基于Matlab的變壓器繞組變形頻率響應(yīng)的仿真研究

陳 杰 蘭 生 林 野 許明龍 朱志豪

基于Matlab的變壓器繞組變形頻率響應(yīng)的仿真研究

陳 杰 蘭 生 林 野 許明龍 朱志豪

（福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福州 350108）

頻率響應(yīng)法（FRA）是檢測(cè)電力變壓器繞組變形的一種可靠方式，本文以三繞組變壓器為研究對(duì)象，提出考慮各個(gè)單元之間互感和繞組相鄰線餅間電容的模型。首先，采用有限元軟件Maxwell建模求取正常及變形繞組的等效電路參數(shù)；其次，根據(jù)仿真得到的等效電路參數(shù)，在Matlab中建立狀態(tài)空間模型，通過(guò)參數(shù)矩陣進(jìn)行頻率響應(yīng)計(jì)算，得出高壓繞組軸心偏移和餅間間距變化兩種典型繞組變形對(duì)頻率響應(yīng)曲線的影響規(guī)律。研究結(jié)果對(duì)后續(xù)提取反映頻率響應(yīng)特性的特征向量，實(shí)現(xiàn)變壓器繞組變形類別的識(shí)別具有一定參考價(jià)值。

頻率響應(yīng)；有限元；繞組變形；變壓器；狀態(tài)空間方程

0 引言

電力變壓器作為電力系統(tǒng)的重要組成部分，是整個(gè)系統(tǒng)的命脈所在，其工作狀態(tài)正常對(duì)保障整個(gè)電網(wǎng)的安全運(yùn)行具有重大意義[1]。據(jù)相關(guān)資料統(tǒng)計(jì)，繞組變形是電力變壓器發(fā)生故障的主要原因[2-3]。變壓器繞組的輕微變形不易被發(fā)現(xiàn)且具有一定的累積效應(yīng)[4]，隨著變形的加劇，當(dāng)再次受到短路電流沖擊時(shí)，可能會(huì)造成變壓器嚴(yán)重?fù)p壞。因此，積極開(kāi)展對(duì)變壓器繞組變形的研究十分必要。

頻率響應(yīng)法（frequency response analysis, FRA）是進(jìn)行變壓器繞組變形檢測(cè)的一種有效方法，其具備試驗(yàn)設(shè)備簡(jiǎn)單、檢測(cè)靈敏度高、重復(fù)性好等優(yōu)點(diǎn)[5]。國(guó)內(nèi)外的專家和學(xué)者針對(duì)繞組變形引起頻率響應(yīng)變化的機(jī)理進(jìn)行了大量研究。當(dāng)前應(yīng)用最為廣泛的方法是建立等效電路模型進(jìn)行頻率響應(yīng)傳遞函數(shù)的計(jì)算，探索繞組變形與頻響曲線的關(guān)聯(lián)性。文獻(xiàn)[6-7]采用有限元法計(jì)算變壓器等效電路模型參數(shù)，考慮鐵心磁導(dǎo)率等對(duì)10Hz～10MHz頻率范圍內(nèi)變壓器繞組的電感和電阻參數(shù)的影響，提升了等效電路模型的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[8-9]提出改進(jìn)型的繞組頻率響應(yīng)曲線仿真方法，對(duì)各種變形故障程度對(duì)變壓器等效電路參數(shù)的影響進(jìn)行了探索。文獻(xiàn)[10]借助有限元法計(jì)算不同變形類別和變形程度下的繞組等效電路參數(shù)，并利用電路仿真軟件建模探索了等效電路參數(shù)變化對(duì)頻率響應(yīng)特性曲線的影響。

以上研究均是針對(duì)常見(jiàn)的雙繞組變壓器，本文以三繞組變壓器為研究對(duì)象，提出考慮各個(gè)單元之間互感和繞組相鄰線餅間電容的模型，在Matlab中創(chuàng)建狀態(tài)空間模型，通過(guò)參數(shù)矩陣進(jìn)行頻率響應(yīng)計(jì)算，重點(diǎn)分析高壓繞組軸心偏移和餅間間距變化兩種典型繞組變形對(duì)頻率響應(yīng)曲線的影響規(guī)律。

1 等效電路模型創(chuàng)建與電路參數(shù)求取

1.1 變壓器繞組的等效電路模型

在進(jìn)行頻率響應(yīng)測(cè)試時(shí)，變壓器繞組可以等效成由電阻、電感（互感）、電容組成的無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，因此可搭建如圖1所示的等效電路模型對(duì)繞組進(jìn)行頻率響應(yīng)仿真[11]。對(duì)于變壓器繞組等效電路模型中的電容、電感等參數(shù)，往往采用解析公式法進(jìn)行計(jì)算，但它僅適用于正常繞組，不適用于不規(guī)則變形繞組。有限元技術(shù)是一種利用微小離散元來(lái)模擬求解實(shí)際連續(xù)域的方法，能夠?qū)?fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，精確求解不規(guī)則物體的電磁特性，彌補(bǔ)解析公式法帶來(lái)的限制[10]。因此，本文通過(guò)有限元軟件Maxwell仿真計(jì)算繞組的等效電路參數(shù)，建立以線餅為單元的連續(xù)式繞組分布式模型。對(duì)圖1所示模型以高壓繞組上下兩餅為一個(gè)單元進(jìn)行簡(jiǎn)化，繞組的簡(jiǎn)化等效電路如圖2所示。其中，in為輸入電壓，i為輸入電阻，out為輸出電壓，o為匹配電阻，為繞組線圈自感，為繞組的自電阻，s為等效縱向電容（包括匝間電容z和餅間電容b），s為電容并聯(lián)電導(dǎo)，g為對(duì)地電容，g為絕緣電導(dǎo)。

圖1 繞組等效電路

圖2 繞組簡(jiǎn)化等效電路

1.2 基于狀態(tài)空間方程的頻率響應(yīng)模型

常見(jiàn)的頻率響應(yīng)仿真中，常常是利用電路仿真軟件搭建電路模型進(jìn)行研究，在電路單元較多的情況下，參數(shù)的設(shè)置與修改將變得繁雜，因此本文提出基于狀態(tài)空間方程的頻率響應(yīng)模型，通過(guò)參數(shù)矩陣進(jìn)行頻率響應(yīng)計(jì)算，建立便捷的電路仿真方法，提高計(jì)算的速度和精度。

本文搭建7級(jí)分布式參數(shù)頻率響應(yīng)模型。根據(jù)圖2所示的簡(jiǎn)化等效電路，選取各單元的首末端節(jié)點(diǎn)電壓相量（）和電流相量（）作為狀態(tài)變量，在Matlab中構(gòu)建狀態(tài)空間方程，以獲取不同頻率下的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，進(jìn)而繪制頻率響應(yīng)曲線[11]。以圖3所示的三階等效電路為例，簡(jiǎn)述基于狀態(tài)空間方程的頻率響應(yīng)模型構(gòu)建過(guò)程。

圖3 三階等效電路

圖3所示三階等效電路有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別記為1、2、3、4。根據(jù)基爾霍夫電壓、電流定律，對(duì)于節(jié)點(diǎn)2有

同理，對(duì)于其他節(jié)點(diǎn)有類似的電壓電流關(guān)系，由此可以建立如下矩陣方程，即

假設(shè)以節(jié)點(diǎn)1作為信號(hào)源輸入節(jié)點(diǎn)，輸入電壓為1，為了獲取傳遞函數(shù)，將1提取出來(lái)，對(duì)式（2）和式（3）進(jìn)行移動(dòng)和變換，并將矩陣方程轉(zhuǎn)換到頻域，得

式中：為復(fù)頻率；為電流系數(shù)矩陣；為電流矩陣；為電容矩陣；為電導(dǎo)矩陣；為電壓矩陣；為電壓系數(shù)矩陣；為電感矩陣；為電阻矩陣。

令式（4）中的1的相關(guān)系數(shù)矩陣分別為1和2，則有

則所有端口的電壓及電流與1的比值為

式中，為單位矩陣。

式（6）即為所有節(jié)點(diǎn)電壓電流與輸入節(jié)點(diǎn)電壓的傳遞函數(shù)矩陣。由此可推廣到階電路，在Matlab中建立狀態(tài)空間模型，通過(guò)參數(shù)矩陣進(jìn)行頻率響應(yīng)計(jì)算，繪制得到頻率響應(yīng)曲線。

1.3 基于有限元法的繞組等效電路參數(shù)求取

本文以110kV油浸式電力變壓器（型號(hào)：SSZ11—50000/110）作為研究對(duì)象，其實(shí)際尺寸參數(shù)與絕緣材料參數(shù)見(jiàn)表1～表3。根據(jù)所列的參數(shù)在Maxwell中搭建有限元模型進(jìn)行電氣參數(shù)計(jì)算[12]，主要包括：匝間與餅間電容、等效縱向電容、等效對(duì)地電容、電感（考慮互感）。

表1 變壓器的尺寸參數(shù) 單位: mm

表2 高壓繞組尺寸參數(shù)

表3 絕緣材料相對(duì)介電常數(shù)

1）匝間電容的求取

變壓器高壓繞組雙層線餅?zāi)Ｐ腿鐖D4所示。其中，每層線餅的匝數(shù)設(shè)置為7匝，為方便求解，將線餅各匝進(jìn)行編號(hào)，上層從外到內(nèi)依次為Z1～Z7，下層從內(nèi)到外依次為Z8～Z14。匝絕緣介電常數(shù)取3.5，通過(guò)在靜電場(chǎng)求解器中進(jìn)行多次靜電模擬來(lái)計(jì)算電容參數(shù)矩陣。

圖4 高壓繞組雙層線餅?zāi)Ｐ?/p>

由于線匝的寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于繞組線圈的平均直徑，因此匝間電容可由平板電容公式[13]計(jì)算得

使用解析公式法與有限元法計(jì)算部分匝間電容的結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表4。解析公式法和有限元法求得的匝間電容平均值分別為636.05pF、643.19pF。兩者的相對(duì)誤差范圍為0.77%～1.42%。

表4 繞組的匝間電容

2）餅間電容的求取

三維線餅?zāi)Ｐ腿鐖D5所示，線餅從上往下依次記為B1～B14。餅間的絕緣等效介電常數(shù)取2.46，分別計(jì)算高壓繞組上下線餅各匝間的電容值，最后求和取得高壓繞組各線餅餅間電容值。部分餅間電容計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5。

圖5 三維線餅?zāi)Ｐ?/p>

表5 繞組的餅間電容

由于線匝的寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于繞組線圈的平均直徑，因此餅間電容可由平板電容公式[13]計(jì)算得

有限元法和解析公式法得到的餅間電容值平均值分別為2 605.86pF、2 589.57pF，相對(duì)誤差為0.62%。

3）等效縱向電容的求取

等效縱向電容是指線匝之間的匝間電容及線餅之間的餅間電容，二者皆為分布參數(shù)，其數(shù)值大小由線匝之間或線餅之間的靜電儲(chǔ)能決定[13]。因此，根據(jù)能量相等原理，等效縱向電容的計(jì)算公式為

式中：s為等效縱向電容；為線餅匝數(shù)。

將得到的繞組匝間電容和餅間電容代入式（9），有限元法和解析公式法計(jì)算得到的等效縱向電容值分別為1 829.12pF、1 817.24pF，相對(duì)誤差為0.65%。

4）等效對(duì)地電容的求取

等效對(duì)地電容的仿真模型如圖6所示。在模型中設(shè)置油箱、中壓繞組、低壓繞組和鐵心部分為接地零電位，求解得到單個(gè)高壓繞組線餅的對(duì)地電容值見(jiàn)表6。

圖6 等效對(duì)地電容的仿真模型

表6 單個(gè)高壓繞組線餅的對(duì)地電容值

5）電感及互感的求取

通常情況下，在高于1kHz的高頻輸入源作用下，變壓器鐵心的磁導(dǎo)率幾乎可以視為空氣磁導(dǎo)率。因此，本文忽略鐵心影響，建立空心線圈模型以求解電感參數(shù)，模型如圖5所示。將高壓繞組線餅分別編號(hào)為H1～H14，每餅匝數(shù)為7匝，設(shè)置求解域，施加1A電流源于每餅線圈的橫切面，在靜磁場(chǎng)中求解得到電感矩陣。部分電感參數(shù)值見(jiàn)表7。其中，對(duì)角線部分為線圈自感，非對(duì)角線部分為各線圈之間的互感。

表7 電感參數(shù)

2 繞組變形后的頻率響應(yīng)特性分析

當(dāng)繞組結(jié)構(gòu)發(fā)生改變時(shí)，等效電路中對(duì)應(yīng)的電氣參數(shù)數(shù)值也會(huì)隨之發(fā)生變化，進(jìn)而導(dǎo)致諧振點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率位置與幅值大小發(fā)生改變。為了研究不同電路參數(shù)變化對(duì)頻率響應(yīng)曲線的影響規(guī)律，本文依據(jù)上述仿真模型求取繞組不同變形類型的電路參數(shù)，在Matlab中搭建頻率響應(yīng)模型，重點(diǎn)分析高壓繞組軸心偏移和餅間間距變化兩種典型繞組變形對(duì)頻響曲線的影響規(guī)律。

2.1 繞組軸心偏移

在Maxwell中搭建繞組軸心偏移模型，在模型中共設(shè)置7個(gè)偏移量，范圍為5～35mm，以此來(lái)模擬不同程度的軸心偏移。通過(guò)對(duì)正常繞組和高壓繞組不同程度的軸心偏移進(jìn)行仿真發(fā)現(xiàn)，等效電路中的電感和等效縱向電容參數(shù)幾乎沒(méi)有發(fā)生變化，變化量最大的是對(duì)地電容，尤其高中壓繞組間電容的變化量最大。高壓繞組軸心偏移量與對(duì)地電容值變化關(guān)系如圖7所示。由圖7可知，隨著軸心偏移程度的增大，對(duì)地電容值增大，并且軸心偏移程度越大，對(duì)地電容值的變化量越大。

圖7 高壓繞組軸心偏移量與對(duì)地電容值變化關(guān)系

對(duì)高壓繞組軸心偏移30mm和正常繞組兩種情況進(jìn)行分析，對(duì)地電容變化情況見(jiàn)表8。從高壓繞組發(fā)生軸心偏移后對(duì)地總電容與未變形前相比較來(lái)看，增加了18.13pF。其中高中壓繞組間的電容變化最大，占對(duì)地電容總變化量的96%。

表8 高壓繞組軸心偏移30mm時(shí)對(duì)地電容變化情況

選取繞組發(fā)生軸心偏移25mm、35mm兩種情況與正常情況下的頻響曲線作對(duì)比，研究高壓繞組軸心偏移量對(duì)頻響曲線的影響，如圖8所示。

由圖8可知，高壓繞組發(fā)生軸心偏移時(shí)，在低于10kHz的頻率范圍內(nèi)，幾乎觀察不到故障對(duì)頻率響應(yīng)曲線的影響。在10～600kHz的頻率范圍內(nèi)，頻率響應(yīng)曲線明顯左移，諧振點(diǎn)的頻率減??；隨著軸心偏移程度增大，頻率響應(yīng)曲線的諧振點(diǎn)相對(duì)正常繞組呈現(xiàn)更加明顯的左移現(xiàn)象。在600～1 000kHz的頻率范圍內(nèi)，頻率響應(yīng)曲線幅值比正常情況要稍微低一些。

對(duì)高壓繞組軸心偏移情況作進(jìn)一步解析，依照標(biāo)準(zhǔn)DL/T 911—2016中所列出的公式，計(jì)算相關(guān)系數(shù)作為參考。不同軸心偏移量下的相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表9，其中LF為曲線在低頻段（1～100kHz）的相關(guān)系數(shù)，MF為曲線在中頻段（100～600kHz）的相關(guān)系數(shù)，HF為曲線在高頻段（600kHz～1MHz）的相關(guān)系 數(shù)[14]。

表9 不同軸心偏移量下的相關(guān)系數(shù)

由表9中數(shù)據(jù)可知，繞組發(fā)生軸心偏移時(shí)，當(dāng)軸心偏移量較?。?～15mm）時(shí)，各頻段相關(guān)系數(shù)均在正常指標(biāo)范圍。隨著偏移量的增加，各頻段相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，曲線相關(guān)性變差，尤其低頻段的相關(guān)系數(shù)減小到超出了正常指標(biāo)，可以初步判斷繞組發(fā)生較為明顯的變形。

在本文所研究的變壓器中，正常高壓繞組的餅間間距為3mm。在Maxwell中建立高壓繞組餅間間距變化模型，在模型中分別設(shè)置3個(gè)單元餅間間距減小為2.7mm、2.4mm、2.1mm。在仿真中發(fā)現(xiàn)，餅間間距改變后，等效電路中的電感、對(duì)地電容參數(shù)值的變化微乎其微，而等效縱向電容是其中變化最大的，這主要是由餅間電容的變化引起的。高壓繞組餅間間距改變后的餅間電容、等效縱向電容變化如圖9所示。由圖9可知，隨著餅間間距減小，餅間電容增大，等效縱向電容隨之增大。

圖9 餅間間距改變后餅間電容、等效縱向電容變化

2.2 繞組餅間間距變化

選取高壓繞組3個(gè)單元餅間間距分別為2.4mm、2.1mm的情況與正常繞組的頻率響應(yīng)曲線作對(duì)比，研究繞組餅間間距變化對(duì)頻率響應(yīng)曲線的影響，如圖10所示。

由圖10可知，高壓繞組餅間間距減小，諧振波峰、波谷的頻率也相應(yīng)減小。在低于50kHz的頻率范圍內(nèi)，頻響曲線與正常情況時(shí)幾乎一致。在50～600kHz的頻率范圍內(nèi)，頻響曲線明顯左移，諧振點(diǎn)的頻率稍微減小。隨著餅間間距減小得越多，頻響曲線中的諧振點(diǎn)相對(duì)正常繞組呈現(xiàn)越明顯的左移現(xiàn)象。在600～1 000kHz的頻率范圍內(nèi)，頻率響應(yīng)曲線整體幅值相較正常情況要稍微高一些。

圖10 繞組餅間間距變化對(duì)頻率響應(yīng)曲線的影響

依照標(biāo)準(zhǔn)DL/T 911—2016中所列出的計(jì)算方法，計(jì)算相關(guān)系數(shù)作為參考，進(jìn)一步分析高壓繞組的餅間間距改變的情況。不同餅間間距下的相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表10。

表10 不同餅間間距下的相關(guān)系數(shù)

由表10中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)高壓繞組的3個(gè)單元餅間間距減小時(shí)，各頻段相關(guān)系數(shù)減小，依照相關(guān)系數(shù)可以初步判斷出繞組已經(jīng)發(fā)生輕度變形。隨著餅間間距進(jìn)一步減小為2.4mm和2.1mm時(shí)，各頻段相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)更明顯，曲線相關(guān)性變差，根據(jù)中頻段的相關(guān)系數(shù)減小，可以判斷出繞組已經(jīng)發(fā)生較為明顯的變形。

3 結(jié)論

本文根據(jù)三繞組變壓器的相關(guān)參數(shù)，借助有限元軟件進(jìn)行了建模仿真，獲取了正常及變形繞組的等效電路參數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)。按照變壓器實(shí)際結(jié)構(gòu)所搭建的模型進(jìn)行計(jì)算，所得到的電氣參數(shù)結(jié)果較解析公式法精度要高。

在Matlab中搭建了基于狀態(tài)空間方程的頻率響應(yīng)分析模型，對(duì)高壓繞組發(fā)生軸心偏移和餅間間距改變兩種典型變形進(jìn)行了仿真分析，得到了兩種典型的繞組變形對(duì)頻率響應(yīng)曲線的影響規(guī)律。

電力變壓器繞組結(jié)構(gòu)發(fā)生改變后，其頻響曲線會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。可提取頻率響應(yīng)曲線在整個(gè)頻率范圍內(nèi)的變化特性作為檢測(cè)繞組變形的指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)對(duì)變壓器繞組變形類型的進(jìn)一步識(shí)別。

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Simulation research on frequency response of transformer winding deformation base on Matlab

CHEN Jie LAN Sheng LIN Ye XU Minglong ZHU Zhihao

(College of Electrical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350108)

Frequency response analysis (FRA) is one of the main methods to detect the winding deformation of power transformer. This paper takes the three-winding transformer as the research object and proposes a model that considers the mutual inductance between each unit and the capacitance between the adjacent windings. Firstly, the equivalent circuit parameters of normal and deformed windings are calculated through the simulation of finite element software Ansys Maxwell. Secondly, according to the equivalent circuit obtained by the simulation, the state space model is established in Matlab. The frequency response is calculated through the parameter matrix, and the influence of two typical winding deformation types of the axis deviation of the high voltage winding and the change of the gap between the disks offset is obtained. The research results have a certain reference value for extracting the feature vector reflecting the frequency response characteristics and realizing the identification of transformer winding deformation type.

frequency response; finite element; winding deformation; transformer; state space equation

2021-09-30

2021-10-28

陳 杰（1992—），男，福建省莆田市人，碩士研究生，主要從事變壓器繞組變形研究。