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    一類具有收獲項的雙時滯May合作系統(tǒng)的Hopf分支

    2022-03-26 07:04:18王月月呂堂紅周林華
    東北師大學報(自然科學版) 2022年1期
    關鍵詞:平衡點時滯分支

    王月月,呂堂紅,周林華

    (長春理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,吉林 長春 130022)

    0 引言

    合作是物種之間的基本關系之一,在過去的幾十年里,學者們對于合作模型進行了廣泛研究[1-5].1976年May首次提出兩種群合作模型,分析發(fā)現(xiàn)如果不對模型系數(shù)加以限制,其解可能無界.為了克服解的無界情形,May進一步考慮了種群內(nèi)部密度制約因素,提出修正模型.此后對于May合作系統(tǒng)的研究多基于修正模型,如Cui等[6]提出并研究了非自治的May合作模型,給出了保證系統(tǒng)存在唯一的全局吸引的正周期解的充分性條件;Wei等[7]提出并探討了具有捕獲項的May合作系統(tǒng),分析了系統(tǒng)正平衡點的存在性和穩(wěn)定性.

    2014年,楊坤等[8]研究了如下形式的具有避難所的May合作系統(tǒng):

    (1)

    其中:x1,x2代表兩個種群的密度;r1,r2分別表示兩種群的內(nèi)稟增長率;c1,c2分別表示兩種群的種內(nèi)競爭強度;bi表示xi種群與另一種群的合作系數(shù);00,ci>0,i=1,2.假定x1種群具有避難所,此時數(shù)量為mx1的x1種群躲入避難所,(1-m)x1數(shù)量的x1種群與x2種群進行合作.其研究結(jié)果表明具有避難所的種群x1的平衡密度會隨著避難所的增大而增大,而沒有避難所的種群x2的平衡密度則隨著對方種群避難所的增加而降低.

    在實際問題中,影響種群密度的因素有很多.一方面,為了控制對生物資源的過度開發(fā)人類采取了多種措施,如設立保護區(qū)、制定法律法規(guī)保證適度開采等,希望既可以維持種群的持續(xù)生存,又能使經(jīng)濟得到較好發(fā)展.另一方面,時滯效應幾乎存在于每種生物關系中,對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生極大的影響.因此,本文在模型(1)的基礎上,考慮人為開采與捕撈作用,分別引入收獲項e1x1和e2x2,考慮種群x1具有成熟期和孕育期[9]分別引入時滯τ1和τ2,提出如下具有避難所和收獲項的雙時滯May合作系統(tǒng):

    (2)

    其中:τ1表示x1種群的成熟期;τ2表示x1種群的孕育期;eixi表示xi種群的收獲項,ei>0,i=1,2;其他參數(shù)意義同模型(1).對于May合作系統(tǒng)的研究,學者們很少考慮到模型(2),對于此模型的動力學行為研究也不多見,而這正是本文關注的焦點.

    1 正平衡點的存在性

    考慮到種群的生物學意義,本節(jié)討論系統(tǒng)(2)正平衡點E*的穩(wěn)定性狀況.

    定理1 如果r1>e1且r2>e2,則系統(tǒng)(2)有唯一正平衡點

    證明如果系統(tǒng)(2)存在平衡點,則應滿足方程組

    (3)

    由(3)式中的第2個方程可得

    (4)

    將(4)式代入(3)式中的第1個方程,有

    (5)

    其中:

    P1=(r2-e2)r1b1b2c1(1-m)+r2b2c2(1-m)[r1(1-m)+r1a1c1];

    P2=[r1(1-m)+r1a1c1](r2+r2a2c2)+(r2-e2)r1a2b1c1-
    (r1-e1)(1-m)b2[(r2-e2)b1+r2a1c2];

    P3=(e1-r1)[(r2-e2)a2b1+a1(r2+r2a2c2)].

    不難發(fā)現(xiàn),當r1>e1且r2>e2時,定理1成立.

    2 局部穩(wěn)定性和Hopf分支

    系統(tǒng)(2)在正平衡點E*處的Jacobi矩陣為

    (6)

    其中:

    則系統(tǒng)(2)的特征方程為

    λ2+Aλ+B+(Cλ+D)e-λτ1+Ee-λτ2=0.

    (7)

    其中:

    針對時滯的不同組合,考慮以下5種情形:

    情形1τ1=τ2=0.此時系統(tǒng)(2)的特征方程(7)變?yōu)?/p>

    λ2+(A+C)λ+B+D+E=0.

    (8)

    又因為A+C>0,根據(jù)Routh-Hurwitz準則,若假設:

    (H1)B+D+E>0.

    則系統(tǒng)(2)的正平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的.

    情形2τ1>0,τ2=0.此時系統(tǒng)(2)的特征方程(7)變?yōu)?/p>

    λ2+Aλ+B+E+(Cλ+D)e-λτ1=0.

    (9)

    令λ=iω1(ω1>0)是該方程的根,代入到(9)式有

    (10)

    兩邊分別平方相加可得

    (11)

    p1=A2-C2-2(B+E),q1=(B+E)2-D2.

    (H2)p1>0,q1>0.

    則(11)式無正根,因此方程(11)的所有根均具有負實部.進一步假設

    (H3)q1<0.

    (12)

    (13)

    對(9)式關于τ1求導,有

    (14)

    經(jīng)計算得

    (15)

    如果(H5)成立,從而得到橫截性條件

    于是有如下結(jié)論:

    定理2 對于系統(tǒng)(2),當τ1>0,τ2=0,且(H1)成立時:

    (1) 如果(H2)成立,則當τ1≥0時,系統(tǒng)(2)的平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的.

    (2) 如果(H5)成立,則存在一個τ10,使得當τ1∈[0,τ10)時,平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的;當τ1>τ10時,平衡點E*不穩(wěn)定;當τ1=τ10時,系統(tǒng)(2)發(fā)生Hopf分支.

    情形3τ1=0,τ2>0.此時系統(tǒng)(2)的特征方程(7)變?yōu)?/p>

    λ2+(A+C)λ+B+D+Ee-λτ2=0.

    (16)

    令λ=iω2(ω2>0)是該方程的根,代入到(16)式有

    (17)

    從而

    (18)

    p2=(A+C)2-2(B+D),q2=(B+D)2-E2.

    經(jīng)計算p2>0,q2>0,則有

    定理3 對于系統(tǒng)(2),當τ1=0,τ2>0時,在(H1)條件下平衡點E*仍然保持局部漸近穩(wěn)定.

    情形4τ1=τ2=τ>0.

    定理4 對于系統(tǒng)(2),τ1=τ2=τ.當τ∈[0,τ30)時,平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的;當τ>τ30時,平衡點E*是不穩(wěn)定的;此外在τ=τ30處,發(fā)生Hopf分支.其中

    (19)

    證明同情形2.

    情形5τ1>0,τ2>0.

    考慮(7)式中τ1在穩(wěn)定的區(qū)間,τ2作為參數(shù).設λ=iω4為(7)式的根,代入到(7)式有

    (20)

    消去τ2,有

    (21)

    (H6) (21)式有有限個正根.

    (22)

    i=1,2,…,j,k=0,1,2,…

    對(7)式關于τ2求導,有

    (23)

    經(jīng)計算有

    (24)

    其中

    T=2ω*cosω*τ*+Asinω*τ*+(C-τ1D)sinω*(τ*-τ1)-τ1Cω*sinω*(τ*-τ1).

    又因為ω*E<0,假設

    (H7)T<0.

    由上述討論,可得:

    定理5 對于系統(tǒng)(2),固定τ1∈[0,τ10),若(H1),(H6)和(H7)成立,則當τ2∈[0,τ*)時,平衡點E*是局部漸進穩(wěn)定的;若τ2>τ*,平衡點E*不穩(wěn)定;當τ2=τ*,系統(tǒng)(2)發(fā)生Hopf分支.

    3 Hopf分支方向及其穩(wěn)定性

    研究在τ1=τ2=τ=τ30條件下,運用Hassard的中心流形定理和規(guī)范型理論,得到?jīng)Q定系統(tǒng)(2)的Hopf分支性質(zhì)的表達式.

    令u(t)=(u1(t),u2(t))T∈R2,其中u1(t)=x1(τt),u2(t)=x2(τt),τ=τ30+μ,μ∈R,則系統(tǒng)(2)在C=C([-1,0],R2)上變?yōu)橐话愕姆汉⒎址匠?/p>

    (25)

    其中Lμ:C→R2,F(xiàn):R×C→R2分別由以下形式給出:

    (26)

    F(μ,φ)=(τ30+μ)(F1(μ,φ),F(xiàn)2(μ,φ))T.

    (27)

    這里:

    φ=(φ1,φ2)∈C([-1,0],R2),

    其中:

    因此,由Riesz表示定理,能找到一個有界變差的二階矩陣η(θ,μ):[-1,0]→R2使得

    (28)

    這里

    δ(θ)是Dirac-delta函數(shù).

    對于φ∈C1([-1,0],R2),定義

    對于ψ∈C1([-1,0],(R2)*),定義A=A(0)的伴隨算子A*:

    雙線性型:

    設A和A*對應于特征根iω3τ30與-iω3τ30的特征向量分別為q(θ)和q*(s),于是

    A(0)q(θ)=iω3τ30q(θ),A*(0)q*(s)=-iω3τ30q*(s).

    通過計算,可以得到:

    這里

    利用文獻[10]給出的算法,并用與文獻[11-12]類似的計算過程,可以得到用于確定Hopf分支方向以及分支周期解穩(wěn)定性的系數(shù):

    其中W20(θ),W11(θ)的計算結(jié)果如下:

    這就意味著

    (29)

    令C1(0)由(29)式給出,

    (30)

    易得出μ2,β2,T2的值.因此有

    定理6 當τ=τ30時,(30)式的各個表達式中心式?jīng)Q定了分支周期解在中心流形上的性質(zhì),因此得出下面的結(jié)論:

    (1)μ2確定Hopf分支的方向.如果μ2>0(μ2<0),則Hopf分支是超臨界的(次臨界的).

    (2)β2確定分支周期解的穩(wěn)定性.如果β2<0(β2>0),則分支周期解是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的).

    (3)T2確定分支周期解的周期.如果T2>0(T2<0),則分支周期解的周期增加(減少).

    4 數(shù)值模擬

    為了驗證上面分析所得的理論結(jié)果,選擇適當?shù)膮?shù),考慮以下系統(tǒng):

    (31)

    當τ1>0,τ2=0時,條件(H1)和(H3)滿足,通過計算有ω10≈0.900 8,τ10≈1.942 3,橫截性條件滿足.因此當τ1=1.8<τ10≈1.942 3時,平衡點E*是漸近穩(wěn)定的(見圖1);當τ1=2>τ10≈1.942 3時,平衡點E*失去穩(wěn)定性(見圖2).

    圖1 當τ1=1.8<τ10≈1.942 3,τ2=0時,系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

    圖2 當τ1=2>τ10≈1.942 3,τ2=0時,系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

    當τ1=τ2=τ時,B2-(D+E)2≈-1.165 2<0,系統(tǒng)有正根,通過計算可得ω3≈0.862 9,τ30≈2.190 9,C1(0)≈0.000 1-0.001 2i,μ2≈-0.000 1,β2≈0.000 2,T2≈0.002 4.

    由定理6可知,系統(tǒng)(31)的Hopf分支是次臨界的,分支周期解是不穩(wěn)定的且分支周期增大.當τ=1.9<τ30≈2.190 9時,平衡點E*是漸近穩(wěn)定的(見圖3);當τ=2.2>τ30≈2.190 9時,平衡點E*失去穩(wěn)定性(見圖4).

    圖3 當τ1=τ2=τ=1.9<τ30≈2.190 9時,系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

    圖4 當τ1=τ2=τ=2.2>τ30≈2.190 9時,系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

    當τ1>0,τ2>0時,固定τ1=2.1,通過計算可得ω*≈908 6,τ*≈2.794 6.

    (H7)T≈-2.801 2<0.因此當τ2=2.0<τ*≈2.794 6時,平衡點E*是漸近穩(wěn)定的(見圖5);當τ2=3.2>τ*≈2.794 6時,平衡點E*失去穩(wěn)定性(見圖6).

    圖5 當τ1=2.1,τ2=2.0<τ*≈2.794 6時,系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

    圖6 當τ1=2.1,τ2=3.2>τ*≈2.794 6時,系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

    5 結(jié)論

    本文研究了一類具有收獲項的雙時滯May合作系統(tǒng).研究結(jié)果表明:當種群x1中只存在成熟期時滯τ2時,時滯變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性沒有影響;當種群x1中只存在孕育期時滯τ1,或者當種群x1的兩個時滯都存在時,種群的時滯變化對其生長具有很大影響.從圖2、圖4與圖6中可以看出適當?shù)难舆t可以促進系統(tǒng)穩(wěn)定性,而從圖1、圖3與圖5中可以看出當時滯通過其臨界值時,會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性,模型就會經(jīng)歷Hopf分支,產(chǎn)生周期解,甚至導致生態(tài)系統(tǒng)的失控與混亂.本文的研究有助于理解自然界中的一類種群合作關系,為相關部門及管理者規(guī)范對此類生物資源的開采、利用行為提供理論參考.

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