以兩次抽象實現(xiàn)算理理解

劉紅陽

北師大版數(shù)學(xué)教材將“20以內(nèi)進位加法”安排在一年級上冊第七單元。這部分內(nèi)容在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，是學(xué)生學(xué)習(xí)20以內(nèi)退位減法和多位數(shù)計算的基礎(chǔ)，可以稱之為計算教學(xué)的“種子課”。筆者結(jié)合《有幾瓶牛奶（9加幾）》的教學(xué)實踐，談?wù)勅绾巫裱瓟?shù)學(xué)抽象的層次，引領(lǐng)學(xué)生實現(xiàn)“9加幾”算理與算法的統(tǒng)一。

一、分析教材情境，明確算理指向

本節(jié)課教材呈現(xiàn)了“9加幾”的情境圖：有兩個盒子，每個盒子都有10個小格子，左邊盒子里有9瓶牛奶（空了1格），右邊盒子里有5瓶牛奶（空了5格），問題是“一共有幾瓶牛奶？”。學(xué)生能理解問題情境，并列出算式“9+5”。如何得到結(jié)果？此前，學(xué)生學(xué)習(xí)了10以內(nèi)的加減法以及20以內(nèi)不進位加法和不退位減法，有能力計算“9+1=10”“10+4=14”這樣的題目?；诖耍P者構(gòu)想的教學(xué)思路是，引導(dǎo)學(xué)生對算式“9+5”做拆分或轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)化為學(xué)生有能力計算的題目。

教材為我們提供了辦法。從情境圖看，部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)了左邊的10個格子裝了9瓶牛奶，如果把空的那1格補上，就剛好裝滿一盒，也就是10瓶。如何補呢？根據(jù)生活經(jīng)驗，從右邊盒子里的5瓶中拿出1瓶，補到左邊的盒子里，湊成10瓶，再加上右邊的4瓶，就得到一共14瓶。教材意圖是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗初步感知算理。

二、結(jié)合認知基礎(chǔ)，確立教學(xué)重點

學(xué)習(xí)“9加幾”這部分內(nèi)容重在掌握“湊十”的算理?！皽愂笔腔谑M制計數(shù)法而來的一種原理和思維。如果教師只是單純教學(xué)生計算方法，學(xué)生不能建立“湊十”模型，就會導(dǎo)致這樣的現(xiàn)象：①計算“9+5”時，不管9需要添幾，就隨便拆另一個加數(shù)，如把5拆成3和2，得出錯誤結(jié)果12或13;②不能遷移，遇到“8加幾”“7加幾”等，依舊給8或7添1。因此，這節(jié)課最重要的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生形成“湊十”思維，而后再掌握“湊十法”。而“湊十”思維及其具體方法對小學(xué)生來說有一定難度，教師要根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有水平，為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)支架。

三、利用兩次抽象，助力“理”“法”融通

如何搭建學(xué)習(xí)支架，幫助學(xué)生在“直觀—半符號化—符號化”的兩次抽象過程中理解算理、歸納算法，實現(xiàn)算理與算法的融通，進而感悟“湊整”思想呢？

1.在看、擺、撥、圈中根植算理

看教材提供的情境圖是學(xué)生把握算理的第一步，但這一步，可能只有部分學(xué)生能感知到，因為不同的學(xué)生存在不同的生活經(jīng)驗，即使有類似的生活經(jīng)驗，也不一定能一下子捕捉到。教師應(yīng)該有意識地引導(dǎo)學(xué)生“看”到缺的那一格，為“湊十”做鋪墊：“小朋友們，先看看左邊盒子里有幾瓶牛奶？”此時學(xué)生可能通過數(shù)一數(shù)說出“9瓶”?！霸瓉硎?瓶，如果沒有空1格，就剛好是一整盒，也就是10瓶?！痹诮處焺e具用心的引導(dǎo)下，學(xué)生馬上想到“從右邊盒子里拿出1瓶牛奶，補過來就可以了”。這樣引導(dǎo)，學(xué)生都能關(guān)注到空的那1格，進而想到從5瓶中拿出1瓶去湊整。這一步是“湊十”的雛形，可以結(jié)合學(xué)生生活經(jīng)驗，通過操作實物完成。

第二步是擺。教師讓學(xué)生拿出小棒，用小棒代替牛奶擺一擺，并借助小棒完成“9+5”的計算。這里可能產(chǎn)生幾種情況：①學(xué)生通過從9往后一一點數(shù)的方式得到結(jié)果“14”;②有了前面“補空”的經(jīng)驗，一些學(xué)生會想到從5根小棒中拿出1根，與9根湊成1捆，1捆加剩下的4根，就是14根;③可能存在少數(shù)學(xué)生從9根中拿出5根，去跟右邊的5根湊成1捆，1捆加剩下的4根，也可得到14根。對于這三種情況，教師都要給予肯定，而對第②③兩種方法要給予強化，幫助學(xué)生建立“湊十”模型。

第三步是撥。完成了前面兩步后，絕大多數(shù)學(xué)生腦中都有了初步的“湊十”模型。此時教師應(yīng)拿出計數(shù)器，幫助學(xué)生將“湊十”模型清晰化。在計數(shù)器個位撥了9顆珠子后，要繼續(xù)加5，直接撥是完成不了的，教材把加的5顆珠子用白色顯示，學(xué)生也難以看懂。怎么辦呢？由于有了前面兩步對“湊十”的初步滲透，教師再有意識地提醒：“個位上的珠子不夠撥，能不能從十位上想想辦法呢？”學(xué)生馬上就能領(lǐng)會教師的意思，邊操作邊解釋：先把個位上最后1顆珠子撥上去，就滿了10，滿了10就要換到十位上去，用十位上的1顆珠子代替?zhèn)€位上的10顆珠子，再將剩下的4顆珠子撥到個位就成功了。如果說前面的“看”與“擺”兩步，學(xué)生還有選擇其他方式得到結(jié)果的余地，那么撥計數(shù)器這一步，學(xué)生一般只能先湊滿“十”，因而這是將“湊十”模型牢固化、清晰化的一步。

最后一步是圈。教師通過設(shè)計練習(xí)，在半符號化的圖形不能移動的情況下，引導(dǎo)學(xué)生用鉛筆“圈一圈”，鞏固“湊十”的思維模型，完成從實物向半符號化過渡的抽象過程。

2.從“湊十”到“湊十法”，實現(xiàn)“理”“法”融合

教材并沒有在“9加幾”這一節(jié)的內(nèi)容中直接呈現(xiàn)“湊十法”，而是更注重引導(dǎo)學(xué)生建立“湊十”的思維模型。學(xué)生經(jīng)歷看、擺、撥、圈之后，腦中已經(jīng)建構(gòu)起初步的算理，也就是說，在借助學(xué)具的情況下，看到“9加幾”，他們能有意識的先給9“湊十”，再計算“10加幾”。到了這一步，即使教師還未引出“湊十法”，實際上學(xué)生已經(jīng)有了“湊十”的思維。此時，教師出示算式“9+6”，先讓學(xué)生根據(jù)自己喜歡的方式得到結(jié)果，將腦中“湊十”的算理進行輸出，再利用擺小棒或撥計數(shù)器的過程，引導(dǎo)學(xué)生將物與數(shù)對應(yīng)起來，實現(xiàn)算理向算法的過渡，就會事半功倍。如利用擺小棒的方式來說明：把6分成1和5，“1”表示從6根中移出的與9根湊成10的那1根，“5”表示“湊十”后剩下的5根，因此9+6=15。這樣教學(xué)，能幫助學(xué)生基本實現(xiàn)算理與算法的融合，完成從半符號化向符號化過渡的抽象過程。

3.遷移運用“湊十法”，感悟“湊整”思想

撤去小棒、計數(shù)器等直觀學(xué)具后，學(xué)生還能計算“9加幾”嗎？我們最終要達到的目標(biāo)是學(xué)生可以脫離實物，利用數(shù)的分解、組成完成“湊十”過程，快速得到正確結(jié)果。為此，教師給出算式“9+4”，要求學(xué)生盡量不使用學(xué)具來計算。有了前面的層層鋪墊，學(xué)生看到9時很快想到把4分成1和3，拿1跟9“湊十”，10加3的結(jié)果就是13。此時算理已經(jīng)滲透到算法中，但這還不夠，學(xué)生若能將9的“湊十”方法遷移，準(zhǔn)確計算“8加幾”“7加幾”“6加幾”，才算真正掌握了“湊十法”。基于此，教師向?qū)W生出示“8+7=”“7+6=”等算式，引導(dǎo)學(xué)生嘗試計算，說明算理并歸納算法。至此，學(xué)生掌握了“湊十法”的計算方法，初步感悟了“湊整”思想。

從大單元整體教學(xué)視角看，“9加幾”這節(jié)課不但要教會學(xué)生計算“9加幾”，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生形成“湊十”思維，建構(gòu)“湊十”模型，為以后學(xué)習(xí)20以內(nèi)退位減法及多位數(shù)加法奠定基礎(chǔ)。從算理與算法的關(guān)系來講，計算教學(xué)要有理有法，算理是對算法的解釋，是學(xué)生理解算法的前提，而算法是對算理的總結(jié)與提煉，它們是相互聯(lián)系、有機統(tǒng)一的整體?；诖?，小學(xué)階段的計算教學(xué)，特別是針對低年級段學(xué)生，教師應(yīng)重視算理教學(xué)，幫助學(xué)生從算理理解自然過渡到算法掌握。

（作者單位：宜昌市長陽土家族自治縣都鎮(zhèn)灣鎮(zhèn)莊溪小學(xué)）

責(zé)任編輯? 劉佳