基于ARMA模型的股價短期預測
——以古井貢酒股票為例

李 易

(華東交通大學，江西 南昌 330013)

隨著中國資本市場的發(fā)展與開放,股票市場在金融領域中的地位越來越高。股票價格的波動可以作為衡量一個國家經濟發(fā)展的動態(tài)變量,但是其價格的變動通常對時間這一因素尤其敏感,結合理論背景分析,因為時間是股票價格變動的解釋變量,所以股價的波動可以看作是典型的時間序列數據。在大多數文獻中,研究時間序列所使用的建模方法是自回歸移動平均模型(以下簡稱ARMA)。ARMA模型是一種綜合性模型,其特點使ARMA模型所包含的信息更加全面,所解釋的信息也更加精確，而且該模型處理平穩(wěn)的時間序列或者非平穩(wěn)的時間序列都有較好的效果。因此本文通過建立ARMA模型對古井貢酒的開盤價歷史信息進行擬合,并對其未來三天的開盤價進行預測。

一、ARMA模型簡介及其建模步驟

(一)ARMA模型的背景知識介紹

ARMA在文獻研究中被廣泛應用于對時間序列的分析預測,由于大多數經濟金融數據滿足時間序列的特征,因此該模型尤其適用于研究經濟學問題,是擬合滿足平穩(wěn)性約束的時間序列最經典的模型。ARMA 模型是由 AR 自回歸過程和 MA 移動平均過程組成的自回歸移動平均模型,其基本思想是通過揭示歷史時間序列的運行規(guī)律,對未來的事物發(fā)展進行預測。

在 ARMA(p,q)模型的參數中,p代表自回歸部分的滯后階數,q代表移動平均部分的滯后階數。通常ARMA(p,q)模型的形式可以表示為:

xt=φ0+φ1Xt-1+…+φpXt-p+εt-θ1εt-1-…-θpεt-p

(1)

其中,{εt}是白噪聲序列。AR模型和MA模型都是特殊的ARMA(p,q)模型。當p取值為0時,ARMA(0,q)代表的本質含義就是MA(q);當q取值為0時,ARMA(p,0)代表的本質含義就是AR(p)。但是,如果所要研究的時間序列數據不滿足平穩(wěn)條件的限制,此時便要通過d階差分等方法使其滿足平穩(wěn)條件的約束,之后才能對此序列進行分析與研究。

(二)ARMA模型的定階方法

ARMA模型的定階方法主要是通過觀察自相關圖與偏自相關圖,并且根據其系數的特征顯示去選擇適合的階數,如表1所示。對已經滿足平穩(wěn)性要求的時間序列,可以結合相關理論與該時間序列的樣本自相關函數和樣本偏自相關函數的特征,選擇合適的模型與滯后階數進行參數估計。但是由于樣本具有隨機性,在現實的時間序列建模實踐中情況較為復雜,自相關圖與偏自相關圖的階數可能并不會出現完全符合理論的情形,為了選出一個更加合適的模型,這時便要選取可能的階數建立多個ARMA(p,q)模型,并根據信息準則AIC、SBC、HQ選擇三者統(tǒng)計量最小的模型作為確定模型的階數,構建符合該序列的最優(yōu)擬合模型。

表1 模型特征表

(三)ARMA模型建模步驟

若要深入分析該時間序列數據,首先要確定該時間序列是否滿足平穩(wěn)性條件的約束,因為對于滿足平穩(wěn)性要求的時間序列與不滿足平穩(wěn)性要求的時間序列,所要使用的分析工具是不一樣的,本文利用ARMA模型所針對的時間序列必須滿足平穩(wěn)性要求。對于給定的時間序列進行ARMA模型建模,通常步驟如下:

1.平穩(wěn)性檢驗。對原序列進行平穩(wěn)性檢驗,如果序列不滿足平穩(wěn)性條件,可以通過差分變換或者其他變換方法使該序列滿足時間序列平穩(wěn)性條件的要求。

2.模型的定階。利用軟件計算可以得到描述序列特征的統(tǒng)計量(如自相關系數與偏自相關系數等),之后再通過信息準則等方法確定ARMA模型的滯后階數p和q。

3.參數的估計與檢驗。確定好最優(yōu)模型形式后,通過使用EViews等統(tǒng)計軟件進行非線性最小二乘法或極大似然估計法估計計算模型所含有的未知參數,并檢驗模型參數的t統(tǒng)計量是否滿足臨界值的標準,以及模型本身的合理性。

4.模型的檢驗。檢驗所構建模型的殘差序列是否是白噪聲序列,可用檢驗序列相關的方法檢驗殘差序列的純隨機性,或者觀察殘差序列的自相關圖以及偏自相關圖。

5.模型的預測。利用經過以上步驟擬合出來的模型預測該時間序列在未來的趨勢走向。

二、股票價格預測的實證分析

本文通過Wind數據庫選取了古井貢酒(000596)從2020 年 10 月 26 日至 2021 年 9月 21日的股票交易日開盤價數據,共237個樣本，運用 EViews 10 軟件對此時間序列進行建模分析，并對未來三天股票的開盤價進行預測。

(一)原始數據的平穩(wěn)化處理

因為影響股價的因素錯綜復雜,導致股票價格波動較大,故股票價格的時間序列數據往往不能滿足平穩(wěn)性要求,可能需要借助差分、對數化等方法使該序列滿足平穩(wěn)性要求,以便對數據進行后續(xù)的深入分析。首先,本文通過EViews 10軟件畫出原始序列{Y}的時間序列圖,如圖1所示。由圖1可以看出,古井貢酒股票的開盤價原始數據{Y}在這段期間的長期折線圖趨勢并沒有明顯規(guī)律,短期內波動也比較大,根據折線圖可以大致推斷出該序列數據可能并不滿足平穩(wěn)性條件。

圖1 古井貢酒股票交易日開盤價

為了更加準確地驗證其是否滿足平穩(wěn)性,需要對該序列進行ADF單位根檢驗,由于原始數據并未表現出確定的時間線性趨勢,故檢驗只包含截距項的模型,對該模型進行ADF單位根檢驗，結果如圖2所示。由圖2可以看出，在5%的顯著性水平下,其p值大于0.05,故原始的時間序列數據不滿足平穩(wěn)性條件。

圖2 ADF單位根檢驗

若要充分判斷該時間序列的平穩(wěn)性,還可以對該時間序列數據的樣本自相關圖和樣本偏自相關圖進行觀察,如圖3所示。由圖3可以看出,其相關系數的減弱比較緩慢,因此可以確定該時間序列是非平穩(wěn)的時間序列。

圖3 序列{Y}平穩(wěn)性檢驗結果

對原始數據的時間序列進行一階差分處理之后,利用軟件畫出該差分序列的折線趨勢圖,如圖4所示。由圖4可以看出，差分序列的趨勢明顯比原序列的趨勢更加平緩穩(wěn)定,因此推斷出該序列可能屬于平穩(wěn)的時間序列。

圖4 一階差分序列的時間序列圖

然而僅通過觀察并不能準確判斷差分后的時間序列{SY}的平穩(wěn)性,為了驗證其平穩(wěn)性,分別選擇無截距項無趨勢項、有截距項無趨勢項、有截距項有趨勢項進行ADF單位根檢驗，結果分別如圖5、圖6、圖7所示?？梢钥闯?，其ADF test statistic值分別為-16.324 520、-16.290 650和-16.273 490,p值分別為0.000 0、0.000 0、0.000 0,經分析發(fā)現三種情況的單位根檢驗的p值均小于 0.05,拒絕原假設。因此,需要通過利用最小的AIC、SC、HQ值判斷哪種模型最合適。無截距項無趨勢項的AIC、SC、HQ值分別為6.948 229、6.962 951、6.954 164;有截距項無趨勢項的AIC、SC、HQ值分別為6.956 671、6.986 114、6.968 541;有截距項有趨勢項的AIC、SC、HQ值分別為6.964 013、7.008 178、6.981 818。經過判斷,綜合三個模型的AIC、SC、HQ值會發(fā)現，無截距項無趨勢項模型的AIC、SC、HQ值比較是最小的,因此選擇無截距項無趨勢項的模型。

圖5 無截距項無趨勢項的ADF單位根檢驗

圖6 有截距項無趨勢項的ADF單位根檢驗

圖7 有截距項有趨勢項的ADF單位根檢驗

(二)對模型的識別

一階差分后的時間序列{SY}的樣本自相關圖和樣本的偏自相關圖兩者都沒有截尾特征,因此滿足ARMA建模的定義條件。但如果要獲取準確的滯后階數p和q的值,還需要利用AIC信息準則、SC信息準則和t統(tǒng)計量進行具體判斷，如圖8所示。

圖8 序列{SY}的樣本自相關圖和樣本偏自相關圖

根據以往的實證經驗可以得知,大多數金融與經濟變量的模型滿足p值與q值都≤2的分析模型,由于該序列是一階差分后的時間序列,故I取值為1。因此本文選取模型階數覆蓋p≤2和q≤2的共4種模型進行比較,以判斷最佳的模型階數。這4種模型分別為ARIMA(1,1,1)、 ARIMA(1,1,2)、ARIMA(2,1,1)、ARIMA(2,1,2)。

選擇考察變量為一階差分后的序列數據,考察樣本的范圍為2020年10月26日至2021年9月21日。綜合不同滯后期模型的t統(tǒng)計量與信息準則AIC值、SC值、HQ值等多項檢驗指標,對比模型各個統(tǒng)計量的標準臨界值。經比較得出:ARIMA(2,1,2)模型中AR(1)、AR(2)和MA(1)、MA(2)的系數表現都尤其顯著,并且此模型的AIC值、SC值、HQ值都相對較小,結合信息準則等方法,選擇ARIMA(2,1,2)模型作為該序列的最優(yōu)模型，如圖9所示。

ARIMA(1,1,1)

(三)開盤價序列模型的建立與參數估計

根據以上一系列檢驗判定,選擇 ARIMA(2,1,2)模型作為最佳預測模型,對該模型的各項參數進行估計計算,如圖10所示。根據圖10結果,模型 ARIMA(2,1,2)的各項參數對應的p值全部為0,小于0.05,該模型參數顯著有效。根據參數估計,可以寫出模型的表達式為:

圖10 模型系數圖

Yt=-0.084Yt-1+0.217Yt-2+0.867Yt-3+εt+0.772εt-1+1.031εt-2

(2)

其中{εt}為殘差序列。

(四)開盤價序列模型的殘差檢驗

完成上述參數估計步驟后,最關鍵的步驟就是要對該擬合模型的殘差序列進行檢驗,觀察其是否滿足白噪聲的定義條件,因為只有該模型的殘差序列為白噪聲,才可說明構建的ARMA模型已經把該序列的關聯信息都提取出來了。白噪聲過程的特點在于其純隨機:各個時期的隨機變量沒有相關性,該隨機性說明已經沒有足夠的關聯信息來支撐模型構建。因此，可以把白噪聲序列特殊的性質作為判斷此擬合模型是否構建合理的標準。若發(fā)現該殘差序列各個時期的隨機變量仍具有相關性,代表該殘差序列仍含有相關信息,說明需要繼續(xù)改進構建的ARMA模型;如果殘差序列是白噪聲序列,則說明構建的ARMA模型已經把關聯信息都提取出來了。對殘差序列進行白噪聲檢驗結果如圖11所示。由圖11可以看出，p值對應列所顯示的概率值全部大于0.05,表明不拒絕殘差為純隨機序列的原假設,意味著殘差中不再包含該時間序列的關聯信息。故推斷出所構建的ARIMA(2,1,2)模型可以提取該時間序列數據的全部關聯信息,可以作為模擬古井貢酒股票開盤價發(fā)展規(guī)律的最優(yōu)模型。

圖11 殘差序列的自相關圖和偏自相關圖

(五)對開盤價序列進行預測分析

使用最優(yōu)模型對2020年10月26日至2021年9月21日的數據進行擬合,比較擬合值與輸入的真實值并繪制折線圖，如圖12所示。由圖12可以看出，實際值{Y}與預測值{YF}趨勢高度相似,模擬效果良好。

圖12 序列{Y}和序列{YF}的時間序列圖

利用所構建的ARMA模型對古井貢酒股票的日開盤價進行預測,短期內得到的結果較為精確;但是由于投資者預期、政府出臺的政策以及公司自身所具有的非系統(tǒng)性風險等因素都會干擾股票價格的走勢波動,故長期預測的結果誤差比較大。所以本文只是對股票價格波動做出較短期限內的預測,預測2021年9月22日至2021年9月24日的開盤價,如表2所示。

表2 開盤價與預測價結果

由表2可以看出,使用該模型預測得到的古井貢酒股票2021年9月22日至2021年9月24日的開盤價分別為217.53,215.19,206.68,誤差比分別為0.016 5,0.040 6,0.005 5。不難發(fā)現,預測值和實際值之間的誤差比相對較小。由此也進一步驗證了本文建立的模型是較為準確的,對古井貢酒股票日開盤價的預測相對準確。

三、結語

本文通過應用于時間序列分析的ARMA模型對古井貢酒(000596)股票的開盤價進行實證分析,在此基礎上使用所建立的最優(yōu)ARMA模型對其未來三天的開盤價進行預測。

首先,針對選取的原始數據制作趨勢圖后發(fā)現，該原始數據具有下降的長期趨勢,并在短期內呈現不斷波動的特點。根據趨勢圖的走勢可以大致分析出，該時間序列數據并非一組平穩(wěn)的時間序列數據,故隨后對該數據進行差分處理以使該序列滿足平穩(wěn)性條件的要求。其次,根據一階差分后數據的自相關圖與偏自相關圖,結合信息準則AIC、SC、HQ，t統(tǒng)計量等相關統(tǒng)計量對該模型進行階數與系數的估計確定,并根據最終估計出的相關系數寫出該模型的表達式。再次，通過對該模型的殘差序列進行檢驗,判斷其是否滿足白噪聲序列的性質,從而判斷該模型的建模是否適用于預測未來的股價趨勢。最后,通過該模型對古井貢酒開盤價進行預測并與實際值進行比較,由于預測走勢圖與實際走勢圖的擬合程度非常高,所以該模型在短期內的預測效果優(yōu)良。

綜上所述,ARMA模型確實是分析預測時間序列的一種有效的工具方法,可以將其應用在經濟金融投資領域中,對中小投資者的短期投資活動提供較為科學的參考價值。但是,股票價格的時間序列是非平穩(wěn)的時間序列,因此對其進行差分后可能會損失很多重要信息,而且股票價格的長期趨勢受到外部沖擊的影響較大，如國際趨勢變化、國內政策變化等各種不確定因素都會干擾股票價格的變動，而短期預測受到干擾因素的影響較小。因此ARMA模型只是適用于短期預測,并不能精確擬合股票價格的長期趨勢。要想分析預測變量的長期變化,還需要設計更加精確、細致的模型。