具有隨機(jī)擾動(dòng)的3種群Holling-Ⅱ型食物鏈系統(tǒng)的正解的存在唯一性

李海紅，李海霞，孔靈柱

(1.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130118；2.長(zhǎng)春光華學(xué)院商學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130031；3.吉林建筑大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130118)

0 引言

在對(duì)種群模型[1-2]的研究中，由于功能性反應(yīng)函數(shù)所描述的問(wèn)題更能反映實(shí)際情況，所以對(duì)它的研究越來(lái)越受到重視.

Maiti等[3]提出并研究以下帶有Holling-Ⅱ型功能性反應(yīng)的3種群食物鏈模型：

(1)

其中：參數(shù)b1，b2，b3，a11均為正常數(shù)，分別表示內(nèi)在增長(zhǎng)率、第2和第3物種的死亡率、被捕食者的內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)；b表示環(huán)境對(duì)捕食者和被捕食者的保護(hù)率；a21，a32分別代表第2、第3個(gè)捕食者的轉(zhuǎn)換率；a12，a23代表捕食者對(duì)獵物的相應(yīng)捕獲率.

將系統(tǒng)(1)引入白噪聲，得到如下隨機(jī)系統(tǒng)：

(2)

本文主要研究在白噪聲干擾下的隨機(jī)系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)行為.

1 確定性系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

由于E0沒(méi)有太多的實(shí)際意義.接下來(lái)通過(guò)求對(duì)應(yīng)的特征方程的特征值來(lái)討論其他平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

(Ⅰ) 系統(tǒng)在E1=(x0，0，0)=(b1/a11，0，0)的動(dòng)力學(xué)行為.

類似過(guò)程(Ⅰ)的討論方法可以得到：若b3a12(a21-b2)2>ba21a32(b1a21-b1b2-b2b)，a11a21b+b1b2+b2b>a21b，那么E2是局部穩(wěn)定的.

注意到

相應(yīng)的J(E3)的特征方程為f3(λ)=λ3-c11λ2-(c12c21+c23c32)λ+c11c23c32=0.則由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，J(E3)的特征值均為非負(fù)的，當(dāng)且僅當(dāng)

2 系統(tǒng)(2)全局正解的存在唯一性

P{τk≤T}≥ε.

(3)

其中d1和d2為稍后確定的正常數(shù).由伊藤公式可得

其中

對(duì)上式兩端取期望得

(4)

令Ωk={τk≤T}(k≥k1)，則(3)式可寫(xiě)成P(Ωk)≥ε.對(duì)每個(gè)ω∈Ωk，由停時(shí)的定義存在i使得xi(τk，ω)=k或1/k，從而V(x(τk，ω))≥k-1-log(k)∧k-1-1+log(k).于是由(4)式可得

其中1Ωk表示Ωk的特征函數(shù).令k→∞得到矛盾，因此τ∞=∞，a.s..