熱環(huán)境下壓電功能梯度微板振動特性研究

范世杰，李鳳蓮

(北京信息科技大學 機電工程學院，北京 100192)

0 引言

功能梯度材料(functionally graded materials,FGM)通常由金屬與陶瓷混合而成，具有較好的機械強度、耐熱性和抗氧化性，其屬性從一個表面到另一表面連續(xù)變化，很好地克服了復合材料層合結構應力集中問題。復合材料在電子、機械、通信、航空、航天和交通、醫(yī)療等領域得到了大量應用，各領域對性能優(yōu)越材料的需求也越來越高。壓電材料因其獨特的正逆壓電效應，在智能材料領域發(fā)揮著重要作用，將壓電材料與功能梯度材料相結合，使其具有獨特的機電耦合特性，具有重要的研究意義。

近年來，許多學者針對微結構振動特性進行了大量的深入研究。Majid等[1]基于修正偶應力理論，利用廣義微分求積法，研究了不同梁剪切變形理論的S型功能梯度納米梁的自由振動問題；賀丹等[2]利用高階剪切理論，建立了Reddy變截面微梁的自由振動模型，分析了尺度效應和橫向剪切變形對變截面微梁自由振動的影響；Armagan等[3]針對層合復合材料和夾層微梁，在任意邊界條件下的自由振動和屈曲響應進行了研究；Amir等[4]利用Hamilton原理、修正偶應力理論和Kirchhoff-Love殼理論，對尺度參數影響下微雙曲殼的固有頻率和振型進行了深入的研究；Olga等[5]基于修正的偶應力理論和Kirchhoff-Love板理論，利用R函數理論和Ritz變分法，分析了非經典形狀正交各向異性微板的自由振動特性；Yuan等[6]利用諧波平衡法，研究了考慮尺寸效應的含損傷四邊固支微板在直流電壓下非線性自由振動特性；Mohammad等[7]利用瑞利-里茲法，分析了熱環(huán)境下不同邊界條件對功能梯度微梁的自由振動的影響；Luan等[8]基于修正偶應力理論和高階剪切變形理論，對功能梯度微夾芯板在機械和熱載荷作用下的靜態(tài)彎曲、自由振動和屈曲行為進行了研究；張大鵬等[9]根據Kirchhoff板理論和非局部彈性理論，建立了黏彈性基體上壓電納米板的熱-機電振動特性分析模型，分析了不同參數對其振動特性的影響。

本文根據復合剪切變形理論、Hamilton原理和修正偶應力理論，對熱環(huán)境下四邊簡支壓電功能梯度微板的自由振動特性進行研究，并討論了不同參數對系統固有頻率的影響。

1 振動理論模型的建立

壓電功能梯度微板模型如圖1所示，微板的長度為a，寬度為b，芯層厚度為hc，上下面板厚度為hE，微板厚度h=hc+2hE。忽略芯層與上下壓電層之間的膠黏層，上、下面板為壓電陶瓷材料，中間芯層為功能梯度材料，芯層由陶瓷和金屬混合而成，上表面為陶瓷，下表面為金屬，其材料屬性在厚度z方向上連續(xù)變化，Z1、Z2、Z3、Z4為微板z方向坐標，芯層材料中陶瓷的體積分數Vc表示為

圖1 壓電功能梯度微板模型

(1)

式中p為梯度指數。

功能梯度材料性質如楊氏模量E、泊松比v、和質量密度ρ等都通過厚度連續(xù)變化，材料性能可表示為

Y(z)=YcVc+Ym(1-Vc)

(2)

式中：Yc和Ym分別為陶瓷和金屬的材料屬性。他們與溫度分布的關系[10]可表示為

Yi=Y0(Y-1T-1+1+Y1T+Y2T2+Y3T3)

(3)

式中：i分別為不同材料下標c、m；Y-1、Y0、Y1、Y2、Y3為材料性質立方擬合的常數。

根據一維傅立葉熱傳導方程，芯層沿厚度方向的溫度分布可表示為

(4)

式中K(z)為服從溫度分度的導熱系數。

Tt為芯層上表面Z3的溫度，Tb為芯層下表面Z2的溫度。利用多項式冪級數展開式，求解方程(4)，則沿厚度方向的溫度分布可表示為：

(5)

(6)

式中：N為收斂性級數項數；Kc、Km分別為陶瓷和金屬的熱傳導系數。

在偶應力理論的發(fā)展過程中，不同偶應力理論中材料長度參數性質與數目均不相同，這使得偶應力理論很難在工程中得到廣泛應用，Yang等[11]基于經典偶應力理論，提出了只需要一個尺度參數且包含對稱偶應力張量的修正偶應力理論，這一理論大大降低了微結構模型的計算難度。根據修正偶應力理論，對稱應力張量偏分量Г、對稱曲率張量分量ζ可分別表示為

(7)

式中：l為材料長度尺度參數；?ij為位移場相關旋轉向量的分量；G為剪切模量。

考慮橫向剪切變形效應，位移場u、v、w和電勢函數Φ可以假設為

(8)

基于假設的位移場和電勢，根據小變形位移—應變關系得：

(9)

由廣義胡克定律，芯層的本構關系為

(10)

式中λ為熱膨脹系數。剛度系數可表示為

(11)

根據第二類壓電方程[13]，壓電材料的本構關系為

式中：H為矩陣轉置；c為彈性剛度矩陣；ε為應變向量；e為壓電應力常數矩陣；g為介電常數矩陣；D為電位移向量。

只考慮z方向電勢分布：

(13)

壓電微板的勢能、動能和外力功可表示為：

(14)

式中：δU1、δU2、δU3、δU4分別為上壓電層應變能、FGM芯層應變能、下壓電層應變能以及電勢能，可分別表示為：

(15)

根據Hamilton變分原理，壓電功能梯度微板的熱環(huán)境下動力學方程可表示為：

(16)

式中：

q,s=x,y,z

(17)

根據Navier法，四邊簡支微板的位移分量為：

(18)

求解該矩陣，即可得到功能梯度板自由振動時的固有頻率。式中矩陣元素如下所示：

(AT11+AT12)(α2+β2)

k13=-k31=-B11α3-B12αβ2-2B66αβ2+

(BT11+BT12)(α3+αβ2)

DT22)β2

k15=k51=D12αβ+D66αβ-

k16=k61=E31α

(AT11+AT12)(α2+β2)

k23=-k32=(BT11+BT12)(α2β+β3)-

B21α2β-B22β3-2B66α2β

k24=k42=D21αβ+D66αβ-

k26=k62=E32β

k33=-G11(α4+β4)-α2β2(G12+G21+4G66)+

(AT11+AT12)α2+(AT21+AT22)β2-T1(α4+

β4+2α2β2)+(GT11+GT12)(α4+α2β2)+

k34=-k43=L11α3+L21αβ2+2L66αβ2+

k35=-k53=L12α2β+L22β3+2L66α2β+

k36=k63=-(Ez31α2+Ez32β2)

-(RT11+RT12)α2-(RT21+RT22)β2

k46=k64=Ef31α

(RT11+RT12)α2-(RT21+RT22)β2

m11=m22=I0，m13=-m31=-αI1，m14=

m41=m25=m52=J1

m12=m21=m24=m42=m15=m51=

m45=m54=0

m23=-m32=-I1β,m33=-I2(α2+β2)-I0

m34=-m43=K1α,m35=-m53=K1β

m44=m55=J2

式中：

[Aij,Bij,Dij,Gij,Lij,Oij,Rij]=

[T1,T2,T3,T4,T5,T6,T7,T8]=

[ATij,BTij,DTij,GTij,LTij,RTij]=

2 數值計算與仿真

為驗證理論模型的正確性，利用有限元軟件COMSOL對微板振動進行仿真模擬。

壓電功能梯度微板的幾何尺寸為：a=352 μm，b=0.7a，板厚h=hc+2hE，壓電材料厚度hE=0.2 μm，FGM芯層厚度hc=17.6 μm。壓電材料PZT-G1195N的參數為：EE=63 GPa，vE=0.3，ρE=7 600 kg/m3，d=254×10-12m/V，μ=15.3×10-9F/m。FGM芯層材料為陶瓷(Si3N4)與金屬(SUS304)混合而成，其材料參數如表1所示。無特別說明，梯度指數p=1，尺度參數l=0.5h。

表1 Si3N4和SUS304溫度相關的材料參數

微結構振動特性受尺度參數影響很大，尺度參數影響下理論結果、無尺度參數影響熱環(huán)境下(△T=0)壓電功能梯度微板前8階固有頻率，以及在COMSOL中無尺度參數影響仿真結果對照如表2所示。從表中可以看出，無尺度影響下固有頻率理論結果與有限元模擬結果的誤差最大為2.42%，驗證了理論模型的準確性。有、無尺度參數影響下，系統固有頻率數值結果相差較大，且在高階更加明顯，這也可以說明尺度參數對微結構固有頻率計算影響很大。

表2 微板理論解與仿真模擬解固有頻率對比 MHz

3 參數變化的影響

基于建立的壓電功能梯度微板理論模型，在保證其余參數不變的情況下，通過參數變化，分析尺厚比、芯層厚度、壓電片厚度與梯度指數對微板系統自由振動頻率的影響。

尺度參數是微結構研究中一個重要參數，它對微結構材料的性能影響很大。圖2為不同溫度下尺度參數對微板固有頻率的影響。從圖中可以看出，隨著尺厚比的增大，系統固有頻率穩(wěn)定增大，在l/h=4后，系統固有頻率變化速率減弱，即板厚較小時，尺度參數影響較大。但是溫度變化對基頻影響較小。

圖2 不同溫度下尺厚比對系統固有頻率的影響

FGM作為微板的主體材料，其厚度變化對整個結構的性能有著很大的影響，圖3為不同溫度下芯層厚度對微板固有頻率的影響。從圖中可以看出，隨著芯層厚度的增大，系統固有頻率整體變化趨勢一致，都逐漸增大，且增幅較快。

圖3 不同溫度下芯層厚度對系統固有頻率的影響

壓電材料是智能結構中傳感與驅動最常用的材料，壓電片厚度變化將改變電場對整體結構性能的影響，圖4為不同溫度下壓電片厚度對微板固有頻率的影響?？梢钥闯?，隨著溫度增高，固有頻率降低；隨著壓電片厚度增大，系統固有頻率稍有增大，但整體變化幅度較小，變化范圍在0.25～0.3 MHz，在變化過程中稍有一些波動，這是由于壓電層與功能梯度層之間的變形，在計算時進行了忽略引起的。

圖4 不同溫度下壓電片厚度對系統固有頻率的影響

功能梯度材料的梯度指數改變，即FGM混合材料的分布方式發(fā)生變化，使得結構整體的剛度發(fā)生改變，進而影響到整個系統的振動特性，圖5為不同溫度下功能梯度指數對微板固有頻率的影響。從圖中可以看出，隨著梯度指數的增大，不同溫度對固有頻率的影響逐漸降低，固有頻率整體變化趨勢一致，迅速減小后逐漸穩(wěn)定在某一頻率附近。

圖5 不同溫度下功能梯度指數對系統固有頻率的影響

4 結束語

本文基于修正偶應力理論和復合剪切變形理論，根據Hamilton原理建立了熱環(huán)境下壓電功能梯度微板的動力學理論模型，通過有限元仿真模擬，驗證了理論模型的正確性。在此基礎上，分析了參數變化對整個系統振動特性的影響。在不同溫度下，尺厚比增大與芯層厚度增大，系統固有頻率迅速增加且增幅較大；功能梯度指數增大，固有頻率迅速減小后趨近于某一頻率附近，而壓電片厚度的增加使得系統固有頻率不斷波動上升，且固有頻率變化幅度較小。