基于快速迭代收縮閾值算法識(shí)別移動(dòng)荷載

孫夢(mèng)晴

摘 要：在橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范中，移動(dòng)力對(duì)活載構(gòu)件起著重要的作用。然而，由于移動(dòng)力的變化是在時(shí)間和空間上同時(shí)發(fā)生的，很難直接測(cè)量車輛和橋梁之間的相互作用力。因此，開(kāi)發(fā)一些間接鑒定方法是有益的。間接法是根據(jù)已知橋梁動(dòng)力特性和實(shí)測(cè)的實(shí)際動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算動(dòng)力。與直接法的成本相比，間接法的成本較低?？紤]一類迭代收縮閾值算法（ISTA）來(lái)解決信號(hào)中出現(xiàn)的線性逆問(wèn)題。這類方法可以看作經(jīng)典梯度算法的擴(kuò)展，因其簡(jiǎn)單而便捷，足以解決大規(guī)模問(wèn)題以及有密集的矩陣數(shù)據(jù)，但這類方法收斂速度也很慢。本研究提出了一種新的快速迭代收縮閾值算法，F(xiàn)ISTA算法保持了ISTA算法的計(jì)算簡(jiǎn)單性，且具有全局收斂速度快的優(yōu)勢(shì)，在理論和實(shí)踐上都得到了顯著的改善。

關(guān)鍵詞：快速迭代收縮閾值;函數(shù)值;迭代速度

中圖分類號(hào)：TP391 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-5168（2022）3-0014-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.03.003

Moving Load Identification Based on Fast Iterative Shrinkage Threshold Algorithm

SUN Mengqing

（School of Civil Engineering and Communication， North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 450045，China）

Abstract：In the bridge design code， the displacement force plays an important role in the live load components.However， it is difficult to measure the interaction force between the vehicle and the bridge directly because the variation of the displacement force occurs simultaneously in time and space.Therefore， it would be beneficial to develop some indirect identification methods.The indirect method is based on the known dynamic characteristics of the bridge and the measured actual dynamic response to calculate the force.The cost of the indirect method is lower than that of the direct method.We consider a class of Iterative Shrink Threshold Algorithm （ISTA） to solve the linear inverse problem occurring in the signal.This type of method can be seen as an extension of the classical gradient algorithm， because it is simple and convenient enough to solve large-scale problems， even with dense matrix data.However， this kind of method also converges slowly.In this study， a new fast iterative shrinkage threshold algorithm， FISTA algorithm， maintains the computation simplicity of ISTA algorithm and has the advantage of fast global convergence， which has been improved significantly both in theory and practice.

Keywords：fast iterative shrinkage threshold; function value;iteration speed

0 引言

ISTA算法和FISTA算法都是求解線性逆問(wèn)題的經(jīng)典方法，屬于梯度類算法。FISTA是一種簡(jiǎn)單而有前景的迭代方式，甚至比已證實(shí)的理論預(yù)測(cè)速度更快。分析是驗(yàn)證全局收斂速度和效率的方法，如ISTA和FISTA通過(guò)函數(shù)值測(cè)量進(jìn)行比較，來(lái)說(shuō)明算法收斂速度的有效性。

值得注意的是，動(dòng)態(tài)力重構(gòu)問(wèn)題已經(jīng)得到了廣泛的研究，并提出了許多有效的方法。近年來(lái)，隨著計(jì)算理論的發(fā)展和新型方法的出現(xiàn)，為了提高載荷識(shí)別的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，許多研究者都在這一問(wèn)題上做了大量的研究工作。移動(dòng)荷載識(shí)別理論在過(guò)去的幾十年里得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，并提出了許多有效的方法。Yu等[1]對(duì)四種基本的MFI方法，即解釋方法Ⅰ（IMⅠ）、解釋方法Ⅱ（IMⅡ）、時(shí)域方法（TDM）[2]和頻時(shí)域方法（FTDM）[3]進(jìn)行了全面研究。Wu等[4]提出了一種基于統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)模型的MFI技術(shù)。根據(jù)疊加原理和影響面概念，Deng等[5]提出了一種用于車輛軸載估計(jì)的MFI方法。Bao等[6]采用L1范數(shù)正則化方法求解斜拉橋上移動(dòng)重型車輛荷載的分布。稀疏正則化最大的優(yōu)點(diǎn)是解決了特征提取問(wèn)題。

作為第二類反問(wèn)題，MFI問(wèn)題是一個(gè)典型的不適定問(wèn)題，即解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性中至少有一點(diǎn)不能滿足。因此，離散的移動(dòng)識(shí)別方程總是病態(tài)的，識(shí)別結(jié)果對(duì)噪聲敏感。正則化方法廣泛應(yīng)用于改善這一缺陷，如基函數(shù)法（BFM）、Tikhonov正則化方法、稀疏正則化方法等。必須強(qiáng)調(diào)的是，現(xiàn)有的BFM總是使用單類基函數(shù)集。然而，在實(shí)際工程中，車橋耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)力是非常復(fù)雜的。它們不僅包括整個(gè)時(shí)間歷史中緩慢變化的諧波分量，還包括局部影響分量。因此，僅用一類基函數(shù)集很難完整、稀疏地表達(dá)運(yùn)動(dòng)力。這是現(xiàn)有的針對(duì)動(dòng)力識(shí)別問(wèn)題的BFMs的主要缺點(diǎn)。經(jīng)典的Tikhonov正則化方法是最著名的正則化技術(shù)之一，在移動(dòng)荷載識(shí)別中已經(jīng)得到充分的研究[7-8]。在大多數(shù)情況下，經(jīng)典Tikhonov正則化方法的解可以通過(guò)奇異值分解（SVD）以一種特殊的方式進(jìn)行分析。基于奇異值分解方法最大的優(yōu)點(diǎn)是可以將復(fù)雜的問(wèn)題解耦為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。Rezayat等[9]提出了一種基于群稀疏性的方法來(lái)識(shí)別動(dòng)態(tài)力的未知時(shí)間和未知位置。以上方法都是針對(duì)固定位置的力重建。Bao等[6]采用L1范數(shù)正則化方法求解斜拉橋上移動(dòng)重型車輛荷載的分布，但筆者僅研究靜力。稀疏正則化最大的優(yōu)點(diǎn)是解決了特征提取問(wèn)題。作為一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，L1范數(shù)正則化是最常用的稀疏正則化方法之一。

1 介紹

ISTA的收斂性分析已經(jīng)在各種語(yǔ)境和框架下，包括各種修改的文獻(xiàn)中得到了很好的研究，重點(diǎn)建立序列{X}收斂于式（1）解的條件。ISTA的優(yōu)點(diǎn)在于它的簡(jiǎn)單性。然而，ISTA也被認(rèn)為是一種緩慢的方法。由ISTA算法生成的序列x的收斂速度為O（1/K），顯然為次線性收斂速度。筆者關(guān)注的是非漸近的全局收斂速度和效率的方法，如ISTA通過(guò)函數(shù)值測(cè)量。本研究將考慮更一般的非光滑凸優(yōu)化模型。

其中，G（·）為式（1）中LS（最小二乘）項(xiàng)的梯度步長(zhǎng)，ISTA是經(jīng)典梯度法的擴(kuò)展。因此，ISTA屬于一類一階方法，即基于函數(shù)值和梯度求值的優(yōu)化方法。眾所周知，對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題，一階方法通常是唯一可行的選擇，已經(jīng)觀察到序列{X}收斂到一個(gè)解相當(dāng)緩慢。作為第一個(gè)結(jié)果，通過(guò)證明ISTA的行為來(lái)進(jìn)一步確認(rèn)這個(gè)屬性。

即共享一個(gè)次線性的全局收斂速度。

重點(diǎn)是是否可以設(shè)計(jì)一種比上面描述的迭代收縮閾值方案更快的方法，新方法的計(jì)算工作量將ISTA簡(jiǎn)單化，而其全局收斂速度將會(huì)更好地在理論上實(shí)踐。FISTA與ISTA的不同之處在于每一步迭代時(shí)近似函數(shù)起始點(diǎn)的選擇。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，考慮一種類似于ISTA的方法x=T[G（x）]，新點(diǎn)y會(huì)被巧妙地選擇。它是由Nesterov在對(duì)求光滑凸函數(shù)的最小化，并證明了在復(fù)雜度分析意義上是“最優(yōu)”的一階（梯度）方法。

在這里，考慮的問(wèn)題是凸的，但不是光滑的，因?yàn)橛蠰1項(xiàng)。盡管在目標(biāo)函數(shù)中存在非光滑正則化，證明可以構(gòu)造一個(gè)比ISTA更快的算法，稱為FISTA，它保持了ISIA算法的簡(jiǎn)單性，為最小化光滑凸問(wèn)題而設(shè)計(jì)的最優(yōu)梯度方法的改進(jìn)速度O（1/K）。理論分析是一般性的，可以處理具有任意凸非光滑正則化的目標(biāo)函數(shù)（超出L）和任意光滑凸函數(shù)，也可以處理約束。

迭代收縮算法的基本思想是在每次迭代時(shí)對(duì)目標(biāo)的線性化可微函數(shù)部分建立正則化。為了便于分析，考慮一般公式（4），它自然地?cái)U(kuò)展了公式（1）。

提出了以下假設(shè)：

·g：R→R是一個(gè)可能是非光滑的連續(xù)凸函數(shù)。

·f：R→R是一類光滑凸函數(shù)C，，即連續(xù)可微的Lipschitz連續(xù)梯度L（f）：‖?f（x）??f（y）‖≤L（f）‖x-y‖。對(duì)于每一個(gè)x，y∈R，其中‖·‖為標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得范數(shù)，L（f）>0為?f的Lipschitz常數(shù)。

·問(wèn)題（P）是可解的，即X?=argminF≠?，x∈X設(shè)F=F（x）。

2 一種快速迭代收縮閾值算法

一般模型由最小化平滑凸函數(shù)和ISTA簡(jiǎn)化為梯度法組成。在這種光滑條件下，存在一個(gè)O（1/K）復(fù)雜度的梯度方法，這是光滑問(wèn)題的“最優(yōu)”一階方法。值得注意的是，在已知方法不需要在每次迭代中進(jìn)行一次以上的梯度計(jì)算（也就是說(shuō)，與梯度方法相同），只需巧妙地選擇一個(gè)易于計(jì)算的額外點(diǎn)。MFI采用了1/4跨（1/4 m）的彎矩響應(yīng)和1/2跨（1/2 a）的加速度響應(yīng)，并建立改進(jìn)的復(fù)雜度結(jié)果。

用一個(gè)恒定的步長(zhǎng)表示算法。

FISTA的固定步長(zhǎng)

輸入：L=L（f）-A的李普希茨常數(shù)?f。

開(kāi)始：讓[y1]=[x0]∈Rn，[t1]=1。

第k步：（k≥1）計(jì)算

[Xk]=PL[（yk）]? ? ? ?（5）

[tk+1]=[1+1+4t2k2]? ? ? （6）

[yk+1]=[Xk]+（[tk?1tk+1]）（[Xk]-[Xk+1]）? ? （7）

上述算法和ISTA的主要區(qū)別是迭代收縮算子PL（·）不使用以前的點(diǎn)X，而是在[yk]使用一個(gè)非常具體的線性組合前面兩點(diǎn){X，X}。顯然，ISTA和FISTA的主要計(jì)算工作量是相同的，即在算子PL中。式（6）和式（7）中對(duì)FISTA要求的額外計(jì)算顯然是邊際的。

本研究還將使用回溯步長(zhǎng)規(guī)則來(lái)分析FISTA，現(xiàn)在將顯式地說(shuō)明這一點(diǎn)。

FISTA與回溯

為了加速ISTA算法的收斂，采用了梯度加速策略Nesterov加速技術(shù)，使得ISTA算法的收斂速度從O（1/K）變成O（1/K）。FISTA與ISTA算法相比，僅僅多了個(gè)Nesterov加速步驟，以極少的額外計(jì)算量大幅提高了算法的收斂速度。

3 數(shù)值模擬

為了證明FISTA算法的正確性和有效性，決定采用FISTA算法改進(jìn)的時(shí)域法進(jìn)行移動(dòng)荷載識(shí)別。數(shù)值仿真采用的橋梁參數(shù)如下：梁長(zhǎng)L=40 m，梁密ρ=12 000 kg/m，梁抗彎剛度EI=1.279 14×10 N·m;車輛車軸軸距l(xiāng)=8 m，車速c=40 m/s。橋梁前四階段固有頻率為：f=3.2 Hz，f=12.8 Hz，f=28.8 Hz，f=51.2 Hz。分析頻段在0～50 Hz，采樣頻率取為200 Hz。本研究以伯努利歐拉簡(jiǎn)支梁作為橋梁的計(jì)算模型，通過(guò)橋梁動(dòng)力響應(yīng)組合進(jìn)行移動(dòng)荷載識(shí)別。所有仿真過(guò)程通過(guò)MATLAB計(jì)算軟件及工具箱實(shí)現(xiàn)。設(shè)置一種橋上移動(dòng)荷載，如下所示。

兩軸時(shí)變移動(dòng)荷載一：

針對(duì)兩軸移動(dòng)荷載作用情況，將FISTA的性能與基本的ISTA算法進(jìn)行比較。由于模擬時(shí)考慮的是極端病態(tài)問(wèn)題，所有的方法都是使用一個(gè)常數(shù)步長(zhǎng)規(guī)則，并應(yīng)用于L正則化中f（x）=‖Ax?b‖和g（x）=λ‖x‖。在進(jìn)行的所有模擬中，觀察到FISTA在達(dá)到給定精度所需的迭代次數(shù)方面明顯優(yōu)于形成的ISTA。

4 總結(jié)

FISTA的功能值始終低于ISTA功能值。還計(jì)算了ISTA和FISTA在1 000次迭代后產(chǎn)生的函數(shù)值，分別為1.93×10、0.9×10。需要注意的是，ISTA經(jīng)過(guò)1 000次迭代后的函數(shù)值仍然比FISTA經(jīng)過(guò)500次迭代后的函數(shù)值差。

在本例中，將進(jìn)一步展示FISTA的優(yōu)勢(shì)。采用正則化參數(shù)λ=2×10對(duì)算法進(jìn)行了測(cè)試，描述了迭代100和200次的結(jié)果，很明顯FISTA提供更好改進(jìn)的功能值。此外，函數(shù)值FISTA迭代100次得到的0.009 9優(yōu)于第200次迭代時(shí)的ISTA方法函數(shù)值0.009 7。此外，ISTA需要195次迭代才能達(dá)到FISTA經(jīng)過(guò)100次迭代得到的值（0.009 9），需要400次迭代才能達(dá)到FISTA經(jīng)過(guò)200次迭代得到的值0.004 9。

從前面的分析可以得出，F(xiàn)ISTA的精確度似乎超過(guò)了ISTA。為了檢驗(yàn)這一假設(shè)，還考慮了一個(gè)已知最優(yōu)解的例子。有噪聲1%的情況下，圖1描述了2 000次迭代的兩種方法的函數(shù)值。FISTA的計(jì)算結(jié)果明顯優(yōu)于ISTA的計(jì)算結(jié)果，清楚地說(shuō)明了FISTA的有效性?？梢钥吹剑?jīng)過(guò)1 000次迭代，F(xiàn)ISTA的精度約為10，而ISTA的精度約為10。最后，觀察到ISTA在第1 000次迭代時(shí)得到的值是FISTA在第527次迭代時(shí)得到的值。FISTA算法的收斂速度比ISTA算法要快。

這些初步的計(jì)算結(jié)果表明，F(xiàn)ISTA算法的收斂速度比ISTA算法要快，甚至可以比已證實(shí)的理論預(yù)測(cè)速度更快。它的潛力分析和設(shè)計(jì)更快的算法在其他應(yīng)用領(lǐng)域和其他類型的正則化，以及更深入的計(jì)算研究是未來(lái)研究的主題。

參考文獻(xiàn)：

[1] YU L ， CHAN T H. Recent research on identification of moving loads on bridges[J]. Sound Vib，2007（305）：3-21.

[2] LAW S S，CHAN T H，ZENG Q H.Moving force identification： a time domain method[J]. Sound Vib， 1997（201）：1-22.

[3] YU L，CHAN T H T. Moving force identification based on the frequency–time domain method[J].Sound Vib. 2003（261）：329-349.

[4] WU S Q，LAW S S.Moving force identification based on stochastic finite element model[J].Eng. Struct.，2010 （32）：1016-1027.

[5] DENG L，CAI C S. Identification of dynamic vehicular axle loads： theory and simulations[J].Vib. Control， 2010 （16）：2167-2194.

[6] BAO Y，LI H.CHEN Z， et al.Sparse l 1 optimization-based identification approach for the distribution of moving heavy vehicle loads on cable-stayed bridges， Struct[J].Control Health Monit，2016 （23）：144-155.

[7] LAW S S， CHAN T H T，ZHU Q X， et al.Regularization in moving force identification， [J].Eng. Mech.，2001 （127）：136-148.

[8] ZHU X Q ，LAW S S.Moving loads identification through regularization[J].Eng. Mech.， 2002（128）： 989-1000.