用類比引領(lǐng)學生學會“有序”思考
——以平面幾何圖形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)為例

金紅江|浙江省杭州高新區(qū)（濱江）教育研究院

拉普拉斯說：“在數(shù)學這門科學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比.”波利亞也形象地稱：“類比是一個偉大的引路人.”由此可見，類比是啟發(fā)探究、獲得猜想的重要途徑，而幾何研究的一般觀念則是實現(xiàn)不同學習內(nèi)容類比，引導(dǎo)學生有序思考的指路明燈.我們所說的幾何研究的一般觀念，指的是對幾何知識的發(fā)生發(fā)展過程及其反映的數(shù)學思想方法的再概括，包括：幾何對象是怎樣引入的，怎樣通過定義加以明確；幾何圖形的性質(zhì)是什么，判定是什么；按照怎樣的路徑研究，研究什么問題，用什么方法研究等[1].在一般觀念的指引下，我們可從定義中分離出要素，而為了更好地研究要素，則需要引入相關(guān)要素，然后通過研究要素和相關(guān)要素的確定關(guān)系，發(fā)現(xiàn)幾何圖形的性質(zhì).筆者認為，初中階段圖形性質(zhì)的研究，教師可以在一般觀念的指引下，引導(dǎo)學生進行高水平的類比，使其產(chǎn)生自然合理的思考.

一、以三角形性質(zhì)探索為起點，明確性質(zhì)研究的一般途徑，讓“有序思考”成為可能

例如，我們都知道三角形是用線段組成的最簡單的二維圖形.在對三角形的研究中，我們需要學會如何用數(shù)學的眼光觀察事物以獲得研究對象，探討如何定義一個研究對象（背景—定義—表示—分類），規(guī)劃一類幾何對象的研究思路（引入—概念—性質(zhì)與判定—聯(lián)系/關(guān)系—特例研究），以此形成具有可遷移的研究一個數(shù)學對象的一般經(jīng)驗，初步形成數(shù)學的思維方式，為培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學抽象、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)提供有針對性的學習活動.由此，可將三角形學習作為類比研究其他二維平面圖形的起點.

就性質(zhì)發(fā)現(xiàn)而言，第一個環(huán)節(jié)就是明確圖形的要素和相關(guān)要素.教師可引導(dǎo)學生根據(jù)定義，從組成圖形所包含的點、線段著手，分析它們的位置關(guān)系，構(gòu)成怎樣的圖形，從部分到整體地認識如何從幾何圖形中提煉出構(gòu)成要素.明確了要素后，再讓學生從研究要素的角度去深入思考，如與要素組成了怎樣的特殊位置關(guān)系、要素中的特例又有哪些、在研究過程中還需要引入哪些相關(guān)知識等，如此，學生將水到渠成地獲得要素的相關(guān)要素.接下來的第二、第三環(huán)節(jié)，是研究要素和相關(guān)要素的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，如此就可獲得圖形的性質(zhì).這三個環(huán)節(jié)構(gòu)成了研究性質(zhì)的一般途徑，可以為學生進行高水平類比作鋪墊.

環(huán)節(jié)1：明確三角形的要素、相關(guān)要素

教師先讓學生根據(jù)三角形的定義“由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形”，明確構(gòu)成要素“三條線段”.然后根據(jù)“不在同一條直線上”“首尾相接”這兩個特殊的位置關(guān)系圍成一個封閉圖形，形成“三個角”，以此確定三角形的要素——三條邊和三個內(nèi)角[2].為了更深入地研究邊，考慮到邊的特殊位置，教師可以引入三角形的高線、中線和角平分線.為了更深入地研究內(nèi)角，教師可以根據(jù)鄰補角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，引入外角.由此就可獲得邊與角的相關(guān)要素，為研究三角形的性質(zhì)作準備.

環(huán)節(jié)2：探究要素之間的關(guān)系

其一，探究三角形的要素“邊”之間的關(guān)系.（任意兩邊之和大于第三邊）

其三，探究三角形的要素“邊”和“角”之間的關(guān)系.（后續(xù)我們再研究）

三角形要素之間的關(guān)系稱為基本性質(zhì)，教師要讓學生明確對性質(zhì)的探究可采用觀察、測量、剪、拼等方法，并引導(dǎo)學生聚焦要素（邊、角）的等與不等關(guān)系，經(jīng)歷“實驗—觀察—測量—猜想—驗證—證明”的基本研究過程，學會用數(shù)學的眼光觀察世界.

環(huán)節(jié)3：探究要素和相關(guān)要素之間的關(guān)系

其一，探究三角形的要素內(nèi)角和相關(guān)要素外角的關(guān)系.（位置關(guān)系：相鄰，不相鄰.數(shù)量關(guān)系：互補；外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和；外角大于不相鄰的內(nèi)角）

其二，探究邊的相關(guān)要素高線、中線、角平分線的關(guān)系.先從一條高線入手，根據(jù)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系獲得結(jié)論；再研究兩條高線、三條高線.

其三，類比高線的研究思路，探究三角形中線和角平分線的性質(zhì).

綠道作為生態(tài)環(huán)境保護的重要手段，具有保護棲息地、維護物種多樣性、改善城市小氣候、修復(fù)生態(tài)環(huán)境等生態(tài)功能[1-2]。城市化發(fā)展過程中，城市擴張會帶來諸多負面效應(yīng)，城市綠地功能退化，生境破碎化現(xiàn)象越來越嚴重。基于低碳生態(tài)的城市綠道規(guī)劃的核心是協(xié)調(diào)城市開發(fā)與生態(tài)格局保護，建立支持生態(tài)功能發(fā)揮的可持續(xù)的土地利用模式。本文結(jié)合杭州臨安青山湖綠道規(guī)劃設(shè)計實踐，探討基于低碳生態(tài)理念的綠道規(guī)劃策略。

在三角形性質(zhì)的探究過程中，教師應(yīng)讓學生明確性質(zhì)的研究是有層次的，其中，要素的關(guān)系是第一層次，相關(guān)要素的關(guān)系是第二層次[3].這種有序的探究，順應(yīng)了知識間的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，有利于類比發(fā)現(xiàn)和提出新的猜想，有利于運用已有學習經(jīng)驗解決新的問題.這種有序的思考是數(shù)學邏輯性的集中體現(xiàn)，可以培養(yǎng)學生思維的廣闊性、條理性、深刻性.同時，這種循序漸進、串珠成鏈的研究過程以及所蘊含的思想方法，也是培養(yǎng)學生邏輯推理能力的關(guān)鍵載體.

二、以直線型圖形性質(zhì)探索為實驗，踐行性質(zhì)研究的一般思路，讓“有序思考”成為技能

經(jīng)過對三角形性質(zhì)的探究，學生已經(jīng)知道什么是幾何圖形的要素和相關(guān)要素，怎樣獲得要素和相關(guān)要素，知道幾何性質(zhì)指的是什么，是按照怎樣的路徑來研究的，用什么方法研究等.接下來，我們就可以類比三角形性質(zhì)研究的一般思路，提出研究其他二維圖形性質(zhì)的問題.例如，等腰三角形作為一種基本的三角形，它的對稱性反映了平面的反射對稱性，定性平面幾何的首要任務(wù)是推導(dǎo)等腰三角形的性質(zhì)[4].而推導(dǎo)性質(zhì)的思路仍是從研究要素、相關(guān)要素及它們之間的關(guān)系來有序展開的.因此，在學習直線型幾何時，可選擇等腰三角形作為案例進行說明，談?wù)勂湫再|(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程.

環(huán)節(jié)1：學生自主提出研究等腰三角形的問題

等腰三角形如何定義；確定等腰三角形的要素、相關(guān)要素；探究它們的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；證明.

環(huán)節(jié)2：提煉等腰三角形的要素和相關(guān)要素

學生根據(jù)小學階段獲得的學習經(jīng)驗，得到定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形.這樣就明確了等腰三角形是三角形的組成要素（即“邊”）特殊化之后形成的，由此理解三角形和等腰三角形是一般與特殊的關(guān)系.于是，就順理成章地得到等腰三角形的要素：兩條腰和一條底邊，一個頂角和兩個底角.相關(guān)要素有：頂角的外角，底角的外角；腰上的高線、中線，底角的平分線；底邊上的高線、中線，頂角的平分線.

環(huán)節(jié)3：學生自主探究要素、相關(guān)要素的關(guān)系

第一步，學生折疊等腰三角形紙片后，得到等腰三角形是軸對稱圖形的結(jié)論.然后聚焦等腰三角形的要素進行觀察，得到兩腰、兩底角的數(shù)量關(guān)系.最后，采用“觀察—測量—猜想—證明”的方法，得到性質(zhì)定理：等腰三角形兩腰相等，兩底角相等.

第二步，學生運用相同的方法，自主探究相關(guān)要素的關(guān)系：頂角的外角等于底角的2倍；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高線互相重合；等腰三角形兩腰上的高線（中線或底角的平分線）相等.

第三步，學生歸納出探究等腰三角形性質(zhì)的步驟.

通過類比三角形性質(zhì)的探究過程，可得出等腰三角形性質(zhì)的探究路徑，這就是“有序思考”問題的一種體現(xiàn).直線型幾何的其他圖形（如等邊三角形、直角三角形、四邊形、特殊四邊形）的性質(zhì)的探究過程，其指導(dǎo)思想都是探究要素、相關(guān)要素的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，研究的方法也是“實驗—觀察—猜想—證明”的步驟，只是在組成的要素上，四邊形多了“對角線”.學生可以類比三角形、等腰三角形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)路徑，有邏輯地提出研究其他直線型幾何圖形性質(zhì)的問題，從而進一步增強“有序思考”的能力.

三、將圓的性質(zhì)探索路徑推廣，形成性質(zhì)研究的一般方法，讓“有序思考”成為本能

圓，是最具完美對稱性的平面圖形，它繼承了研究直線型幾何圖形的思想方法，又有其特殊性，特別是在要素的提煉上與直線型幾何圖形大不相同[5].圓中沒有邊、角和對角線，那么，怎樣有序探究圓的要素和相關(guān)要素，使學生獲得相關(guān)概念？這是培養(yǎng)學生遷移能力、“有序思考”能力的重要體現(xiàn).我們可以根據(jù)圓的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，從定義入手，分析組成圓的要素和相關(guān)要素，以獲得性質(zhì)研究所涉及的概念，然后尋找它們的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.這種研究性質(zhì)的基本途徑和方法，與直線型幾何圖形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程一脈相承，是培養(yǎng)學生“有序思考”能力和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體.

（一）明確圓的要素、相關(guān)要素

第一步，學生提出研究圓的性質(zhì)需要通過哪些問題：圓的定義；明確圓的要素和相關(guān)要素，研究要素和相關(guān)要素的關(guān)系；證明相關(guān)結(jié)論的正確性.

第二步，學生發(fā)現(xiàn)圓中沒有邊、角和對角線.教師引導(dǎo)學生根據(jù)以往的經(jīng)驗，回到圓的描述性定義“在同一平面內(nèi)，線段OP繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一端點P所經(jīng)過的封閉曲線”，抓住本質(zhì)特征：圓上的點到圓心的距離都相等.因此，將組成圓的要素聚焦到“圓上的點”.

第三步，學生提煉出圓的組成要素：弦（特殊情況是直徑），弧（優(yōu)弧、劣弧、半圓）.然后，考慮圓心與圓上的點的關(guān)系，得到相關(guān)概念：圓心角，圓周角，弦心距.明確研究圓的性質(zhì)，就是研究弦、弧、圓心角、圓周角、弦心距之間的關(guān)系.

設(shè)計說明：圓不同于直線型幾何圖形，研究它的要素，聚焦于“組成圓上的點”，可使弦、弧、圓心角、圓周角、弦心距這些概念按邏輯順序出現(xiàn).如此，可有效培養(yǎng)學生的遷移能力和有序思考能力.

（二）“垂徑定理”的探究過程

第一步，學生折疊圓形紙片，發(fā)現(xiàn)圓是軸對稱圖形（如圖1，學生畫直徑AB）.

圖1

第二步，教師要求學生折疊一次圖1中的紙片，使得它還是軸對稱圖形，并畫出圖形.學生畫出兩類圖形，一類是CD⊥AB（如圖2），一類是CD//AB（如圖3）.接下來，教師引導(dǎo)學生聚焦于尋找弦、弧、直徑的關(guān)系，以此培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)并提出問題的能力，使之能用數(shù)學的眼光觀察世界.

圖2

圖3

第三步，仔細觀察圖2，學生可發(fā)現(xiàn)弦、弧、直徑三者之間的關(guān)系，然后通過證明可獲得垂徑定理.在證明的過程中，學生發(fā)現(xiàn)“半弦、弦心距、半徑”組成了一個直角三角形（半弦2+弦心距2=半徑2）.如此，經(jīng)歷從定性研究到定量刻畫的過程，學生就體會到了軸對稱圖形用“部分刻畫整體”的價值.

第四步，仔細觀察圖3，學生發(fā)現(xiàn)平行弦所夾的兩段弧長相等，其證明的過程，就是垂徑定理的應(yīng)用過程.此外，學生提出一個問題，在直徑AB的異側(cè)，是否還存在與AB平行，并且長度等于CD的弦？教師適時讓學生分析這一問題，可加深學生對圓的軸對稱性的認識.

設(shè)計說明：引導(dǎo)學生自主探究圓是軸對稱圖形，它的性質(zhì)不僅有垂徑定理；讓學生從“定性研究—定量刻畫”這一過程中掌握定理，發(fā)展思維；讓學生在定理發(fā)現(xiàn)的過程中，類比研究直線型幾何圖形性質(zhì)的一般思路，有序地提出所要研究的問題，經(jīng)歷用數(shù)學的邏輯思考問題的過程.

類似的，圓心角定理、圓周角定理及其推理的發(fā)現(xiàn)過程，學生也可以通過類比垂徑定理的研究思路和方法，提出所要研究的問題和解決策略.在這種有邏輯地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程中，經(jīng)過點點滴滴、反反復(fù)復(fù)的滲透和訓練，學生就能形成“有序思考”問題的能力.

上述平面幾何圖形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，筆者均在“怎樣研究一類幾何圖形”的一般觀念指引下，從幾何圖形的定義中提煉出要素、相關(guān)要素，引導(dǎo)學生研究它們的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，有序地進行層層深入的探索，進而自主發(fā)現(xiàn)并提出新的猜想.在探索猜想的證明中，筆者又引導(dǎo)學生利用幾何圖形性質(zhì)的層次性，尋求邏輯關(guān)聯(lián)，以此建構(gòu)“前后一致”“邏輯連貫”的研究思路和方法.實踐證明，類比法是引發(fā)學生合理有序的思維活動、培養(yǎng)學生邏輯思維能力的有效途徑.□◢