例談全等三角形學(xué)習(xí)的四種意識(shí)

曹寶

“全等三角形”的學(xué)習(xí)中，教師要有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生樹立四種意識(shí)，即通過“邊角定形”意識(shí)實(shí)現(xiàn)元素到“三角形”的跨越，通過“利用全等”意識(shí)認(rèn)識(shí)全等的作用，通過“推陳出新”意識(shí)增強(qiáng)推理能力，通過“全等變換”意識(shí)理解全等的實(shí)質(zhì)。

一、“邊角定形”意識(shí)

邊、角是三角形的基本要素。初學(xué)時(shí)，學(xué)生理解題意中提到的“邊”“角”相關(guān)條件時(shí)，往往不能由角及形、由線及形。在復(fù)雜圖形中，因?yàn)橛懈蓴_條件或位置關(guān)系不易觀察，即使兩個(gè)全等三角形已經(jīng)存在，學(xué)生依靠直覺也不易發(fā)現(xiàn)。在需要做輔助線構(gòu)造全等三角形時(shí)，學(xué)生無處著手。造成上述現(xiàn)象的主要原因是，學(xué)生缺乏以條件中的“邊”或“角”來確定目標(biāo)三角形的意識(shí)，即“邊角定形”意識(shí)。因此，教師要培養(yǎng)學(xué)生由條件或問題中的“邊”“角”確定相關(guān)三角形，再通過發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造全等三角形來解決問題的意識(shí)和能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)從局部到整體的思維提升。

全等三角形的五個(gè)判定定理（SSS、ASA、SAS、AAS、HL）中都有“等邊”條件。存在“等邊”是兩個(gè)三角形全等的基礎(chǔ)，也是“定形”的重要依據(jù)。教師可引導(dǎo)學(xué)生用圖形分離法或涂色法主動(dòng)“定形”。

如圖1，在△ABC中，AC=BC，直線EF交AC于F，交AB于E，交BC的延長(zhǎng)線于D，連接AD、BF，若CF=CD，BF=AD。求證：BF⊥AD。

此題直觀上不易發(fā)現(xiàn)全等三角形，從求證中也難以確定全等的目標(biāo)圖形，但條件中給出了三對(duì)相等的線段，教師應(yīng)利用這些“等邊”，引導(dǎo)學(xué)生通過“定形”猜想并證明△BFC≌△ADC，再通過全等帶來的等角證出∠BCF=∠ACD=90°，從而得出∠BMD=90°。

二、“利用全等”意識(shí)

全等三角形可提供等邊、等角，在解決等量關(guān)系問題中有重要作用。很多時(shí)候，學(xué)生由于缺乏“利用全等”的意識(shí)，不能有效利用全等帶來的等邊或等角構(gòu)想解決問題的思路。

如何促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)利用全等三角形提供的條件解決問題呢？有一類題目，需要證明兩對(duì)甚至三對(duì)全等三角形，在根據(jù)條件得到第一對(duì)三角形全等后，可利用其提供的等邊或等角，為證明第二對(duì)三角形全等服務(wù)。教師引導(dǎo)學(xué)生掌握此類問題，能強(qiáng)化學(xué)生“利用全等”的意識(shí)。

如圖2，在四邊形ABDC中，∠BAC+∠BDC=180°，BD=CD，DE⊥AB于E，求[AB+ACAE]的值。

此題條件中給出了BD=CD，作DF⊥AC于F，根據(jù)四邊形ABDC對(duì)角互補(bǔ)可以證出外角等于內(nèi)對(duì)角，即∠DCF=∠DBE，從而得△DCF≌△DBE。通過這對(duì)三角形全等，不僅能得到BE=CF，為后續(xù)代換線段做準(zhǔn)備，而且提供了DE=DF，可用于證明第二對(duì)三角形全等，即△ADE≌△ADF，進(jìn)而得出AE=AF，推知[AB+ACAE=（AE+EB）+（AF-CF）AE=2AEAE=2]。

還有一類題目，問題指向“全等”的方向不明顯，學(xué)生不易想到通過證明或構(gòu)造全等三角形解決問題。事實(shí)上，當(dāng)全等三角形出現(xiàn)后，就能帶來相等的量，再通過代換找到更多量之間的關(guān)系，為解決線段或角的相關(guān)問題提供條件。

如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，邊AB上的點(diǎn)D從頂點(diǎn)A出發(fā)，向頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊BC上的點(diǎn)E從頂點(diǎn)B出發(fā)，向頂點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，D、E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度相等。設(shè)x=AD，y=AE+CD，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖4，圖象經(jīng)過（0，2），則圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________ 。（2021武漢市中考T16）

由題可知AD=BE，構(gòu)造△FBE≌△CAD（如圖5），得出EF=CD，可將問題轉(zhuǎn)化為求AE+EF取最小值時(shí)AD的長(zhǎng)度，即當(dāng)A、E、F共線時(shí)BE的值。再由圖象信息可知：AD=0時(shí)，y=AE+CD=AB+AC=2，得AB=1，最后求得BE=[2]-1=AD。

三、“推陳出新”意識(shí)

“等量”是研究全等三角形的關(guān)鍵，當(dāng)條件給出或題中證出一些等量時(shí)，往往可以利用等式的性質(zhì)代換出新的等量。

如圖6，銳角∠AOC，OA=OC，D、B兩點(diǎn)分別在線段OA、OC上，且OD=OB。設(shè)∠A=α，將△ODC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使∠BOD=α（如圖7），過B作BE∥CD交OC于E，求證：BE=AO。

由條件可得△AOB≌△COD，所以∠1=∠2，∠4=∠C=∠BEO。根據(jù)目標(biāo)線段BE、OA，考慮以邊BE、∠BEO為基礎(chǔ)構(gòu)造一個(gè)三角形與△OAB全等。由條件知∠3=∠4，作∠BFO=∠BOF（F在CO上），得BO=BF，并由∠BFO+∠BFE=180°，∠BOF+∠OBA=∠1+∠3+∠OBA=∠2+∠4+∠OBA=180°，證出∠BFE=∠OBA，從而△BEF≌△OAB，得BE=AO。

四、“全等變換”意識(shí)

當(dāng)題目給出的條件顯得不夠、不明顯，或者條件及目標(biāo)中的線段、角等元素不好利用時(shí)，我們可以將圖形做一定的變換，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱含條件，構(gòu)造新的三角形，從而解決問題。

教師引導(dǎo)學(xué)生從變換的角度認(rèn)識(shí)全等，借助平移變換、對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換等方法，整體把握?qǐng)D形，經(jīng)歷圖形的抽象、分類、運(yùn)動(dòng)、位置確定、性質(zhì)探討等過程，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)“全等”問題的深度理解。

如圖8，D為等邊△ABC外一點(diǎn)，且∠CDB=60°，E為邊BC的中點(diǎn)，連接DE、DA，求證：AD=2DE。

根據(jù)要證結(jié)論及條件“E為邊BC的中點(diǎn)”，易想到通過“倍長(zhǎng)中線”DE，構(gòu)造△DEB≌△FEC。這樣做的實(shí)質(zhì)是將△DEB繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，通過旋轉(zhuǎn)變換得到△FEC，出現(xiàn)DF=2DE。在嘗試證明DA=DF時(shí)，圖中找不到已有的全等三角形，必須通過全等變換轉(zhuǎn)移線段，構(gòu)造新的三角形。抓住△DCF，在已知等邊△ABC的基礎(chǔ)上，作等邊△DBG，將△ABD旋轉(zhuǎn)變換為△CBG，將AD轉(zhuǎn)換為CG，構(gòu)造出△GDC。隨之發(fā)現(xiàn)DG=DB=CF，∠FCD=∠GDC=120°，CD=DC，發(fā)現(xiàn)對(duì)稱變換的兩個(gè)全等三角形，即△FCD≌△GDC，從而證出AD=CG=DF=2DE。

（作者單位：武漢經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)教育局教研室）

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