基于DUEA 的天線伺服控制系統(tǒng)仿真

李寧,劉志勇,王娜,*,楊壘

1.中國科學(xué)院 新疆天文臺,烏魯木齊 830011

2.中國科學(xué)院大學(xué) 天文與空間科學(xué)學(xué)院,北京 100083

射電望遠(yuǎn)鏡在不同頻率觀測時(shí),要求指向精度與對應(yīng)頻率的半功率波束寬(Half-Power Beam Width,HPBW)正相關(guān),而拋物面天線的半功率波束寬約等于觀測波長與射電望遠(yuǎn)鏡天線口徑的比值。因此天線口徑的增大及觀測頻率的提高對天線指向精度提出了更高的需求,如擬建的110 m 口徑奇臺射電望遠(yuǎn)鏡(Qi Tai radio Telescope,QTT),要求觀測100 GHz頻率電磁波時(shí)的最終指向精度達(dá)到1.5″。與此同時(shí),天線口徑增大帶來的問題為實(shí)現(xiàn)天線高指向精度帶來新的挑戰(zhàn)。

天線伺服系統(tǒng)是一種典型的高精度運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng),其控制精度常受到諸如陣風(fēng)、重力及冰雪等載荷、結(jié)構(gòu)柔性、未建模動(dòng)態(tài)、摩擦死區(qū)、齒隙等非線性因素的制約。而天線口徑的增大不僅使天線受到重力及陣風(fēng)等載荷的影響增大,還導(dǎo)致系統(tǒng)機(jī)械諧振頻率的降低,限制了系統(tǒng)的響應(yīng)速度,又使得系統(tǒng)控制性能受到非線性摩擦的影響更為突出。除此之外,天線長時(shí)間觀測運(yùn)轉(zhuǎn)造成的設(shè)備磨損老化以及溫度梯度造成系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng),使得系統(tǒng)不確定性對天線指向性能的影響更加明顯。分析可知,以上因素對天線指向控制的影響主要表現(xiàn)為2種情形：①磨損老化以及溫度梯度使天線伺服系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化；②陣風(fēng)、摩擦等以擾動(dòng)的形式作用于天線的伺服系統(tǒng)。因此降低天線系統(tǒng)的不確定以及擾動(dòng)對天線伺服系統(tǒng)輸出的不利影響,是實(shí)現(xiàn)天線高指向精度的前提。常用方法是在伺服控制中引入相應(yīng)補(bǔ)償策略或利用先進(jìn)控制算法進(jìn)行主動(dòng)控制,從而提高系統(tǒng)的控制性能。

比例-積分-微分(PID)控制是天線伺服控制常用的控制方法,然而當(dāng)性能指標(biāo)提高時(shí),PID 控制明顯不能滿足控制需求,因此基于非線性PID、迭代學(xué)習(xí)-模糊PID、線性二次型高斯(LQG)、、定量反饋理論(QFT)以及自抗擾控制(ADRC)等先進(jìn)控制算法被用于提升系統(tǒng)的控制性能,此外,在傳統(tǒng)線性控制的基礎(chǔ)上引入速度、加速度前饋的方法也被用于提高天線的跟蹤精度。正如文獻(xiàn)[14,18]指出,PI簡單可靠,但控制性能有限；LQG 與能夠很好地提升控制性能,但當(dāng)參數(shù)發(fā)生攝動(dòng)時(shí),由于LQG 對系統(tǒng)模型有很強(qiáng)的依賴性,使得LQG的控制性能變化較大,使用混合靈敏度控制的性能指標(biāo)也發(fā)生了較大變化。相較于,由于對系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)具有較好的魯棒性,因此二階ADRC的控制性能變化不大,但其上升時(shí)間等暫態(tài)性能差點(diǎn)。分析發(fā)現(xiàn)控制設(shè)計(jì)通常對具有加性或乘性不確定的系統(tǒng)求解滿足一定魯棒性能的高階控制器,因此能獲得良好的暫態(tài)特性,而對其他問題則顯得保守。LADRC 由于其控制器結(jié)構(gòu)優(yōu)勢,能夠觀測和補(bǔ)償與認(rèn)知模型不相符的不確定和擾動(dòng)(即總擾動(dòng)),從而提高了系統(tǒng)性能的魯棒性。因此為提升天線伺服系統(tǒng)的控制性能,有必要綜合兩者的優(yōu)點(diǎn)來設(shè)計(jì)天線伺服系統(tǒng)的控制器。

1 射電望遠(yuǎn)鏡伺服系統(tǒng)建模

典型射電望遠(yuǎn)鏡天線的伺服系統(tǒng)由方位和俯仰2個(gè)伺服子系統(tǒng)組成,通過電機(jī)驅(qū)動(dòng)2個(gè)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)天線的指向。方位軸和俯仰軸在幾何上相互正交,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上具有相似性,因此只需對其中一個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行建模分析。

圖1為雙反射面射電望遠(yuǎn)鏡天線的方位伺服系統(tǒng)簡化模型。天線方位系統(tǒng)的徑向臂通常有2組,其中組為驅(qū)動(dòng)天線方位運(yùn)轉(zhuǎn)的驅(qū)動(dòng)力臂,組為起平衡作用的平衡臂,圖中為示意僅畫出一組驅(qū)動(dòng)力臂。每一組力臂上的電機(jī)帶動(dòng)滾輪轉(zhuǎn)動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)天線的方位指向,組驅(qū)動(dòng)力臂在電機(jī)選型和結(jié)構(gòu)組成上完全相同。圖中：、分別表示包括主面、副面撐腿和副面等上部結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角位移；、、分別為包括天線A-型架在內(nèi)的主面下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度、阻尼系數(shù)以及角位移；、分別為電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角位移；、分別為滾輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角位移；、分別表示電機(jī)和滾輪之間的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼系數(shù)；、分別表示滾輪驅(qū)動(dòng)部位的旋轉(zhuǎn)慣量和角位移；、分別為下部結(jié)構(gòu)與驅(qū)動(dòng)力臂間的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼。

圖1 射電望遠(yuǎn)鏡方位模型描述Fig.1 Azimuth model for radio telescope

由圖1中所示物理量寫出系統(tǒng)的動(dòng)能、勢能以及耗散能：

設(shè)滾輪和輪軌的半徑比為,則有=,取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)向量為=[],系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程以及歐拉-拉格朗日方程分別為

其中：、、、分別表示系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣以及廣義輸入力,=1,2,…,4表示廣義坐標(biāo)分量的編號?；喪?5),有

系統(tǒng)的輸入量為

式中：表示電機(jī)的輸出力矩；表示力矩的輸入矩陣；為控制輸入量。整理系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程有

進(jìn)一步記作

式中：表示系統(tǒng)矩陣；表示系統(tǒng)控制輸入矩陣；代表系統(tǒng)輸出矩陣；為系統(tǒng)的直通項(xiàng)。該狀態(tài)方程對應(yīng)的傳遞函數(shù)為

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于回路成形的混合靈敏度H∞主控制器

典型反饋控制的結(jié)構(gòu)框圖如圖2 所示。圖中：表示反饋控制器；表示被控對象；、、、、分別表示系統(tǒng)的參考輸入指令、輸出響應(yīng)、跟蹤誤差、控制輸入量以及量測噪聲。假定被控對象確定,也不受外擾影響,整個(gè)控制系統(tǒng)只受量測噪聲影響,對標(biāo)稱模型求解滿足性能指標(biāo)要求的控制器。

圖2 帶有加權(quán)輸出的反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Block diagram of feedback control system with weighting outputs

該控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)()、跟蹤誤差傳遞函數(shù)()、控制器輸出傳遞函數(shù)()、系統(tǒng)輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)()分別為

跟蹤誤差傳遞函數(shù)不僅表示了系統(tǒng)從輸入到跟蹤誤差的頻域響應(yīng),也表示了系統(tǒng)對輸出擾動(dòng)的抑制能力,及系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)()；控制器輸出傳遞函數(shù)也稱為控制靈敏度函數(shù)(),表示控制器輸出的頻域響應(yīng)；輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)也稱補(bǔ)靈敏度函數(shù)(),表示系統(tǒng)對輸入?yún)⒖贾噶罡櫟念l域特性,也可以表示從量測噪聲到系統(tǒng)輸出的傳遞函數(shù)。若要求系統(tǒng)的跟蹤誤差、控制信號、系統(tǒng)對量測噪聲的響應(yīng)在相應(yīng)頻率上小于某一給定值,可以分別對相應(yīng)傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)加權(quán)函數(shù)()、()和(),使得歸一化后輸入到加權(quán)輸出、、的傳遞函數(shù)的最大奇異值小于給定值(一般為1),進(jìn)而可以設(shè)計(jì)基于回路成形思想的控制器。而傳遞函數(shù)的最大奇異值等于其范數(shù),因此設(shè)計(jì)指標(biāo)可記為

由于是對3 個(gè)靈敏度函數(shù)進(jìn)行范數(shù)設(shè)計(jì),因此該設(shè)計(jì)方法也稱為混合靈敏度設(shè)計(jì)。對式(15)作下分式變換,得到傳遞矩陣

因此混合靈敏度控制問題可以表述為,設(shè)計(jì)控制器,使得：① 閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定；②閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的范數(shù)小于給定值。

選擇合適的加權(quán)函數(shù)后再使用MATLAB軟件中的mixsyn 函數(shù)即可解得滿足標(biāo)稱系統(tǒng)指標(biāo)要求的控制器。由此可知基于回路成形認(rèn)識的混合靈敏度控制設(shè)計(jì)具有非常直觀的解釋,對標(biāo)稱模型來說是一種非常有效的控制設(shè)計(jì)方法。盡管關(guān)于混合靈敏度控制的常見視角是抑制被控對象某種假設(shè)的不確定,如逆乘性不確定()、乘性不確定()、加性不確定(),但正如文獻(xiàn)[20]所言,該假設(shè)的前提是系統(tǒng)的不確定滿足范數(shù)有界,性能可由閉環(huán)傳遞函數(shù)的范數(shù)測量；此外,當(dāng)系統(tǒng)存在不確定時(shí),雖然基于抑制系統(tǒng)不確定視角設(shè)計(jì)的控制器能得到可接受的控制性能,但攝動(dòng)后的系統(tǒng)控制性能較標(biāo)稱性能必然會(huì)發(fā)生變化。因此本文從回路成形的視角理解混合靈敏度控制設(shè)計(jì)方法并用于對標(biāo)稱模型設(shè)計(jì)主控制器,為保證基于標(biāo)稱模型設(shè)計(jì)的控制性能,需要對因參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)造成的系統(tǒng)輸出變化進(jìn)行額外補(bǔ)償。

2.2 系統(tǒng)擾動(dòng)/不確定的觀測與補(bǔ)償

考慮嚴(yán)真(=0)被控對象,當(dāng)系統(tǒng)受到輸入擾動(dòng),且系統(tǒng)存在參數(shù)不確定(簡單起見,假設(shè)系統(tǒng)未受到輸出參數(shù)不確定)及非線性特性,即如下情形

式中：、、為 辨 識 得 到 的 系 統(tǒng) 參 數(shù)；(,)為系統(tǒng)的不可線性化部分,對式(17)變形有

辨識得到的標(biāo)稱模型的狀態(tài)方程為

可見,(-y)的產(chǎn)生主要由(Δx+Δ u++(,))造成,直接確定(Δx+Δ u++(,))是一件完全不可能的事,然而方便的是確定其對系統(tǒng)輸出的影響。因此基于等效輸入擾動(dòng)(EID)的思想,假設(shè)對于任意的時(shí)間,總是存在一個(gè)等效的輸入擾動(dòng),滿足如下狀態(tài)方程

使用GESO 觀測的等效輸入擾動(dòng)可以補(bǔ)償輸入擾動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)及非線性部分對系統(tǒng)輸出造成的影響,實(shí)際上,還可以補(bǔ)償任意影響系統(tǒng)輸出的擾動(dòng)和不確定?；贕ESO 的擾動(dòng)/不確定觀測和補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 基于廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的擾動(dòng)/不確定觀測補(bǔ)償結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Block diagram of disturbance/uncertainty estimation and attenuation based on generalized extended state observer

3 仿真與分析

本文以某35 m 口徑天線的方位軸傳遞函數(shù)為研究對象,其傳遞函數(shù)為

利用混合靈敏度設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)滿足如下性能指標(biāo)的控制器：

1)上升時(shí)間小于2 s。

2)超調(diào)量小于20%。

3)調(diào)節(jié)時(shí)間小于4 s。

確定權(quán)函數(shù)的常用公式是

式中：表示靈敏度函數(shù)的峰值,一般要求小于2；表示靈敏度函數(shù)帶寬；表示允許的穩(wěn)態(tài)誤差。

為了構(gòu)造要求的穩(wěn)定度,使得/的比值等于穩(wěn)定裕度,并且取為補(bǔ)靈敏度函數(shù)的帶寬；為保證為真函數(shù)且滿足一定的高頻抑制能力,在分子中添加/項(xiàng),表示對高頻信號的抑制度。通常要求小于一個(gè)常數(shù)。通過對系統(tǒng)綜合分析,得到如下權(quán)函數(shù)

將GESO 的極點(diǎn)配置到系統(tǒng)控制帶寬的整數(shù)倍,得到如下觀測器增益

最終的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。其中主控制器用于實(shí)現(xiàn)標(biāo)稱系統(tǒng)的性能,GESO 用于對系統(tǒng)的不確定和受到的擾動(dòng)進(jìn)行觀測和補(bǔ)償。

圖4 最終的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Block diagram of final control system

由第1節(jié)射電望遠(yuǎn)鏡伺服系統(tǒng)建模結(jié)果可知系統(tǒng)參數(shù)的不確定可以表示成系統(tǒng)互質(zhì)因子型不確定,因此考慮系統(tǒng)參數(shù)(19.712,111.736,6.54,151,580,1 370)發(fā)生攝動(dòng),考察2個(gè)極限攝動(dòng)對象的單位階躍響應(yīng)。性能指標(biāo)有上升時(shí)間(Rising Time)、超調(diào)量(Overshoot)、調(diào)節(jié)時(shí)間(Settling Time)以及絕對誤差時(shí)間積分值(ITAE)。對比使用控制器與使用-GESO 控制器時(shí)系統(tǒng)性能指標(biāo)的變化。

首先考慮參數(shù)未發(fā)生攝動(dòng)的情況,仿真結(jié)果見圖5。由圖5可知2種控制器作用下的系統(tǒng)響應(yīng)完全一致,這表明由于無參數(shù)攝動(dòng)造成響應(yīng)誤差,因此GESO 沒有起作用。

圖5 2種控制器分別作用下的響應(yīng)曲線Fig.5 Response curves under action of two controllers respectively

再次考慮系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)的情況,當(dāng)參數(shù)攝動(dòng)5%時(shí),使用控制器和-GESO 控制器的仿真結(jié)果分別如圖6(a)、圖7(a)所示,對應(yīng)的上升時(shí)間-調(diào)節(jié)時(shí)間,超調(diào)量-ITAE 的散點(diǎn)圖見圖6(b)、圖6(c)、圖7(b)、圖7(c)所示。去除極端點(diǎn)后,由圖中數(shù)據(jù)給出表1所示4個(gè)性能指標(biāo)的變化范圍(最大值-最小值)以及-GESO/性能指標(biāo)的分散比值。為方便比較,表1中也給出文獻(xiàn)[18]中展示的相同攝動(dòng)情況下的傳統(tǒng)整數(shù)階PID的控制指標(biāo)的變化范圍。由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知參數(shù)攝動(dòng)時(shí)使用控制器和-GESO 控制器都能獲得滿足要求的性能指標(biāo),而使用-GESO 控制的各項(xiàng)性能指標(biāo)變化范圍更小,-GESO 的指標(biāo)分散度最大為指標(biāo)分散度的66.7%,最小僅為40%,因而獲得更好的控制性能。雖然PID控制的上升時(shí)間變化范圍較小,但其他3項(xiàng)指標(biāo)的變化范圍均比和-GESO 的大。此外,文獻(xiàn)[18]中PID 控制為了取得較小的上升時(shí)間和要求的調(diào)節(jié)時(shí)間,使得控制系統(tǒng)的超調(diào)量超過天線伺服控制要求的最大超調(diào)量,實(shí)際中這樣的控制器不能應(yīng)用于真實(shí)天線伺服控制系統(tǒng)。

表1 使用不同控制策略的性能指標(biāo)變化范圍Table 1 Variation range of performance indexes using different control strategies

最后分析參數(shù)攝動(dòng)5%時(shí)系統(tǒng)對輸入擾動(dòng)的抑制能力,主要考慮天線系統(tǒng)受到階躍擾動(dòng)和隨機(jī)擾動(dòng)2種。

首先,分析系統(tǒng)受到階躍輸入擾動(dòng)的情況,結(jié)果如圖6(d)、圖7(d)所示。由圖6(d)可知設(shè)計(jì)的控制器只是在一定程度上抑制了擾動(dòng),但不能完全抑制輸入擾動(dòng)對系統(tǒng)輸出的影響,而圖7(d)表明-GESO 控制器不僅可以做到無凈差抑制擾動(dòng),而且能更快地實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)不確定和受到擾動(dòng)的觀測和抑制。

圖6 使用H∞控制器的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results using H∞controller

圖7 使用H∞-GESO 控制器的仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results using H∞-GESO controller

其次,分析系統(tǒng)受到隨機(jī)輸入擾動(dòng),用以模擬天線伺服系統(tǒng)受到的風(fēng)荷擾動(dòng)。天線系統(tǒng)一段時(shí)間內(nèi)受到的風(fēng)荷可以表示成平均風(fēng)和陣風(fēng)的組合,因而可以用階躍信號表示作用于天線系統(tǒng)的平均風(fēng),用隨機(jī)平穩(wěn)序列表示系統(tǒng)受到的陣風(fēng)載荷,陣風(fēng)載荷可通過高斯白噪聲和Davenport功率譜得到。作用于天線主反射面的風(fēng)荷在主面上形成風(fēng)壓,進(jìn)而形成影響系統(tǒng)方位、俯仰輸出的力矩,因此可以將風(fēng)致力矩轉(zhuǎn)換到天線伺服系統(tǒng)速度環(huán),等效為速度環(huán)的輸入擾動(dòng)。圖8為系統(tǒng)抑制輸入隨機(jī)擾動(dòng)的結(jié)果,同樣為比較,本文給出PID 控制的結(jié)果。由圖8可知,雖然隨機(jī)風(fēng)對伺服系統(tǒng)一直有影響,但遠(yuǎn)不如平均風(fēng)對系統(tǒng)的影響大。雖然使用PID 控制可以抑制風(fēng)載作用,但相較和-GESO,PID 對 隨 機(jī) 輸 入 擾 動(dòng) 的抑制效果相對更差。

圖8 隨機(jī)擾動(dòng)抑制結(jié)果Fig.8 Simulation results of random-disturbance rejection

同時(shí),由圖6(d)和圖7(d)也可以看到,單獨(dú)使用控制的結(jié)果能更快到達(dá)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值,而使用-GESO 控制的結(jié)果雖然呈現(xiàn)1‰的波動(dòng),但能收斂到0值。分析可知原因在于GESO對擾動(dòng)的持續(xù)調(diào)節(jié)所致,也是分散控制器設(shè)計(jì)方法的不足,相信還有較本文控制性能更優(yōu)的控制器設(shè)計(jì)方法。

4 結(jié) 論

本文研究了射電望遠(yuǎn)鏡天線系統(tǒng)參數(shù)不確定和外部擾動(dòng)影響時(shí)射電望遠(yuǎn)鏡天線伺服系統(tǒng)的控制性能。

1)理論分析表明：無論對于系統(tǒng)的參數(shù)不確定,高階未建模部分還是外部擾動(dòng),均可將其等效為輸入擾動(dòng)(EID),設(shè)計(jì)廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(GESO)對其進(jìn)行觀測,進(jìn)而補(bǔ)償其對系統(tǒng)輸出的影響。

2)仿真結(jié)果表明,無論對于系統(tǒng)參數(shù)的不確定,還是系統(tǒng)受到的輸入階躍擾動(dòng)或隨機(jī)擾動(dòng),單獨(dú)使用混合靈敏度控制器可以獲得滿足性能指標(biāo)要求的控制性能,而使用-GESO 控制器可以獲得較單獨(dú)使用控制器更優(yōu)的控制性能,其性能指標(biāo)的分散度僅為指標(biāo)分散度的66.7%及以下,因而更好地保證了射電望遠(yuǎn)鏡的指向穩(wěn)定度和指向精度。

致 謝

感謝在本文寫作過程中提供建議的聞成、王艷、馮金平三位博士。