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    復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中k-單圈圖的若干性質(zhì)

    2022-03-26 07:04:00明,蘇靜,姚
    關(guān)鍵詞:單圈個圈一棵樹

    姚 明,蘇 靜,姚 兵

    (1.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息處理與控制工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730060;2.北京大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,北京 100871;3.北京大學(xué)高可信軟件技術(shù)教育部重點實驗室,北京 100871;4.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

    1 預(yù)備知識

    在當(dāng)今的網(wǎng)絡(luò)世界里,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)幾乎處處可見,如演員網(wǎng)絡(luò)、語言網(wǎng)絡(luò)、萬維網(wǎng)等[1].Genio等[2]已經(jīng)證明所有無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)都是稀疏的.因此,通過構(gòu)造方法可以得到對于任意實數(shù)M>0,存在一個無標(biāo)度圖N(t)和一個數(shù)β≥M,使得|E(N(t))|~β·|N(t)|.本文研究k-單圈圖變量的動機來自許多仍待解決的猜想[3],圖的許多來自Graffiti猜想[4]的不變量,以及實際應(yīng)用中需要大量的優(yōu)質(zhì)網(wǎng)絡(luò)模型.

    設(shè)k為非負整數(shù),G是連通圖.如果G中恰好包含k個圈,且這k個圈的任何兩個圈之間沒有公共邊,那么稱圖G為k-單圈圖.特別地,樹是0-單圈圖.k-單圈圖也叫仙人掌圖,仙人掌圖的每個塊是一個圈或是一條路,或者說,仙人掌圖的每條邊都包含在至多一個圈中.如果k-單圈圖G含有不在圈上的邊,則G不是歐拉圖.

    本文考慮沒有自環(huán)和重邊的有限無向圖.文中未定義的術(shù)語均來自文獻[5].對整數(shù)n>m≥0,約定[m,n]={m,m+1,…,n}.在圖G中與頂點u相鄰的點的集合記為N(u),因此,頂點u的度數(shù)degG(u)等于基數(shù)|N(u)|.稱N(u)和N[u]=N(u)∪{u}分別為頂點u的鄰集和閉鄰集.類似地,一個頂點子集S?V(G)的鄰集N(S)是集合V(G)的子集,使得每一個x∈N(S)頂點都與S中的一個頂點相鄰.度數(shù)為1的頂點稱為葉子.符號L(G)表示圖G的葉子集,nd(G)表示G中度為d的頂點的數(shù)目.特別地,nd(G)=0表示G是一個孤立點或者G中沒有度為d的頂點.

    設(shè)P=u1u2…um是圖G的一條路.若degG(u1)≥3,degG(um)≥3,且degG(ui)=2(i∈[2,m-1]),則稱P是一條純路.若degG(u1)≥3,degG(um)=1,且degG(ui)=2(i∈[2,m-1]),則P被稱為懸掛路.類似地,如果一個圈G中的|V(C)|-1個頂點在圖G中的度均為2,則稱它為懸掛圈.本文將用到以下三類連通圖的2個引理:

    圖1 三類連通圖

    上式指明,樹中每一個2度頂點與樹的葉子數(shù)量無關(guān).

    引理2[6-7]設(shè)T是一棵n個頂點的樹,則Diam(T)≤n-n1(T)+1.

    定理1 設(shè)G是一個含有p個點q條邊的連通圖,其中p≥3,q≥2.那么

    (1)

    證明如果連通圖G是樹,則它滿足引理1中的公式,且q=p-1,可得到公式(1).設(shè)連通圖G含圈,取它的某個圈上的一條邊u1u2,給連通圖G添加2個新頂點v1,v2,將頂點vi分別與頂點ui(i=1,2)用邊連接,然后刪去邊u1u2,得到的圖記為G1,得到圖G1的過程稱為減圈運算.不難看到,圖G1是連通的,它的圈數(shù)目比圖G的圈數(shù)目少1,且有

    n1(G1)=n1(G)+2,nd(G1)=nd(G)(d≥3),

    |V(G1)|=p+2,|E(G1)|=q+1.

    若圖G1仍然含有圈,進行上述減圈運算,得到連通圖G2,使得

    n1(G2)=n1(G1)+2=n1(G)+4,nd(G2)=nd(G)(d≥3),

    |V(G2)|=|V(G1)|+2=p+4,|E(G2)|=|E(G1)|+1=q+2.

    如此進行下去,直到連通圖Gk不再含有圈,即它是樹.注意到

    n1(Gk)=n1(G)+2k,nd(Gk)=nd(G)(d≥3),

    |V(Gk)|=p+2k,|E(Gk)|=q+k.

    根據(jù)引理1的公式得

    進一步,有

    由于q=p-1+k,結(jié)論得證.

    根據(jù)平面圖的歐拉公式和定理1的公式(1),可得下面推論:

    推論1 設(shè)φ(H)是連通平面圖H的面數(shù),則H滿足

    (2)

    2 主要結(jié)論及其證明

    k-單圈連通圖G的點路圈圖H為頂點集V(H)中的每一個頂點對應(yīng)G中的一個圈,或者一條懸掛路,或者一條純路,或一個大割點u(割點u使得不連通圖G-u至少包含3個分支).2個頂點X,Y∈V(H)在點路圈圖H中是相鄰的,如果它們對應(yīng)的圈X=Cm,Y=Ct(或者路X=Pm,Y=Pt,或一個圈X=Cm和一條路Y=Pt,或一個割點X=u和一個圈Y=Cm,或一個割點X=u和一條路Y=Pt)在G中總有|V(X)∩V(Y)|=1.圖2給出連通圖Gi的點路圈圖Hi(i=1,2,3).

    圖2 連通圖Gi的點路圈圖Hi(i=1,2,3)

    定理2 設(shè)G是一個連通圖,整數(shù)k≥0,則:

    (ⅰ)G是k-單圈圖的充分必要條件為

    (3)

    (ⅱ)G是k-單圈圖,當(dāng)且僅當(dāng)它的點路圈圖是一棵樹.

    證明(ⅰ) 令ni=ni(G),i=1,2.假設(shè)G是一個k-單圈圖,根據(jù)k-單圈圖的定義,存在邊uivi(i∈[1,k]),使得G-{uivi|i∈[1,k]}是一棵樹.構(gòu)造一棵樹:給圖G添加新的頂點xi,yi(i∈[1,k]),分別用邊連接頂點xi與ui,連接頂點yi與vi;然后刪除邊uivi(i∈[1,k]),所得的圖記為H.顯然,H是一棵樹,且有Δ(H)=Δ(G).注意到

    |V(H)|=|V(G)|+2k,n1(H)=n1+2k,nd(H)=nd(G),d∈[2,Δ(T)].

    根據(jù)引理1,有

    (4)

    這意味著公式(3)成立.

    假設(shè)G滿足公式(3),如果G是樹,使得

    因此,有2=2(1-k)≤0,矛盾.假設(shè)G包含m≥1個圈,用上面的方法可以構(gòu)造一棵樹,使得

    因此,2(1-m)=2(1-k),從而m=k.

    根據(jù)公式(2)和(3),得到下面的結(jié)論:

    定理3 設(shè)G是一個含有n≥3個頂點的k-單圈圖,φ(G)是圖G的面數(shù),則φ(G)=k+1.

    定理4 設(shè)G是一個n≥4個頂點的連通k-單圈圖.對d∈[δ(G),Δ(G)],nd=nd(G),則有k=|E(G)|-n+1以及下列性質(zhì):

    (ⅰ) 2|E(G)|≤3(n-1).

    (ⅲ)n≤2(k-1)+2n1+n2.

    (ⅳ) 若對d∈[2,s]有nd=0,s≥2,則

    sn≤2(k-1)+(s+1)n1+ns+1.

    (5)

    證明(ⅰ) 因為G的生成樹有n-1條邊,則k=|E(G)|-n+1.三角形是最小的圈,從而有

    3k≤|E(G)|=k+(n-1),

    解得

    2k≤n-1,2|E(G)|=2(k+(n-1))≤3(n-1).

    (ⅱ) 利用定理1證明中的減圈運算以及

    由平面圖的性質(zhì)得

    再根據(jù)公式(3),有2(1-k)+(n-n1-n2)≤n1.結(jié)論(ⅲ)的界由圈或者圈的每個頂點都有葉子的k-單圈圖而獲得.

    (ⅳ) 設(shè)對d∈[2,s](s≥2),有nd=0.使用公式(3),可以得到

    S={(vi,mi,vi+1,1)|i∈[1,k-1]},

    將(s-3)個新頂點與S中的每個頂點連接起來,得到圖H.顯然,

    其中d∈[2,s].從而,H是一個k-單圈圖并且滿足不等式(5).

    (1) 若n1(G)=0和|V(H*)|=k成立,H*的每個葉子都至少貢獻兩個G中度為2的頂點,因而得n2(G)≥2n1(H*)+n2(H*).更精確地,因為n1(H*)≥2和n2(H*)≥k成立.則有n2(G)≥k+2.

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