受油機(jī)指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制

吳慈航,閆建國(guó),*,錢先云,郭一鳴,屈耀紅

1.西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,西安 710072

2.航空工業(yè)第一飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院,西安 710089

在軍事需求的不斷牽引下,具有重要戰(zhàn)略意義的空中加油技術(shù)受到廣泛關(guān)注。在該技術(shù)的支持下,受油機(jī)的航程和滯空時(shí)間可獲得較大提升,載彈量也可相應(yīng)提高,實(shí)現(xiàn)飛行性能的增強(qiáng)。輸油階段是空中加油任務(wù)中的一個(gè)子過程,此時(shí)受油插頭與加油錐套相嚙合。輸油階段加受油機(jī)保持相對(duì)穩(wěn)定的要求對(duì)受油機(jī)飛行控制系統(tǒng)提出了重要挑戰(zhàn),如若控制效果不佳,加油錐套將可能從受油插頭脫離,導(dǎo)致加油任務(wù)失敗。此外,脫離的加油錐套可能與受油機(jī)頭部在空中相撞,嚴(yán)重威脅受油機(jī)的飛行安全。因此,擁有快速姿態(tài)穩(wěn)定能力對(duì)受油機(jī)受擾后快速恢復(fù)至平衡狀態(tài),進(jìn)而輔助輸油任務(wù)的順利完成具有重要意義。然而,輸油階段持續(xù)注入受油機(jī)的燃油將引起時(shí)變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,直接影響受油機(jī)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)。此外,在加受油機(jī)近距耦合時(shí),受油機(jī)還處于紊流風(fēng)和加油機(jī)尾流的流場(chǎng)下,這些難題對(duì)設(shè)計(jì)具有期望收斂速度的受油機(jī)姿態(tài)穩(wěn)定控制器提出了技術(shù)挑戰(zhàn)。

近些年來,國(guó)內(nèi)外研究者針對(duì)空中加油受油機(jī)控制問題,展開了一系列研究,并取得一定效果?；谑苡蜋C(jī)小擾動(dòng)線性化模型,研究者相繼使用粒子群優(yōu)化比例-積分-微分(Proportional-Integral-Derivative,PID)控制器、線性二次型(Linear Quadratic Regulator,LQR)控制器、L控制器實(shí)現(xiàn)受油機(jī)控制。然而,這些線性控制器對(duì)干擾的適應(yīng)能力不足,難以保證受擾時(shí)的控制效果。為了提高干擾抑制能力,北京航空航天大學(xué)王宏倫建立了反步高階滑?？箶_動(dòng)控制器,提高了控制器的抗干擾能力和控制滯后。段海濱結(jié)合自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control,ADRC)魯棒性強(qiáng)和鴿群優(yōu)化算法參數(shù)尋優(yōu)能力強(qiáng)的優(yōu)勢(shì),設(shè)計(jì)自抗擾姿態(tài)控制器。然而,這些研究主要聚焦于受油機(jī)對(duì)接段的控制,使用的是定常質(zhì)量非線性模型,并未考慮強(qiáng)時(shí)變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量的影響。為了解決這個(gè)問題,Dogan等考慮了傳輸燃油對(duì)受油機(jī)動(dòng)力學(xué)影響,建立了時(shí)變質(zhì)量/轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下的受油機(jī)模型?？哲姽こ檀髮W(xué)董新民教授在此基礎(chǔ)上建立了受油機(jī)LQR 控制器和指令濾波反步控制器,解決時(shí)變動(dòng)態(tài)下的受油機(jī)控制。

值得注意的是,將以上控制器代入受油機(jī)閉環(huán)控制系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)的收斂特性往往為漸近收斂,理論上需要無限長(zhǎng)的調(diào)節(jié)時(shí)間,不利于受油機(jī)受擾后盡快穩(wěn)定姿態(tài),影響輸油任務(wù)的執(zhí)行。與漸近穩(wěn)定相比,有限時(shí)間控制可以提供更快的收斂速度,并在飛行器控制中得到應(yīng)用。然而,有限時(shí)間控制系統(tǒng)的收斂時(shí)間與系統(tǒng)初值顯性相關(guān),當(dāng)初值變化時(shí)收斂時(shí)間難以固定。固定時(shí)間控制可以在收斂時(shí)間有界的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步確保在任意初始條件下該時(shí)間為一固定常值,為控制系統(tǒng)帶來一些確定性。固定時(shí)間控制系統(tǒng)中的收斂時(shí)間通常是系統(tǒng)參數(shù)的復(fù)雜函數(shù),設(shè)計(jì)者難以直接構(gòu)建收斂時(shí)間和參數(shù)間的直接關(guān)聯(lián)。當(dāng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)者需要根據(jù)實(shí)際工況和任務(wù)約束調(diào)整期望的收斂時(shí)間時(shí)(如根據(jù)飛行條件和受油管-錐套的允許相對(duì)偏差調(diào)整受油機(jī)姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂時(shí)間),復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系和多調(diào)參變量部分限制了該法在實(shí)際系統(tǒng)中應(yīng)用。指定時(shí)間穩(wěn)定(predefined-time stability)是一種特殊形式的固定時(shí)間穩(wěn)定,在系統(tǒng)收斂時(shí)間上具有更嚴(yán)格的約束。其要求系統(tǒng)的收斂時(shí)間不僅是與系統(tǒng)初值無關(guān)的定值,而且可通過控制器參數(shù)自由預(yù)設(shè)。作為一種較新的控制策略,指定時(shí)間控制在機(jī)械臂、航天器姿態(tài)系統(tǒng)中得到應(yīng)用,但鮮有在飛行器領(lǐng)域的報(bào)道。

基于以上描述,本文提出了一種受油機(jī)指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定魯棒控制器,在時(shí)變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、不確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和風(fēng)擾動(dòng)情況下,仍然保證系統(tǒng)狀態(tài)在指定時(shí)間內(nèi)收斂,從而提升受油機(jī)快速姿態(tài)穩(wěn)定能力。首先,給出指定時(shí)間穩(wěn)定有關(guān)的定義和定理。隨后,建立含時(shí)變動(dòng)態(tài)和擾動(dòng)的受油機(jī)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型,并設(shè)計(jì)指定時(shí)間控制器。最后,通過數(shù)字仿真對(duì)其控制效果和優(yōu)越性進(jìn)行分析。

1 受油機(jī)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型

空中加油任務(wù)通常在高度不太高,速度不太快的條件下執(zhí)行,因此可采用平板地球假設(shè),使用矢量形式剛體飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)模型

式中：=[,,]∈R為受油機(jī)歐拉角,為滾轉(zhuǎn) 角,為 俯 仰 角,為 偏 航 角；=[,,]∈R為受油機(jī)相對(duì)慣性系的角速度在機(jī)體系三軸的分量,分別為滾轉(zhuǎn)角速度、俯仰角速度和偏航角速度；∈R為反對(duì)稱矩陣；∈R為受油機(jī)慣性矩陣；∈R和∈R分別為受油機(jī)姿態(tài)控制力矩和干擾力矩；()∈R為轉(zhuǎn)換矩陣,可表示為

通常,受加工精度和建模水平的限制,受油機(jī)的精確轉(zhuǎn)動(dòng)慣量難以獲取。同時(shí),輸油階段不斷進(jìn)入受油機(jī)的燃油也將改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量特性。此處,令∈R、∈R和∈R分別表示標(biāo)稱慣性矩陣、不確定慣性矩陣和時(shí)變慣性矩陣,于是有

此外,輸油階段的外部擾動(dòng)力矩主要來源于2部分。其一是由加油機(jī)下洗氣流和紊流風(fēng)綜合風(fēng)場(chǎng)引起的風(fēng)擾動(dòng)∈R,其二是由質(zhì)心移動(dòng)產(chǎn)生的附加力矩∈R,有

式中：∈R為受油機(jī)質(zhì)心和壓心的位置差；∈R為作用在壓心處的氣動(dòng)力矩。

由于空中加油任務(wù)通常在晴好天氣下執(zhí)行,且在輸油階段受油機(jī)的運(yùn)動(dòng)將保持在一定范圍內(nèi),不會(huì)出現(xiàn)極端運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。同時(shí),輸油速率被預(yù)先給定,在燃油系統(tǒng)的分配作用下受油機(jī)質(zhì)量特性將會(huì)平緩變化?；诖?可作如下假設(shè)。

在空中加油過程中,假設(shè)1通常是合理,文獻(xiàn)[19-20]等也使用了類似假設(shè)。同時(shí),雖然對(duì)飛行器六自由度運(yùn)動(dòng)而言,飛行控制系統(tǒng)為欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。但是對(duì)姿態(tài)系統(tǒng)而言,飛行控制系統(tǒng)是全驅(qū)動(dòng)的。因此,為了控制律設(shè)計(jì)的便利,此處采用與文獻(xiàn)[18]類似的方法,以轉(zhuǎn)換姿態(tài)控制力矩作為系統(tǒng)控制輸入,而非實(shí)際舵偏?？刂屏睾投嫫闹苯愚D(zhuǎn)換關(guān)系可由文獻(xiàn)[8]獲得。

2 指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)首先介紹了指定時(shí)間穩(wěn)定理論有關(guān)的定義和定理,隨后進(jìn)行指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定魯棒控制器的設(shè)計(jì)。

2.1 指定時(shí)間穩(wěn)定

考慮如下非線性自治系統(tǒng)

式中：∈R 為狀態(tài)向量；：R →R 為平衡點(diǎn)在原點(diǎn)的非線性映射函數(shù),系統(tǒng)初始條件為(0)∈R 。

如果存在一個(gè)預(yù)設(shè)常數(shù)＞0,對(duì)于?∈R 及?＞,都可使系統(tǒng)(7)的解滿足(,)0,那么則稱系統(tǒng)(7)是指定時(shí)間穩(wěn)定的,此時(shí)為指定時(shí)間。

對(duì)于定義在∈[,∞)上動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(7),其中∈R∪{0},若存在一個(gè)徑向無界的李雅普諾夫函數(shù)(),對(duì)任意初值均滿足：

式中：＞0,∈(0,1),＞0和＞0為系統(tǒng)參數(shù)。于是,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(7)是指定時(shí)間穩(wěn)定的,且收斂時(shí)間為。

對(duì)式(10)分離變量,得到

從0處積分,系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間函數(shù)()為

由于()是一個(gè)徑向無界函數(shù),于是有

證畢。

雖然系統(tǒng)(8)與現(xiàn)有文獻(xiàn)中的指定時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)類似,但仍有以下不同之處：

1)本文提出的指定時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)擁有額外的控制參數(shù)和,在控制器設(shè)計(jì)時(shí)擁有更大的自由度。

2)文獻(xiàn)[15]中的指定時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)可視為系統(tǒng)(8)中的1的特例。

2.2 指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)

1)跟蹤微分器

為了得到被跟蹤信號(hào)的數(shù)值微分,可使用離散二階系統(tǒng)形式的跟蹤微分器(Tracking Differentiator,TD),如式(12)所示：

式中：狀態(tài)量()為被追蹤信號(hào)()的數(shù)值微分值；為采樣時(shí)間；最速控制信號(hào)可表示為

式中：為系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)；函數(shù)(·)計(jì)算式為

2)指定時(shí)間姿態(tài)控制器

本節(jié)針對(duì)被控對(duì)象模型(5),考慮時(shí)變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、不確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、風(fēng)干擾和附加力矩的影響,設(shè)計(jì)指定時(shí)間姿態(tài)控制器。定義姿態(tài)穩(wěn)定誤差為

式中：為期望穩(wěn)定的姿態(tài)。定義滑模面為

其中：

式中：,1 ∈R；1 ∈(0,1)為系統(tǒng)參數(shù)；＞0為預(yù)設(shè)時(shí)間；為有關(guān)姿態(tài)誤差的李雅普諾夫函數(shù),有

基于定理1,設(shè)計(jì)姿態(tài)穩(wěn)定控制器如(19)所示：

對(duì)于受油機(jī)姿態(tài)系統(tǒng)(5),在指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制器(19)的作用下,通過設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)=+,姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)指定時(shí)間穩(wěn)定,姿態(tài)跟蹤誤差可在指定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)。

定理2的證明分為2個(gè)步驟。

1)在控制律的作用下,如果滑模面達(dá)到穩(wěn)定點(diǎn),即=0時(shí),可以得到

對(duì)李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo),并代入式(21),可得

根據(jù)定理1,姿態(tài)穩(wěn)定誤差將在指定時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定至0。

2)對(duì)李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo),可以得到

將控制律(19)代入式(23),可以得到

式中：與TD 采樣周期和參數(shù)有關(guān)。

因?yàn)闉橛薪缌?根據(jù)定理1及微分不等式的性質(zhì),式(25)可確保滑模面將在指定時(shí)間內(nèi)收斂至包含0的鄰域內(nèi),且收斂精度與TD 的追蹤精度有關(guān)。

結(jié)合第1)步和第2)步的證明,受油機(jī)姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)有界穩(wěn)定,姿態(tài)穩(wěn)定誤差將在指定時(shí)間=+內(nèi)收斂至包含0的鄰域。

證畢。

雖然現(xiàn)有文獻(xiàn)[17]實(shí)現(xiàn)了航天器指定時(shí)間姿態(tài)追蹤,但其控制器設(shè)計(jì)嚴(yán)格依賴于精確的微分信號(hào)。但在實(shí)際工程應(yīng)用中,精準(zhǔn)的數(shù)值微分往往難以獲取。本文提出的控制器使用TD 獲取數(shù)值微分信號(hào),并將追蹤誤差納入李雅普諾夫穩(wěn)定性證明中,較現(xiàn)有文獻(xiàn)具有更強(qiáng)的應(yīng)用可能性。

為了減緩抖振現(xiàn)象,在仿真時(shí)使用tanh()函數(shù)替代控制律中的符號(hào)函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[23],不等式|sD |-sD tanh(Ks)≤0278 5D/成立。替換符號(hào)函數(shù)引入的近似誤差可直接疊加到式(25)的上,定理2的結(jié)論仍然成立。

3 仿真及分析

本節(jié)通過數(shù)字仿真驗(yàn)證受油機(jī)指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制器的控制效果,同時(shí)將其與有限時(shí)間姿態(tài)控制器對(duì)比。

在仿真過程中,設(shè)受油機(jī)的標(biāo)稱轉(zhuǎn)動(dòng)量為

表1 控制器參數(shù)Table 1 Parameters of control system

將控制器代入受油機(jī)閉環(huán)姿態(tài)控制系統(tǒng)后,受油機(jī)的姿態(tài)曲線、角速度曲線、姿態(tài)誤差曲線和控制力矩曲線分別如圖1～圖4所示。由圖1 可知,在預(yù)設(shè)的穩(wěn)定時(shí)間=3 s+1 s=4 s內(nèi),系統(tǒng)姿態(tài)已經(jīng)穩(wěn)定。同時(shí),姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)的過渡過程平緩,沒有超調(diào),動(dòng)態(tài)性能良好。此外,受油機(jī)角速度經(jīng)過短暫的初始峰值后,也可在指定時(shí)間內(nèi)收斂至穩(wěn)定狀態(tài)。在圖3 所示的控制精度下(約為10度的量級(jí)),圖4 中展示的姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)控制力矩較為平緩,沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象,可通過作動(dòng)器伺服。同時(shí),控制精度符合工程要求,方法具有一定可行性。

圖1 受油機(jī)姿態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 Time response of attitude of receiver

圖2 受油機(jī)角速度響應(yīng)曲線Fig.2 Time response of angular velocity of receiver

圖3 受油機(jī)姿態(tài)誤差曲線Fig.3 Time response of attitude error of receiver

圖4 控制力矩曲線Fig.4 Time response of control torque

為了進(jìn)一步說明本文提出的控制器關(guān)于收斂時(shí)間特性的優(yōu)勢(shì),在表1控制器參數(shù)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步縮短預(yù)設(shè)的指定時(shí)間為=0.8 s、=0.2 s,仿真結(jié)果如圖5 所示。由仿真結(jié)果可知,在控制器其他參數(shù)固定的情況下,通過簡(jiǎn)單調(diào)整控制器(19)中參數(shù)和,即可實(shí)現(xiàn)受油機(jī)姿態(tài)在指定時(shí)間下的控制。而在常規(guī)固定時(shí)間控制系統(tǒng)中,需要同時(shí)調(diào)整控制器增益和冪指數(shù),并使其滿足復(fù)雜的非線性關(guān)系才可實(shí)現(xiàn)收斂時(shí)間調(diào)整的目的,較本文使用的控制器而言更為復(fù)雜。在實(shí)際空中加油過程中,受油機(jī)往往會(huì)受到來自加油機(jī)尾流、大氣紊流和陣風(fēng)等的多重干擾下,受油機(jī)姿態(tài)會(huì)出現(xiàn)一定程度波動(dòng)。若通過指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制器,給受油機(jī)以確定的姿態(tài)收斂時(shí)間,對(duì)促進(jìn)輸油階段的任務(wù)完成具有重要意義。

圖5 不同指定時(shí)間下受油機(jī)姿態(tài)相響應(yīng)對(duì)比Fig.5 Comparison of time responses of receiver attitude with different predefined-time

此外,指定時(shí)間控制器是針對(duì)有限時(shí)間控制器的改進(jìn),此處對(duì)二者進(jìn)行控制效果的對(duì)比。在仿真過程中,使用文獻(xiàn)[25]的有限時(shí)間姿態(tài)控制器作為參考源,為了突出控制器的效果,弱化干擾對(duì)標(biāo)稱控制性能的影響,在對(duì)比性仿真中設(shè)干擾的幅值為0.01 N·m,相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 對(duì)比試驗(yàn)中控制器參數(shù)Table 2 Parameters of control system

圖6和圖7分別展示了指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制器和有限時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制器的姿態(tài)穩(wěn)定曲線及其控制力矩。定義控制系統(tǒng)的收斂時(shí)間為姿態(tài)角誤差進(jìn)入0.05°包絡(luò)線的時(shí)刻,及最大控制輸入為控制幅值絕對(duì)值的最大值。由表3可知,所提出的指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制器不僅較有限時(shí)間控制器有更快的收斂速度和更優(yōu)異的收斂性能,同時(shí),二者所需的最大控制力矩相當(dāng),無需消耗更多的控制能量。

圖7 指定時(shí)間/有限時(shí)間控制器的控制輸入對(duì)比Fig.7 Comparison of control torque with predefinedtime and finite-time controller

表3 控制器性能指標(biāo)對(duì)比(最大輸入力矩相當(dāng)時(shí))Table 3 Comparison of controller performance indexes with equivalent input torques

圖6 指定時(shí)間/有限時(shí)間控制器的姿態(tài)響應(yīng)對(duì)比Fig.6 Comparison of time responses of receiver attitude with predefined-time and finite-time controller

為進(jìn)一步驗(yàn)證控制器性能,保持指定時(shí)間控制器的參數(shù)不變,調(diào)節(jié)有限時(shí)間控制器參數(shù),控制器性能對(duì)比如圖8 所示。仿真結(jié)果表明,當(dāng)有限時(shí)間控制器和指定時(shí)間控制器具有相當(dāng)?shù)氖諗繒r(shí)間時(shí),較指定時(shí)間控制器而言,有限時(shí)間控制器需要相對(duì)更大的輸入力矩(收斂時(shí)間和最大輸入力矩的定量指標(biāo)見表4)。這些額外的輸入力矩在初始收斂階段造成一定超調(diào),并未被有效地利用。綜合圖6～圖8,所提指定時(shí)間控制器相較于有限時(shí)間控制器,在最大控制力矩幅值相當(dāng)時(shí)擁有相對(duì)更快的收斂時(shí)間,在收斂時(shí)間相當(dāng)時(shí)擁有相對(duì)更小的輸入力矩,具有較為優(yōu)異的控制性能。

圖8 指定時(shí)間/有限時(shí)間控制器性能對(duì)比Fig.8 Comparison of control performances with predefined-time and finite-time controller

表4 控制器性能指標(biāo)對(duì)比(姿態(tài)穩(wěn)定時(shí)間相當(dāng)時(shí))Table 4 Comparison of controller performance indexes with equivalent settlling time

4 結(jié) 論

1)本文設(shè)計(jì)了一種基于指定時(shí)間穩(wěn)定性的受油機(jī)指定時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定魯棒控制器。受油機(jī)的時(shí)變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、不確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、風(fēng)擾動(dòng)、附加力矩等因素在控制器中予以考慮,仿真結(jié)果證明本文提出的控制器具有較好控制精度和動(dòng)態(tài)過程。

2)與有限時(shí)間和固定時(shí)間控制策略相比,本文提出的指定時(shí)間控制器是一種更先進(jìn)的策略。通過直接調(diào)整控制器參數(shù),可使受油機(jī)姿態(tài)在預(yù)設(shè)時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定,建立了收斂時(shí)間和控制器參數(shù)間的簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)關(guān)系。該方法還可擴(kuò)展至其他對(duì)時(shí)間敏感的飛行任務(wù)中,促進(jìn)飛行任務(wù)的完成。

后期,將繼續(xù)考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸入受限和控制算法在含實(shí)時(shí)操作系統(tǒng)的嵌入式平臺(tái)的移植,以及實(shí)際輸油過程中的外部擾動(dòng)建模,以進(jìn)一步提升該方法的工程應(yīng)用性。