跨聲速風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭鲃?dòng)減振結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

曾開春,寇西平,2,*,楊興華,余立,查俊

1.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 高速空氣動(dòng)力研究所,綿陽 621000

2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院,西安 710072

隨著航空技術(shù)的發(fā)展,現(xiàn)代高性能飛行器研制對(duì)風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)質(zhì)量的要求越來越高。然而,在高速風(fēng)洞試驗(yàn),特別是跨聲速風(fēng)洞試驗(yàn)中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)飛行器模型及其支撐結(jié)構(gòu)大幅度振動(dòng)的現(xiàn)象,不僅給試驗(yàn)數(shù)據(jù)質(zhì)量帶來影響,還會(huì)限制試驗(yàn)狀態(tài)范圍,甚至嚴(yán)重威脅試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃惋L(fēng)洞的安全。由于氣流激勵(lì)載荷大、主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)中作動(dòng)器安裝空間小等原因,高速風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ驼駝?dòng)一直是國(guó)內(nèi)外風(fēng)洞運(yùn)行部門廣泛關(guān)注但難以解決的問題。

隨著小體積、大推力壓電陶瓷作動(dòng)器技術(shù)的逐漸成熟,形成了一條解決風(fēng)洞模型振動(dòng)問題的有效途徑,即在不改變支撐結(jié)構(gòu)形式和外形的基礎(chǔ)上,通過在支桿內(nèi)集成壓電陶瓷疊堆作動(dòng)器(下文簡(jiǎn)稱壓電作動(dòng)器),形成主動(dòng)減振系統(tǒng),利用壓電作動(dòng)器在電壓激勵(lì)下產(chǎn)生控制力,來達(dá)到抑制模型振動(dòng)的目的。影響這類主動(dòng)減振系統(tǒng)控制效果的主要因素是主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)(下文簡(jiǎn)稱減振結(jié)構(gòu))的控制能力和控制算法。目前,國(guó)內(nèi)外已針對(duì)減振控制算法開展了大量研究,建立了較為有效的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法,但對(duì)減振結(jié)構(gòu)的研究還相對(duì)較少。然而,在實(shí)際工程應(yīng)用中,由于主動(dòng)減振系統(tǒng)使用的壓電作動(dòng)器雖然推力大,但行程非常短(μm 量級(jí)),若安裝壓電作動(dòng)器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不合理,將會(huì)導(dǎo)致主動(dòng)減振系統(tǒng)難以獲得良好的減振控制效果。因此,有必要對(duì)模型主動(dòng)減振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化研究,探索提升減振系統(tǒng)控制能力的有效途徑。

歐洲的ETW(European Transonic Windtunnel)自20世紀(jì)90年代就進(jìn)行了風(fēng)洞模型主動(dòng)減振技術(shù)研究。2001 年,ETW 和德國(guó)ERAS公司合作,研制了一套位于支桿與天平之間的主動(dòng)減振系統(tǒng)。其將14個(gè)壓電作動(dòng)器環(huán)狀布置在減振接頭中,并通過14個(gè)預(yù)緊螺栓來實(shí)現(xiàn)對(duì)壓電作動(dòng)器的預(yù)緊。該方案能夠?qū)υ囼?yàn)?zāi)Ｐ统凉L轉(zhuǎn)外的5 個(gè)剛體自由度振動(dòng)進(jìn)行控制,但是其在風(fēng)洞模型振動(dòng)最嚴(yán)重的模態(tài),即縱向第一階模態(tài)上,控制效果還難以滿足使用需求。為此,2003年,ETW 又在支桿后端研制了一套縱向減振系統(tǒng),與第一套減振系統(tǒng)配合使用,大幅度提升了對(duì)縱向一階模態(tài)振動(dòng)的抑制能力,但是其卻并未公布該后端主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)的技術(shù)細(xì)節(jié)。

美國(guó) NASA (National Aeronautics and Space Administration)蘭利中心在2007 年也開始和ViGYAN 公司合作,進(jìn)行基于壓電作動(dòng)器的風(fēng)洞模型主動(dòng)減振研究。ViGYAN 公司的Balakrishna等首先在低速風(fēng)洞中研制了一套位于支桿前端的驗(yàn)證性減振系統(tǒng),證明了壓電作動(dòng)器用于風(fēng)洞模型主動(dòng)振動(dòng)控制的可行性。隨后,Balakrishna等根據(jù)該方案,以Pathfinder-I飛機(jī)模型支撐結(jié)構(gòu)為對(duì)象,研制了一套支桿前端主動(dòng)減振結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)的4個(gè)壓電作動(dòng)器沿周向均勻分布,嵌入支桿內(nèi)；為了提高減振系統(tǒng)的減振能力,還對(duì)壓電作動(dòng)器的周向布置方式進(jìn)行了對(duì)比研究,給出了作動(dòng)器的最佳布局及控制策略。在NTF(National Transonic Facility)風(fēng)洞的試驗(yàn)結(jié)果表明,該減振系統(tǒng)能夠拓展試驗(yàn)包線,但其減振能力還不足以控制迎角較大時(shí)發(fā)生的劇烈振動(dòng),僅可以提高這類振動(dòng)的發(fā)生迎角。2011年,Balakrishna等又對(duì)風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性及壓電作動(dòng)器的耗能能力進(jìn)行了建模分析,并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一套位于支桿后端的減振結(jié)構(gòu)。在NTF風(fēng)洞和Ames-11英尺風(fēng)洞的試驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果表明,該結(jié)構(gòu)對(duì)模型振動(dòng)有較強(qiáng)的控制能力,并可以大幅度提高模型劇烈振動(dòng)現(xiàn)象的發(fā)生迎角。同時(shí),Balakrishna等還指出,非定常氣動(dòng)載荷引起的模型支撐結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量大,減振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)需要盡可能地提高壓電減振結(jié)構(gòu)的能量耗散能力。

近年來,國(guó)內(nèi)高校和相關(guān)研究機(jī)構(gòu)也開展了風(fēng)洞模型振動(dòng)主動(dòng)控制研究。陳衛(wèi)東等首先使用內(nèi)置于模型內(nèi)的電磁式作動(dòng)器來對(duì)模型振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)控制。Liu等采用壓電作動(dòng)器,發(fā)展了一套位于支桿后端的風(fēng)洞模型主動(dòng)減振系統(tǒng),其作動(dòng)器布置方式與NTF前端減振結(jié)構(gòu)布置方式相似,壓電作動(dòng)器通過預(yù)緊結(jié)構(gòu)直接嵌入支桿根部。余立和Shen等發(fā)展了一種位于支桿后端,專門控制模型縱向振動(dòng)的主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)的壓電作動(dòng)器全部布置在支桿下方,并在結(jié)構(gòu)前端設(shè)計(jì)2 個(gè)彈性鉸鏈,以削弱結(jié)構(gòu)對(duì)壓電作動(dòng)器的約束剛度,提高系統(tǒng)的振動(dòng)控制能力。

上述研究中,對(duì)風(fēng)洞模型主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)的研究主要集中在壓電作動(dòng)器的布置、減振結(jié)構(gòu)的形式等結(jié)構(gòu)方案方面,缺乏對(duì)減振結(jié)構(gòu)能力評(píng)價(jià)及優(yōu)化方法的研究。然而,由于風(fēng)洞試驗(yàn)對(duì)支桿外形尺寸有嚴(yán)格限制,無法簡(jiǎn)單地通過增加壓電作動(dòng)器的數(shù)量來提升主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)的減振能力。這種情況下,對(duì)安裝壓電作動(dòng)器的減振結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體優(yōu)化,就成為一條提升減振結(jié)構(gòu)能力最有效的途徑。因此,發(fā)展主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)定量評(píng)價(jià)方法和結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,為主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)方案選取及結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)提供手段,對(duì)風(fēng)洞模型主動(dòng)減振系統(tǒng)研制具有重要意義。

本文針對(duì)基于壓電作動(dòng)器的風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭鲃?dòng)減振裝置,研究其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要考慮的約束條件和減振能力指標(biāo)度量方法,進(jìn)而給出結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)表達(dá)和優(yōu)化算法,以期探索出提升減振系統(tǒng)能力的有效途徑。

1 風(fēng)洞模型主動(dòng)減振系統(tǒng)與原理

典型高速風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)由模型、天平、支桿、直接頭及彎刀機(jī)構(gòu)依次連接組成,如圖1所示(由于天平位于模型內(nèi)腔,為了便于展示,圖中將模型剖開)。為了減小氣動(dòng)干擾,支桿通常設(shè)計(jì)得較為細(xì)長(zhǎng)；為了增加天平測(cè)量的精準(zhǔn)度,天平剛度也設(shè)計(jì)得較弱。因此,在模型受到非定常氣流激勵(lì)時(shí),支撐結(jié)構(gòu)容易產(chǎn)生低頻率大幅度振動(dòng)。

圖1 典型高速風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)Fig.1 Typical high-speed wind tunnel model support mechanism

從大量試驗(yàn)?zāi)Ｐ驼駝?dòng)問題的統(tǒng)計(jì)情況來看,系統(tǒng)的振動(dòng)能量主要集中在模型縱向前2階固有模態(tài)上。為此,對(duì)典型的飛機(jī)模型支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn),測(cè)得了縱向前2階模態(tài)振型,如圖2所示。由圖可以看出,縱向第1階模態(tài)主要表現(xiàn)為模型剛體平動(dòng)、支桿一階彎曲彈性振動(dòng)。該模態(tài)主要由支桿的彈性引起,通常稱為縱向支桿模態(tài)?？v向第2階模態(tài)主要表現(xiàn)為模型剛體俯仰,天平彎曲變形,而支桿變形幅度相對(duì)較小。該模態(tài)主要由天平的彈性引起,通常稱為縱向天平模態(tài)。

圖2 某飛機(jī)模型支撐結(jié)構(gòu)模態(tài)振型Fig.2 Modal shapes of aircraft model support mechanism

從圖2還可以看出,在風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)振動(dòng)中,振動(dòng)位移較大的是風(fēng)洞模型。從振動(dòng)理論可知,沿著模型振動(dòng)位移方向施加控制力,可以取得最好的控制效果。但是在高速風(fēng)洞試驗(yàn)中,為了減小支撐結(jié)構(gòu)對(duì)風(fēng)洞模型的氣流干擾,一般不允許在模型上或模型附近增加暴露在流場(chǎng)中的結(jié)構(gòu)。國(guó)內(nèi)外實(shí)用的模型主動(dòng)減振系統(tǒng)均是將作動(dòng)器內(nèi)嵌入支桿中,成為支撐結(jié)構(gòu)的一部分,在控制模型振動(dòng)的同時(shí),也參與傳遞模型上的氣動(dòng)載荷。

圖3給出了內(nèi)嵌有壓電作動(dòng)器的主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)工作原理示意圖。壓電作動(dòng)器分布在支桿上、下兩側(cè),作動(dòng)方向與支桿軸線平行,通過壓電作動(dòng)器的差動(dòng)作動(dòng),可以產(chǎn)生推動(dòng)模型上、下運(yùn)動(dòng)的控制力矩。當(dāng)引入測(cè)控系統(tǒng)形成閉環(huán)回路時(shí),就可以通過實(shí)時(shí)控制壓電作動(dòng)器的輸入電壓,實(shí)現(xiàn)對(duì)風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)主要模態(tài)的振動(dòng)抑制。

圖3 主動(dòng)減振系統(tǒng)工作原理Fig.3 Active vibration damping system operation mechanism

由于壓電作動(dòng)器內(nèi)嵌在支撐結(jié)構(gòu)中,壓電作動(dòng)器作動(dòng)時(shí),需要首先克服結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力,剩余的作動(dòng)力才能用于推動(dòng)風(fēng)洞模型產(chǎn)生運(yùn)動(dòng),因此,如果壓電作動(dòng)器兩端的結(jié)構(gòu)剛度過大,就會(huì)造成作動(dòng)器作動(dòng)效率低的問題。中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心的余立等給出了雙彈性鉸減振結(jié)構(gòu)方案,如圖4所示。該方案將直接頭下部掏空,嵌入壓電作動(dòng)器,并在其前方設(shè)計(jì)2個(gè)彈性鉸鏈,用于削弱結(jié)構(gòu)對(duì)壓電作動(dòng)器的約束剛度,使主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)具備減振能力。該方案中,2個(gè)彈性鉸鏈的設(shè)計(jì)是影響減振系統(tǒng)減振能力的關(guān)鍵。

為方便敘述,本文將風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)上安裝壓電作動(dòng)器,發(fā)揮作動(dòng)器能力的裝配體結(jié)構(gòu),稱為“主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)”,或簡(jiǎn)稱“減振結(jié)構(gòu)”,如圖4所示；將“主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)”和測(cè)控系統(tǒng)軟/硬件組成的完整系統(tǒng),稱為“主動(dòng)減振系統(tǒng)”,或簡(jiǎn)稱“減振系統(tǒng)”；將飛行器風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃?jiǎn)稱為“風(fēng)洞模型”。

圖4 雙彈性鉸主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)Fig.4 Active vibration damping structure with double flexible joints

2 帶主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)的風(fēng)洞模型支撐系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

2.1 壓電作動(dòng)器模型

壓電作動(dòng)器是由經(jīng)過極化的壓電陶瓷薄片疊放、燒結(jié)、封裝而成。陶瓷片間鍍有電極,在外界電場(chǎng)作用下陶瓷片因逆壓電效應(yīng)產(chǎn)生法向形變。每個(gè)壓電作動(dòng)器的陶瓷片數(shù)量可達(dá)到數(shù)千片,因而可以在作動(dòng)器軸向產(chǎn)生可觀的位移。

按照第一類壓電方程,當(dāng)在陶瓷片上施加電場(chǎng)時(shí),在陶瓷片法向(即壓電陶瓷片的3-3方向)產(chǎn)生誘導(dǎo)應(yīng)力,此時(shí)的本構(gòu)方程可表達(dá)為

式中：、分別為壓電陶瓷片在法向的應(yīng)力和應(yīng)變；為電壓為常值時(shí),壓電陶瓷材料的彈性模量；為 壓 電 應(yīng) 力 常 數(shù)；為 陶 瓷 片 厚 度；為陶瓷片兩端施加的電壓。根據(jù)式(1),可得到壓電作動(dòng)器輸出的軸向推力與其形變位移關(guān)系

式中：Δ為壓電作動(dòng)器伸長(zhǎng)量；為作動(dòng)器初始長(zhǎng)度；為作動(dòng)器橫截面的面積；為作動(dòng)器輸出的軸向推力。除壓電作動(dòng)器的幾何參數(shù)外,壓電廠家一般還會(huì)提供壓電作動(dòng)器的最大推力和行程Δ。實(shí)際上,為壓電作動(dòng)器施加最大電壓、伸長(zhǎng)量Δ為0時(shí)輸出的推力；Δ為作動(dòng)器施加最大電壓、推力保持為0時(shí)的伸長(zhǎng)量。根據(jù)最大推力和行程Δ的物理意義,可以獲得式(2)中Δ和的系數(shù),分別為

實(shí)際上,從式(2)可以看出,對(duì)壓電作動(dòng)器施加電壓的作用效果與兩端施加一對(duì)軸向拉力作用效果相同,因此壓電作動(dòng)器在主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)中的控制力可用該等效拉力來表征,其大小為

此外,由于壓電作動(dòng)器通常只能承受壓縮載荷,不能承受拉伸載荷,因此需要對(duì)壓電作動(dòng)器施加預(yù)緊力,才能實(shí)現(xiàn)其力和位移的連續(xù)輸出。

2.2 作動(dòng)器/支撐結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)建模

配備主動(dòng)減振系統(tǒng)的風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)在非定常氣流激勵(lì)載荷及壓電作動(dòng)器作動(dòng)下的耦合動(dòng)力學(xué)方程可表達(dá)為

式中：、、分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣,維度均為×維(為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)自由度數(shù)量)；∈×1為個(gè)壓電作動(dòng)器的輸入電壓向量；D ∈×為壓電作動(dòng)器輸入電壓與等效控制力矩的轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣,與壓電作動(dòng)器性能及減振結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)；∈×1、∈×分別為個(gè)非定常氣動(dòng)力向量和激勵(lì)系數(shù)矩陣。

根據(jù)式(5),求解特征方程,獲得模態(tài)振型,進(jìn)而得到正交化的模型振型矩陣,再令

式中：為時(shí)間；()為×1維的模態(tài)廣義坐標(biāo)向量。將式(6)代入式(5),經(jīng)變換后可得

式中：ζ、ω分別為第階模態(tài)阻尼比和圓頻率。進(jìn)一步定義狀態(tài)向量

可以將式(7)改寫成標(biāo)準(zhǔn)控制系統(tǒng)方程形式

其中,狀態(tài)矩陣、控制矩陣B 及干擾傳遞矩陣分別為

減振結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量會(huì)直接影響系統(tǒng)的控制輸入矩陣B ,從而影響其對(duì)風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)振動(dòng)的控制能力。

3 減振結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題數(shù)學(xué)表達(dá)

3.1 振動(dòng)模態(tài)可控性定量表征

減振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)是盡可能地提高壓電作動(dòng)器對(duì)主要受控模態(tài)的控制能力。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中,首先要解決減振控制能力的定量表征問題。采用系統(tǒng)可控性的概念來描述壓電作動(dòng)器對(duì)風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)振動(dòng)的控制能力,并由此建立減振結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

根據(jù)Hamdan和Nayfeh的系統(tǒng)可控性理論,個(gè)壓電作動(dòng)器對(duì)第階模態(tài)的可控性度量表達(dá)為

若僅需控制某一階模態(tài)時(shí),可直接使用式(12)作為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),但如果需要同時(shí)控制多階模態(tài)時(shí),就需要考慮如何選取優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的問題。

本文引入模態(tài)價(jià)值理論,用各階模態(tài)的價(jià)值比因子作為其可控性指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)來構(gòu)建優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),基本思想是根據(jù)非定常氣動(dòng)載荷引起的模型系統(tǒng)響應(yīng)能量在某個(gè)模態(tài)上的分配來表征該模態(tài)的重要程度。實(shí)際操作時(shí),可通過天平測(cè)定動(dòng)態(tài)載荷或布置加速度傳感器等方法,在特定工況下估計(jì)各個(gè)模態(tài)上的振動(dòng)能量,進(jìn)而將第階模態(tài)的價(jià)值比因子表達(dá)為

式中：E為第階模態(tài)上的振動(dòng)能量；為各階模態(tài)振動(dòng)能量總和。

3.2 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)3.1節(jié)的模態(tài)可控性定量表征和模態(tài)價(jià)值分析方法,可以給出用于定量描述主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)劣的評(píng)價(jià)函數(shù),計(jì)算公式為

式(14)的優(yōu)化目標(biāo)是各階模態(tài)可控性函數(shù)張成的維空間橢球體體積,當(dāng)其達(dá)到最大值時(shí),可以確保整個(gè)系統(tǒng)各階模態(tài)的可控性都達(dá)到一個(gè)較理想的值。

3.3 約束性指標(biāo)

3.3.1 結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度

主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí),需要保證結(jié)構(gòu)在極限載荷情況下有足夠的安全裕度。通常,最需要關(guān)注結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的部位主要是彈性鉸鏈、壓電作動(dòng)器及預(yù)緊螺栓等。這些部位的強(qiáng)度裕度往往與系統(tǒng)可控性指標(biāo)矛盾,需要在減振結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中加以考慮。

如果主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)的第個(gè)零件(或部位)在最惡劣載荷工況下的應(yīng)力為σ,該零件材料的許用應(yīng)力為[σ],則該零件的強(qiáng)度安全系數(shù)f可表達(dá)為

式中：=1,2,…,N ；N 為需考慮強(qiáng)度問題的零件或部位數(shù)量。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中,可以使用強(qiáng)度安全系數(shù)作為約束條件,表達(dá)式為

式中：為許用的最低安全系數(shù)。

此外,減振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí),彈性鉸鏈等結(jié)構(gòu)的剛度不能設(shè)計(jì)得過小,否則會(huì)顯著削弱主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)的剛度,進(jìn)而造成風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)振動(dòng)情況的進(jìn)一步惡化。在設(shè)計(jì)時(shí),可以通過限制減振結(jié)構(gòu)與原準(zhǔn)結(jié)構(gòu)的剛度比值來滿足這一指標(biāo)要求,即

式中：、分別為原準(zhǔn)結(jié)構(gòu)和減振結(jié)構(gòu)的整體剛度；為允許的剛度比值下界。

3.3.2 壓電作動(dòng)器非均勻載荷

由于壓電作動(dòng)器不能承受大的剪切載荷和彎曲載荷,減振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí),需要盡量減小作動(dòng)器安裝結(jié)構(gòu)的扭曲,讓壓電作動(dòng)器受力順暢、均勻。

對(duì)于彈性鉸形式的減振結(jié)構(gòu),主要需要限制壓電作動(dòng)器所受到的彎曲載荷。壓電作動(dòng)器所受的最大彎曲載荷需滿足

式中：為壓電作動(dòng)器允許的最大彎曲載荷。

3.4 優(yōu)化問題數(shù)學(xué)表達(dá)

根據(jù)上述優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建方法及約束性指標(biāo),可以獲得給出風(fēng)洞模型主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題數(shù)學(xué)表達(dá)

式中：x 為第個(gè)設(shè)計(jì)變量,其幾何邊界分別為 、 (即每個(gè)設(shè)計(jì)變量允許的取值范圍,具體與風(fēng)洞支撐外形的設(shè)計(jì)要求有關(guān))；N 為設(shè)計(jì)變量的數(shù)量。

4 算例分析

4.1 簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型

針對(duì)某典型飛機(jī)風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷闹鲃?dòng)減振結(jié)構(gòu),應(yīng)用本文提出的方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),以檢驗(yàn)本文方法的有效性。

如圖4所示,該主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)需控制的振動(dòng)模態(tài)為風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)的縱向支桿模態(tài)和天平模態(tài),而設(shè)計(jì)的關(guān)鍵部位為2個(gè)彈性鉸鏈和預(yù)緊螺栓。為了更加清晰地展示優(yōu)化過程,依據(jù)主動(dòng)減振系統(tǒng)的控制原理對(duì)支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理,并建立了解析的動(dòng)力學(xué)/控制耦合模型。

如圖5所示,簡(jiǎn)化模型僅考慮風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)縱向支桿模態(tài)和天平模態(tài),主要對(duì)風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ?、天平和支桿進(jìn)行簡(jiǎn)化處理,而對(duì)于主動(dòng)減振結(jié)構(gòu),則基本保持與實(shí)際結(jié)構(gòu)一致。依據(jù)圖2所示的模態(tài)振型,將天平和支桿的結(jié)構(gòu)彈性簡(jiǎn)化為2個(gè)扭轉(zhuǎn)彈簧和；風(fēng)洞模型、支桿均假設(shè)為有質(zhì)量剛體；風(fēng)洞模型質(zhì)心與支桿前端距離為；支桿長(zhǎng)度為；風(fēng)洞模型上作用有法向載荷 和俯仰力矩M ,且作用點(diǎn)在風(fēng)洞模型重心軸負(fù)方向,與重心距離為；上、下2 個(gè)彈性鉸鏈、壓電作動(dòng)器及預(yù)緊螺栓等由于對(duì)振動(dòng)模態(tài)質(zhì)量貢獻(xiàn)小,均假設(shè)為有彈性、無質(zhì)量,可伸縮變形和彎曲變形的梁；與2個(gè)鉸鏈及壓電作動(dòng)器連接的結(jié)構(gòu)均假設(shè)為無質(zhì)量的剛性結(jié)構(gòu)；所有壓電作動(dòng)器輸入電壓保持同步,均為()。各參數(shù)如表1所示。

表1 簡(jiǎn)化模型參數(shù)Table 1 Parameters of idealized system

圖5 簡(jiǎn)化的支撐系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Idealized model for sting-support model system

應(yīng)用拉格朗日方程建立該簡(jiǎn)化模型的動(dòng)力學(xué)方程。拉格朗日方程形式為

該簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型需要考慮的動(dòng)能為風(fēng)洞模型的豎直方向平動(dòng)動(dòng)能、俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能及支桿旋轉(zhuǎn)動(dòng)能；需要考慮的勢(shì)能為預(yù)緊螺栓、壓電作動(dòng)器、上鉸鏈及下鉸鏈的拉壓勢(shì)能,預(yù)緊螺栓、壓電作動(dòng)器、上鉸鏈、下鉸鏈的彎曲勢(shì)能,以及支桿、天平等效扭轉(zhuǎn)彈簧的勢(shì)能。

采用虛功原理,可以獲得系統(tǒng)的廣義力。選取廣義變量=[,,Δ],其中,、分別為支桿和風(fēng)洞模型的俯仰角。系統(tǒng)的虛功為

式中：δ為風(fēng)洞模型氣動(dòng)力作用點(diǎn)位移變分,δ=δ+δ；為式(4)給出的壓電作動(dòng)器等效輸出力；δ、δ、δ分別為各廣義變量的變分。

運(yùn)用拉格朗日方程可得到如下形式的動(dòng)力學(xué)方程組

式中：L、L 、L分別變量、Δ、所對(duì)應(yīng)的系數(shù),均為表1中系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)；T 、T 分別為壓電作動(dòng)器輸入電壓、所對(duì)應(yīng)的系數(shù)。從式(22)可以看出,系統(tǒng)獨(dú)立的自由度僅有2個(gè),因此可以整理為形如式(5)的標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)力學(xué)方程,其中

在此基礎(chǔ)上,使用2.2節(jié)中的方法可以獲得標(biāo)準(zhǔn)控制系統(tǒng)方程式(10)以及狀態(tài)矩陣、控制矩陣B 。

此外,為了檢驗(yàn)簡(jiǎn)化模型與實(shí)際模型支撐結(jié)構(gòu)的一致性,使用表1中的參數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型的模態(tài)特性。簡(jiǎn)化模型的模態(tài)頻率及其對(duì)應(yīng)的正交化模態(tài)振型如表2所示。由于表征支桿變形大小,-表征天平變形大小,對(duì)比兩階模態(tài)振型,可以看出：一階模態(tài)主要表現(xiàn)為支桿的變形,二階模態(tài)主要表現(xiàn)為天平變形、模型俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)；簡(jiǎn)化模型動(dòng)力學(xué)特性與原支撐結(jié)構(gòu)基本一致。

表2 簡(jiǎn)化模型模態(tài)特性Table 2 Modal characteristics of idealized system

4.2 主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

本算例中,減振結(jié)構(gòu)優(yōu)化的主要目的是對(duì)圖6所示的上下2個(gè)彈性鉸鏈的幾何尺寸、位置,以及預(yù)緊螺栓的直徑進(jìn)行優(yōu)化,在滿足強(qiáng)度、剛度、壓電作動(dòng)器非均勻載荷等約束條件下對(duì)減振結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制能力進(jìn)行提升。圖6給出了鉸鏈的幾何參數(shù)定義(上、下彈性鉸鏈的寬度、沿圖的法向,圖中未給出)。表3給出了鉸鏈及預(yù)緊螺栓的初始設(shè)計(jì)值,并根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)幾何約束給出了各個(gè)設(shè)計(jì)變量的變化范圍。

表3 設(shè)計(jì)變量初始值及邊界Table 3 Original and boundary values of design variables

圖6 彈性鉸鏈的設(shè)計(jì)變量Fig.6 Design variables of flexible joints

根據(jù)第3.4 節(jié)中的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及約束條件,令：2個(gè)彈性鉸鏈及預(yù)緊螺栓的強(qiáng)度安全系數(shù)許用值=2.5；每個(gè)壓電作動(dòng)器允許的最大彎曲載荷=5 N·m；引入鉸鏈后,風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)剛度不低于原準(zhǔn)結(jié)構(gòu)的90%,即=0.9。此外,在計(jì)算預(yù)緊螺栓的應(yīng)力時(shí)還考慮了每根螺栓上存在預(yù)緊力80 k N。

根據(jù)風(fēng)洞試驗(yàn)中天平測(cè)得的動(dòng)態(tài)載荷及支撐結(jié)構(gòu)的剛度,對(duì)非定常氣流激勵(lì)產(chǎn)生的振動(dòng)在縱向支桿模態(tài)和天平模態(tài)上分布的能量比例進(jìn)行了估算。多次試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示,對(duì)于典型的試驗(yàn)狀態(tài),支桿模態(tài)與天平模態(tài)能量比例約為1∶8。因此,式(13)的模態(tài)價(jià)值比因子可分別取為

根據(jù)式(19),該簡(jiǎn)化模型的優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型可表示為

為了使用遺傳算法求解以上優(yōu)化問題,需要將式(25)改為標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)化形式,并將約束條件用罰函數(shù)法引入優(yōu)化目標(biāo)中,可得到適用于遺傳算法進(jìn)行求解的表達(dá)形式

式中：為約束條件的懲罰因子向量；為各約束條件,可取為

采用如圖7所示的優(yōu)化計(jì)算流程,對(duì)上述的優(yōu)化問題進(jìn)行求解。優(yōu)化前后,減振結(jié)構(gòu)各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)比如表4所示。由表4可以看出,使用本文方法對(duì)主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化后,對(duì)風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)縱向支桿模態(tài)的可控性提高了75%,對(duì)縱向天平模態(tài)的可控性提高了63%。同時(shí)還可以看出,減振結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度等指標(biāo)都較初始設(shè)計(jì)有較大幅度降低,表明主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)的控制能力指標(biāo)與約束性指標(biāo)此消彼長(zhǎng),相互制約。

表4 優(yōu)化前后各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)比Table 4 Comparison of indexes before and after optimization

圖7 優(yōu)化計(jì)算流程圖Fig.7 Flowchart of optimization procedure

為驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果,將優(yōu)化前、后的設(shè)計(jì)變量分別代入動(dòng)力學(xué)方程式(22)進(jìn)行時(shí)域仿真。壓電作動(dòng)器以相同的輸入電壓幅值(取100 V)分別在2階模態(tài)固有頻率上激勵(lì),通過對(duì)比優(yōu)化前、后風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)的時(shí)域響應(yīng)幅值,來檢驗(yàn)優(yōu)化對(duì)振動(dòng)模態(tài)控制能力的提升。在仿真中,優(yōu)化前、后系統(tǒng)的各階模態(tài)阻尼比均取為0.01。圖8(a)給出了以支桿模態(tài)固有頻率激勵(lì)時(shí),試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭匦脑阢U錘面內(nèi)的振動(dòng)位移響應(yīng)；圖8(b)給出了以天平模態(tài)固有頻率激勵(lì)時(shí),試驗(yàn)?zāi)Ｐ透┭鼋琼憫?yīng)?？梢钥闯?優(yōu)化后主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)對(duì)2階模態(tài)的控制能力都有較大幅度提高,證明了本文優(yōu)化方法的有效性。

圖8 優(yōu)化前后系統(tǒng)激勵(lì)能力對(duì)比Fig.8 Comparison of excitation capacity between original and optimized structures

4.3 設(shè)計(jì)變量敏感性分析

使用優(yōu)化方法獲得的優(yōu)化結(jié)果往往只是數(shù)學(xué)上的最優(yōu)解,實(shí)際設(shè)計(jì)中還需要考慮加工工藝和成本等因素。對(duì)一些需要投入很大加工成本才能實(shí)現(xiàn)的設(shè)計(jì),需要考察其是否有必要予以嚴(yán)格保證。因此,對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行敏感性分析,確定出關(guān)鍵變量及其重要性排序,在實(shí)際工程中具有重要意義。

在優(yōu)化結(jié)果基礎(chǔ)上,讓每個(gè)設(shè)計(jì)變量在一定范圍內(nèi)依次單變量變化,計(jì)算模態(tài)可控性及約束指標(biāo)的變化。本文選取第個(gè)設(shè)計(jì)變量的變化范圍為[x -10%×( - ),x +10%×( x )]。此外,為了清晰地反映每個(gè)設(shè)計(jì)變量影響量的相對(duì)大小,引入歸一化函數(shù)進(jìn)行處理,即將第個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)第個(gè)指標(biāo)的相對(duì)影響量~I 表達(dá)為

式中：y (x )為第個(gè)設(shè)計(jì)變量變化時(shí)第個(gè)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的值；y 為最優(yōu)化設(shè)計(jì)下第個(gè)指標(biāo)的值。

設(shè)計(jì)變量對(duì)各個(gè)指標(biāo)的敏感性分析結(jié)果匯總?cè)绫?所示。從表5可以看出,在優(yōu)化結(jié)果附近,影響支桿模態(tài)和天平模態(tài)可控性指標(biāo)、的主要設(shè)計(jì)變量相同,均為上/下鉸鏈厚度、上/下偏置距離及預(yù)緊螺栓直徑。同時(shí),這5個(gè)設(shè)計(jì)變量也是對(duì)整個(gè)風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)影響相對(duì)最顯著的設(shè)計(jì)變量。這一分析結(jié)果與前述主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)的工作原理相吻合,即壓電作動(dòng)器需首先克服主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力,剩余作動(dòng)力用于推動(dòng)模型產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。因此,設(shè)計(jì)時(shí)需要合理平衡減振結(jié)構(gòu)能力與剛度的指標(biāo)要求。

觀察表5中上、下鉸鏈強(qiáng)度安全系數(shù)、,可以發(fā)現(xiàn),2個(gè)鉸鏈的設(shè)計(jì)存在嚴(yán)重耦合。改變一側(cè)鉸鏈的幾何參數(shù),另一側(cè)鉸鏈的強(qiáng)度安全系數(shù)也會(huì)發(fā)生大幅度改變。預(yù)緊螺栓強(qiáng)度安全系數(shù)僅受螺栓直徑影響,而對(duì)其他設(shè)計(jì)變量均不敏感。

表5 設(shè)計(jì)變量敏感性分析結(jié)果Table 5 Sensitivity analysis of design variables

對(duì)于壓電作動(dòng)器所受到的彎曲載荷,其主要影響參數(shù)為下鉸鏈的偏置。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),壓電作動(dòng)器、預(yù)緊螺栓及兩側(cè)的質(zhì)量塊形成一個(gè)艙體結(jié)構(gòu),當(dāng)下鉸鏈偏離該艙體結(jié)構(gòu)的剛心時(shí),壓電作動(dòng)器所受彎曲載荷會(huì)急劇增大。因此,在確定下鉸鏈的偏置位置時(shí),應(yīng)優(yōu)先考慮將下鉸鏈布置在該艙體結(jié)構(gòu)的剛心附近。

此外,從表5還可以看出,上、下鉸鏈的長(zhǎng)度、寬度4個(gè)變量對(duì)可控性指標(biāo)及各約束指標(biāo)的影響較小,對(duì)于本算例來說均是非關(guān)鍵設(shè)計(jì)變量。因此,可根據(jù)實(shí)際需要對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整,而不會(huì)對(duì)系統(tǒng)的各個(gè)指標(biāo)造成顯著影響。

5 結(jié) 論

1)結(jié)合模態(tài)可控性理論和模態(tài)價(jià)值理論的減振能力定量描述方法,能夠綜合考慮實(shí)際工況下各模態(tài)的振動(dòng)能量分配,是評(píng)判主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)能力優(yōu)劣的有效手段。

2)風(fēng)洞模型主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題是典型的非線性問題。本文方法先進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算,再以優(yōu)化結(jié)果為基準(zhǔn)狀態(tài)進(jìn)行敏感性分析,可以較為準(zhǔn)確地給出主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)各設(shè)計(jì)變量對(duì)設(shè)計(jì)指標(biāo)的影響程度,從而找出關(guān)鍵設(shè)計(jì)變量。

3)采用本文方法對(duì)主動(dòng)減振結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),能在滿足約束指標(biāo)要求前提下,有效地提高壓電作動(dòng)器對(duì)風(fēng)洞模型支撐結(jié)構(gòu)主要模態(tài)的可控性,進(jìn)而提高主動(dòng)減振系統(tǒng)的抑振效果。