding to the local gray-scale variance operator;(d) focus evaluation curve of the edge points corresponding to the local gray-scale variance operator

通過改進的自蛇模型[16]對圖6（b）中再現(xiàn)像的計算區(qū)域做擴散濾波處理，用Sobel算子提取圖像的邊緣點，并計算邊緣點對應(yīng)的距離值。再根據(jù)物理尺寸與像元大小之間的關(guān)系(1pixel=3.45μm)，將xoy面的像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為距離坐標(biāo)系，并進行三維顯示，可得到圖9所示鉛芯的三維重建結(jié)果。

從上述重建結(jié)果發(fā)現(xiàn)，邊緣點中也存在少部分干擾點，使鉛芯的重建結(jié)果不夠理想。為了得到準(zhǔn)確的傾斜程度，需要去掉明顯的突變點。由于理論上大部分輪廓點的再現(xiàn)距離分布在同一平面上，故空間點到該平面的距離方差最小時，該平面可視為數(shù)據(jù)的主平面方向。如圖10所示，將三維點投影到y(tǒng)oz面上，在該平面利用最小二乘法對關(guān)鍵點做直線擬合，可得到關(guān)鍵點所在直線的斜率，干擾點的取值由直線上的點插值得到。最后根據(jù)物理尺寸與像元大小之間的關(guān)系(1pixel=3.45μm)，將xoy面的像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為距離坐標(biāo)，可得到圖11所示消除誤差后鉛芯的三維重建結(jié)果。由擬合結(jié)果知，小波變換局部方差算子測得鉛芯與水平方向的夾角為9.55°，與真實傾角基本一致。而局部灰度方差算子測得鉛芯與水平方向的夾角為9.32°，存在較大的重建誤差。

圖9 鉛芯的三維重建結(jié)果。（a）小波變換局部方差算子的三維重建結(jié)果；（b）局部灰度方差算子的三維重建結(jié)果Fig.9 Three-dimensional reconstruction results of lead core.(a) Three-dimensional reconstruction results calculated by local variance operator of the wavelet transform; (b) three-dimensional reconstruction results calculated by local gray-scale variance operator

圖10 像素坐標(biāo)下鉛芯三維重建結(jié)果。（a）小波變換局部方差算子的三維重建結(jié)果；（b）局部灰度方差算子的三維重建結(jié)果Fig.10 Three-dimensional reconstruction results of the lead core in pixel coordinates.(a) Three-dimensional reconstruction results calculated by local variance operator of wavelet transform; (b) three-dimensional reconstruction result calculated by local gray-level variance operator

圖11 距離坐標(biāo)下鉛芯三維重建結(jié)果。（a）小波變換局部方差算子的三維重建結(jié)果；（b）局部灰度方差算子的三維重建結(jié)果Fig.11 Three-dimensional reconstruction results of the lead core in the distance coordinates.(a) Three-dimensional reconstruction result calculated by local variance operator of the wavelet transform; (b) three-dimensional reconstruction results calculated by local gray-level variance operator

4.2 微細(xì)銑刀位姿重建實驗

實驗中待測銑刀與豎直方向之間的夾角為2.5°，如圖12（a）所示。使用圖4數(shù)字全息實驗裝置獲得圖12（b）所示的銑刀數(shù)字全息圖，圖12（c）為記錄距離為21 mm處的菲涅爾衍射再現(xiàn)像。CMOS記錄區(qū)域的像素數(shù)為1024×1024，為了提高計算效率，截取再現(xiàn)像中451×840像素大小作為計算區(qū)域。首先選擇再現(xiàn)距離區(qū)間為20.65～21.20 mm，以1 μm為距離間隔，等間隔重建551張再現(xiàn)像。在重建中選擇模擬實驗中效果較好的小波變換局部方差算子進行聚焦評價，重建過程與上述鉛芯重建相同。

圖12 (a)待測銑刀及其(b)數(shù)字全息圖和(c)再現(xiàn)像Fig.12 (a) Tested tool and its (b) digital hologram and (c)reconstruction image

觀察刀具再現(xiàn)像中低頻點的聚焦評價曲線，如圖13（a）所示，可以發(fā)現(xiàn)曲線單峰性不好，存在明顯的干擾峰值，容易帶來重建距離的誤判。圖13（b）所示為再現(xiàn)像中邊緣點的聚焦評價曲線，能得到準(zhǔn)確的重建距離。與模擬實驗相同，在重建過程中舍去低頻點，即從再現(xiàn)像中提取刀具的邊緣點作為關(guān)鍵點，僅對關(guān)鍵點進行三維重建。

對關(guān)鍵點進行三維重建后，通過干擾點去除和關(guān)鍵點擬合后，最后可獲得圖14所示銑刀的三維位姿。實測待測銑刀與豎直方向之間的夾角為2.43°，銑刀的三維重建誤差在0.1°以內(nèi)。

圖13 (a)銑刀再現(xiàn)像低頻點的聚焦評價曲線;(b)銑刀再現(xiàn)像邊緣點的聚焦評價曲線Fig.13 (a) Focus evaluation curve of the low-frequency point of the milling tool's reconstruction image; (b)focus evaluation curve of the edge point of the milling tool’s reconstruction image

圖14 銑刀三維位姿重構(gòu)結(jié)果Fig.14 Three-dimensional reconstruction results of the milling tool

5 結(jié) 論

針對現(xiàn)有對刀方法存在的不足，提出一種基于數(shù)字同軸全息成像技術(shù)的微細(xì)銑刀對刀方法。在對刀過程中，為了可視化觀察刀具在主軸上的傾斜狀態(tài)，提出了一種基于景深的刀具三維位姿重建方法。使用小波變換局部方差算子和局部灰度方差算子在模擬實驗中進行分析，得到小波變換局部方差算子的實驗結(jié)果更加準(zhǔn)確。使用小波變換局部方差算子求出微細(xì)銑刀再現(xiàn)像中關(guān)鍵點的聚焦程度，然后分析聚焦程度，確定其對應(yīng)的軸向位置，實現(xiàn)了微細(xì)銑刀的三維位姿測量。最后利用最小二乘法進行干擾點去除和關(guān)鍵點擬合后，對重建結(jié)果進行了誤差分析與消除，實現(xiàn)微細(xì)銑刀三維重建誤差優(yōu)于0.1°。