一類奇異 Volterra 積分方程在Lp(p≥1)空間中的適定性

鄭孟良

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 成都 610064)

1 引 言

本文考慮Volterra積分方程

a.e.t∈[0,T]

(1)

在Lp(p≥1)空間中的適定性，其中η(·) 和f(·,·,·) 為給定映射, 分別稱為狀態(tài)方程的自由項(xiàng)和生成元，y(·) 取值于Rn，稱為方程(1)的解. Volterra積分方程最早由Volterra (意大利數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家)提出，此后許多學(xué)者都曾研究過 Volterra 積分方程的適定性, 即解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性. 當(dāng)積分核具有奇異性時，Mydlarczyk[1]研究了如下形式的 Volterra 積分方程，給出了解存在的充要條件：

a.e.t∈[0,T],β∈(0,1).

本文研究一類具有一般奇異性的 Volterra 積分方程式 (1) 的適定性.本文的動機(jī)來自分?jǐn)?shù)階微分方程. 在過去幾十年間，分?jǐn)?shù)階微分方程吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注. 分?jǐn)?shù)階微分方程可化為與之等價的 Volterra 積分方程然后進(jìn)行研究.例如 Bassam等[3]考慮了如下分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性：

其中Dα,I1-α分別表示Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分和積分算子[4].Bassam等將方程(2)化為如下非線性奇異Volterra積分方程：

(3)

當(dāng)方程(2)中的Dα,I1-α被替換為 Hadamard 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分Dα,J1-α?xí)r[4],方程(2)可化為

本文的結(jié)構(gòu)如下.在第二節(jié)中我們給出一些必要的預(yù)備知識，在第三節(jié)中得出本文的主要結(jié)論，即問題(1) 在Lp(1≤p≤∞) 空間中的適定性，并給出與已有結(jié)果的對比. 在第四節(jié)中我們給出結(jié)論與展望.

給定T>0.記Δ={(t,s)∈[0,T]2]0≤s0，

tκ(t,s)ds∈L∞(0,T),

當(dāng) 0≤h(·)∈L1(0,T),κ(t,s)=h(s)κ(·,·)∈Κ0.

引理2.1[6]設(shè)κ∈Κ0.令

(4)

則對任意T>0，存在常數(shù)CT>0 和γ∈(0,1) 使得

特別地，級數(shù)

(5)

對幾乎所有 (t,s)∈Δ收斂，且

(6)

且對任意T>0，有

tr(t,s)ds∈L∞(0,T).

一般地，稱函數(shù)r為κ的預(yù)解式 (resolvent kernel).

證明 對任意t∈R，記Gδ(t)=G(t)1{(0,δ]}(t).設(shè)φ(·)∈Lq(a,b).則

{[φ(·)1[a,b](·)]*Gδ(·)}(t)=

{[φ(·)1[a,b](·)]*Gδ(·)}(t)=

(7)

下面我們給出一類 Volterra 型的 Gronwall 不等式.

引理2.3[5]設(shè)κ∈Κ0,rn和r分別由式(4)和(5)給出.令f,g:R+→R+是兩個可測函數(shù)，使得對任意T>0，存在n∈N, 有

trn(s)f(s)ds∈L∞(0,T)

且對 a.e.t∈(0,∞)有

若對 a.e.t∈(0,∞)，

則對 a.e.t∈(0,∞)有

特別地，如果 0≤h∈L1(R+), 則κ(t,·)=h(·)∈Κ0, 且

上述 Gronwall 不等式退化為經(jīng)典情形.

在給出主要定理之前我們先來看如下例子.

例3.1[5]考慮方程

a.e.t∈[0,T],β∈(0,1)

(8)

其中η(·)∈Lp(0,T),p≥1.對于問題(8)中的g(·,·,·)，假設(shè)

|g(t,s,0)]≤L1(s), (t,s)∈Δ,

|g(t,s,y)-g(t,s,y′)]≤L2(s)·|y-y′],

(t,s)∈Δ,y,y′∈Rn.

不同于文獻(xiàn)[2]，我們對問題(1)中的生成元f(·,·,·) 提出如下較一般的假設(shè)：

(H1) 設(shè)映射f:Δ×Rn→Rn對 任意y,f(·,·,y) 可測，對a.e.(t,s),g(t,s,·)可測,且存在非負(fù)函數(shù)L0(·),L(·),G(·) 滿足

L0(·)∈Lq(0,T),

(9)

|f(t,s,0)]≤L0(s)G(t-s), (t,s)∈Δ

(10)

|f(t,s,y)-f(t,s,y′)]≤L(s)G(t-s)·

|y-y′],(t,s)∈Δ,y,y′∈Rn

(11)

其中q,r≥1.

由式(10)，(11)可知，

|f(t,s,y)]≤[L0(s)+L(s)|y]]G(t-s),

(t,s,y)∈Δ×Rn

(12)

下面我們給出式 (1) 在Lp空間中的適定性.

(13)

進(jìn)一步， 如果η1(·),η2(·)∈Lp(0,T;Rn),y1(·),y2(·)是分別對應(yīng)于η1(·),η2(·) 的問題(1)的解，則

其中K是一個正常數(shù),

a(·)=|η(·)]+

r(·,·) 是對應(yīng)于κ(·,·) 由式 (5) 定義的預(yù)解核, 這里κ(t,s)=L(s)G(t-s).

證明 首先證明問題 (1) 解的存在唯一性. 我們將證明分為三步.

第一步.固定任意η(·)∈Lp(0,T;Rn). 對任意z(·)∈Lp(0,S;Rn)，0

t∈[0,S].

由 H?lder 和 Minskowski 不等式，有

(14)

所以

我們得到J是Lp(0,S;Rn) 到其自身的映射.

第二步我們證明映射J:Lp(0,δ;Rn)Lp(0,δ;Rn)(δ待定) 為壓縮映射. 對任意z1(·),z2(·)∈Lp(0,δ;Rn)，

J[z1(·)](t)-J[z2(·)](t)=

由推論 2.2，類似于式(14)有

取δ∈(0,T] 使得

可以看到J為壓縮映射，從而J在Lp(0,δ;Rn)上有一個唯一的不動點(diǎn)，即問題 (1) 在 [0,δ] 上的唯一解.

第三步考慮問題方程 (1) 在 [δ,2δ] 上解的情況. 對任意z(·)∈Lp(δ,2δ;Rn)，令

其中y(·) 為上一步中得到的問題(1) 在 [0,δ] 上的解.同法可得

類似于(14)式的證明，J為Lp(δ,2δ;Rn)→Lp(δ,2δ;Rn) 的映射. 對任意z1(·),z2(·)∈Lp(δ,2δ;Rn)，再次利用引理 2.2有

接下來，令η1(·),η2(·)∈Lp(0,T;Rn)，y1(·),y2(·) 分別為對應(yīng)的解，則

|y1(t)-y2(t)]≤|η1(t)-η2(t)]+

|y1(s)-y2(s)]ds≤|η1(t)-η2(t)]+

則引理 2.3中第三個不等式成立. 事實(shí)上，令κ(t,s)=L(s)G(t-s).我們可以證明κ(·,·)∈Κ0(見注1). 設(shè)r(·,·) 是相應(yīng)由式 (5) 定義的預(yù)解核，則由引理 2.2知

所以

a.e.t∈[0,T].

再由式 (6)得

所以

注1在(H1)中令κ1(t,s)=L(s)G(t-s),κ2(t,s)=L0(s)G(t-s).我們有κ1(·,·)∈Κ0, 但κ2(·,·)不一定屬于Κ0.

首先，我們來證明κ1(·,·)∈Κ0.因

且對任意ε>0足夠小時

所以我們有κ1∈Κ0.

接下來，我們給出一個例子來說明κ2(·,·)?Κ0. 考慮方程 (8).令

即

a.e.t∈[0,T]

(15)

其中α,β∈(0,1),δ∈(0,1],T>1.取

我們有

我們指出κ2(·,·)?Κ0. 可以看到，若α+β+δ<2，方程 (15) 的解y(·) 為正.我們有

(H2) 對p≥1 和 任意的T>0，

其中κ3和κ4來自下述的 (H3)，(H4)；

(H3) 存在κ3∈Κ0，使得對于任意 (t,s)∈Δ,x∈X，

(H4) 存在κ4∈Κ0，使得對任意 (t,s)∈Δ,x,y∈X有

由注1可以看到，一方面，(H1) 中的 Lipschitz 系數(shù)L(s)G(t-s)是(H4)中κ4的一種特殊形式；另一方面，對比 (H3)可知我們放松了其對生成元的限制，改進(jìn)了相應(yīng)結(jié)果.

4 結(jié) 論

我們考慮了一類具有一般奇異性的 Volterra 積分方程通過不動點(diǎn)定理給出了其在Lp(p≥1)空間中的適定性，推廣了文獻(xiàn)[2]的結(jié)果.相比于文獻(xiàn)[5]，我們放松了對生成元的要求.

值得說明的是，假設(shè) (H1)需要G(·) 是關(guān)于t-s的函數(shù). 特別地，主要結(jié)果的證明非常依賴于卷積不等式(引理 2.2)，當(dāng)G(·,·) 為一般的關(guān)于t和s的二元函數(shù)時，我們還沒有得到相應(yīng)的結(jié)果.我們期望在以后的論文中能夠給出.