基于蟻群算法的子陣級(jí)自適應(yīng)多波束形成

張忠民，李蔚然

哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001

現(xiàn)代雷達(dá)陣列信號(hào)處理中，可以采用大型陣列獲取雷達(dá)遠(yuǎn)距離作用等高性能要求，在獲得良好的性能同時(shí)，龐大的陣元數(shù)量必然會(huì)導(dǎo)致硬件復(fù)雜度和軟件計(jì)算負(fù)擔(dān)的提高[1]。近些年在雷達(dá)和通信領(lǐng)域的研究中，數(shù)字多通道的成本隨著數(shù)字化技術(shù)的發(fā)展得到大幅降低，數(shù)字多波束形成技術(shù)引起廣泛關(guān)注，雷達(dá)陣列通過形成多個(gè)波束同時(shí)接收來自不同方向的信號(hào)或?qū)崿F(xiàn)不同功能，能夠有效縮短雷達(dá)信號(hào)搜索周期，提高接收數(shù)據(jù)率[2?3]。子陣級(jí)的數(shù)字波束形成技術(shù)通過選擇合適的算法，確定子陣劃分方案，將每個(gè)子陣視為1個(gè)數(shù)字通道，在子陣級(jí)進(jìn)行自適應(yīng)陣列處理形成多波束，通過這一思想在減小整體計(jì)算量的同時(shí)加快了收斂速度，也降低了系統(tǒng)硬件成本和軟件復(fù)雜度，有利于工程實(shí)現(xiàn)和調(diào)試[4?5]。選擇合適的算法進(jìn)行子陣劃分后，結(jié)合子陣級(jí)的自適應(yīng)波束形成，可以實(shí)現(xiàn)波束方向圖逼近最優(yōu)陣列處理的優(yōu)化效果[6]。

在常規(guī)的子陣劃分中，可以將陣列均勻劃分為陣元個(gè)數(shù)和排列方案相同的多個(gè)子陣，自適應(yīng)處理的維數(shù)從陣元級(jí)下降到子陣級(jí)，加快了算法收斂速度。但是，子陣級(jí)的數(shù)字波束形成會(huì)顯著增加方向圖的峰值旁瓣電平，影響靜態(tài)方向圖性能，而且子陣數(shù)量的增多會(huì)導(dǎo)致陣列相位中心距離增大，從而造成嚴(yán)重的柵瓣，影響陣列天線方向圖的性能。另外，子陣中包含的陣元數(shù)量也會(huì)限制天線波束的掃描范圍。因此，子陣數(shù)量以及子陣劃分結(jié)構(gòu)需要在軟件計(jì)算復(fù)雜度和波束方向圖期望性能之間折中，研究陣列的子陣劃分優(yōu)化以及自適應(yīng)波束形成具有重大意義。

針對(duì)子陣級(jí)波束形成中的柵瓣和高副瓣問題，采用重疊子陣、規(guī)則不重疊子陣和不規(guī)則不重疊子陣等子陣結(jié)構(gòu)，可以消除掃描中的量化瓣[7]，通過某一有效算法解決子陣劃分方案，在子陣劃分確定情況下，按照期望方向圖優(yōu)化目標(biāo)求解最優(yōu)權(quán)即可得到最優(yōu)波束性能。Nickel[8?9]提出了基于錐削函數(shù)量化的子陣結(jié)構(gòu)劃分原則，確定子陣結(jié)構(gòu)后求解子陣級(jí)最優(yōu)加權(quán)，并對(duì)子陣級(jí)的信號(hào)處理進(jìn)行深入研究。Manica等[10]對(duì)目標(biāo)函數(shù)及子陣劃分進(jìn)行分析，基于激勵(lì)匹配準(zhǔn)則，提出了鄰接劃分方法（contiguous partition method，CPM），能夠高效求解最優(yōu)子陣劃分問題?；谌后w智能優(yōu)化算法，Wang[11]利用遺傳算法提出了地震臺(tái)陣列的子陣劃分方案，高效搜索求解子陣數(shù)量，與陣元級(jí)波束形成相比得到了更優(yōu)的波束性能，并且基于最優(yōu)子陣結(jié)構(gòu)的波束形成算法可以使信噪比 （ signal-to-noise ratio, SNR） 進(jìn) 一 步 增 強(qiáng) 。Xiong[12]、Yang等[13]基于非重疊的子陣結(jié)構(gòu)，將子陣劃分問題作為聚類問題，利用聚類算法求解子陣劃分方案。鄭小雨等[14]根據(jù)子陣劃分方案和子陣級(jí)加權(quán)矢量對(duì)陣列波束方向圖的性能影響，基于粒子群算法將子陣劃分方式和子陣級(jí)權(quán)矢量進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。隨著近些年不斷深入的研究，基于子陣級(jí)的波束優(yōu)化方法已經(jīng)擴(kuò)展到了面陣的優(yōu)化[15]，乃至多波束的優(yōu)化[16]。

本文構(gòu)建了子陣級(jí)自適應(yīng)陣列模型，研究了蟻群優(yōu)化算法的基本原理及實(shí)現(xiàn)過程，利用該算法搜索確定子陣劃分位置，以波束方向圖的峰值旁瓣電平為優(yōu)化目標(biāo)得到最優(yōu)子陣劃分方案；然后在子陣級(jí)進(jìn)行自適應(yīng)處理得到多波束方向圖；最后，將本算法獲得方向圖的波束性能與陣元級(jí)和均勻劃分方式下的子陣級(jí)多波束方向圖性能進(jìn)行了仿真對(duì)比分析。與現(xiàn)存研究相比，將最優(yōu)子陣劃分方案與多波束形成相結(jié)合，解決了大型陣列多波束形成問題中硬件復(fù)雜度高等問題，為天線系統(tǒng)的工程實(shí)現(xiàn)提供了一種可行的方法。

1 子陣級(jí)自適應(yīng)陣列模型

1.1 LCMV 自適應(yīng)多波束形成

在陣列信號(hào)處理領(lǐng)域，空域?yàn)V波需要在期望信號(hào)和干擾信號(hào)的方向上分別形成主瓣波束和零陷，實(shí)現(xiàn)接收期望信號(hào)的同時(shí)抑制干擾信號(hào)，線性約束最小方差準(zhǔn)則廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)多波束形成[17]，對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行處理后自適應(yīng)地調(diào)整陣列加權(quán)矢量，從而使波束圖實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)地調(diào)整多個(gè)波束指向和零陷方向。

假設(shè)天線陣列為均勻線陣，陣元數(shù)量為N，接收信號(hào)表示為x(n)(n=1,2,···,N)，陣元加權(quán)矢量表示為w=[w1,w2,···,wN]，波束形成的本質(zhì)可以理解為1個(gè)相加器，那么空域?yàn)V波器輸出可以表示為N個(gè)陣元輸出的線性組合[18]：

則波束形成器的平均輸出功率為

式中R=E[x(n)xH(n)]為接收信號(hào)的空間相關(guān)矩陣。

利用LCMV準(zhǔn)則形成多波束方向圖能夠?qū)崿F(xiàn)同 時(shí)在L個(gè) 期 望 信號(hào)方向 θr,l(l=1,2,···,L)形 成對(duì)應(yīng)的多個(gè)波束，并在預(yù)先已知的P個(gè)干擾信號(hào)方向θc,p(p=1,2,···,P)形成零陷，抑制干擾。LCMV算法的原理就是在滿足期望方向信號(hào)無失真通過空域?yàn)V波器的條件下，計(jì)算使輸出信號(hào)的平均功率P(θ)最小的加權(quán)矢量w，可以表示為如下數(shù)學(xué)形式：

式 中 ：C=[a(θr,1),a(θr,2),···,a(θr,L),a(θc,1),a(θc,2),···,a(θc,P)]，為由L+P個(gè)導(dǎo)向矢量組成的集合，其中a(θr,l)和a(θc,p)分別為期望信號(hào)方向 θr,l和干擾信號(hào)方向 θc,p的 導(dǎo)向矢量；f=[1,1,···,1,0,0,···,0]T，為約束響應(yīng)向量。對(duì)式(1)進(jìn)行求解，即可得到LCMV波束形成器的最優(yōu)權(quán)向量：

應(yīng)用上述算法能夠?qū)崿F(xiàn)在多個(gè)方向形成波束，接收來自期望方向 θr,l的多個(gè)信號(hào)，同時(shí)形成零陷，抑制來自 θc,p方向的干擾。

1.2 子陣級(jí)自適應(yīng)陣列處理

在大型陣列中采用陣元級(jí)的完全自適應(yīng)波束形成，硬件設(shè)備量和軟件運(yùn)算量很大，同時(shí)會(huì)影響算法的收斂速度。為解決這一問題，多采用自適應(yīng)陣列降維的處理方式，子陣級(jí)加權(quán)是降維自適應(yīng)處理的主要方式[19]。子陣級(jí)自適應(yīng)陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 子陣級(jí)自適應(yīng)陣列結(jié)構(gòu)示意

基于合適的算法，將陣列的N個(gè)陣元?jiǎng)澐譃镸個(gè)子陣，以子陣為單位計(jì)算自適應(yīng)權(quán)值進(jìn)行多波束形成。為了設(shè)計(jì)最優(yōu)子陣劃分方案，利用子陣變換矩陣表示法，將子陣結(jié)構(gòu)抽象為數(shù)學(xué)模型，陣元級(jí)的幅度加權(quán)通常由衰減器提供，表示為wele=diag(wele_n)n=1,2,···,N，相位加權(quán)通常由移相器提 供 ， 表 示 為用一個(gè)N×M維的子陣變換矩陣T表示子陣劃分：

定義T0為子陣形成矩陣，它是一個(gè)N×M維的整數(shù)矩陣，可以表示為

矩陣中元素值只取0或1，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)趇個(gè)陣元被劃分到第j個(gè)子陣時(shí)，有子陣形成系數(shù)T0[i,j]=1，否則T0[i,j]=0。

基于以上的子陣劃分，子陣級(jí)的接收信號(hào)可以表示為

式中m=1,2,···,M，約束矩陣可以表示為

則子陣級(jí)接收信號(hào)的空間相關(guān)矩陣可以表示為

子陣級(jí)的加權(quán)可以對(duì)干擾信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)抑制， 應(yīng)用1.1節(jié)所研究的LCMV準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算，可以推導(dǎo)出子陣級(jí)自適應(yīng)加權(quán)向量：

2 基于蟻群優(yōu)化的子陣劃分算法

2.1 基本蟻群算法及其流程

蟻群優(yōu)化（ant colony optimization, ACO）是一種基于群體的啟發(fā)式隨機(jī)搜索算法，能夠通過模擬螞蟻種群的尋徑行為完成搜索。在行進(jìn)路徑中，螞蟻能夠留下并感知一種信息素用于信息傳遞，并依據(jù)此選擇下一目的地，路徑上的信息素會(huì)隨著經(jīng)過螞蟻數(shù)量的增多而增多，這一優(yōu)質(zhì)路徑被其他螞蟻選擇的概率就越高[20]。蟻群算法是一種正反饋算法，具有全局搜索能力，這是由于其搜索機(jī)制是在問題解空間的多個(gè)點(diǎn)同時(shí)且獨(dú)立地進(jìn)行搜索，有效提高了算法的魯棒性和可靠性。

基本蟻群算法的流程如下：首先進(jìn)行初始化，假設(shè)有K只螞蟻，通過在S座城市中隨機(jī)選擇確定每只螞蟻的禁忌表tabu中第1個(gè)元素， 在t時(shí)刻，城市i到 城市j路徑上的信息素表示為 τij(t)，各路徑上的初始信息素均設(shè)為 τij(0)=c（c為較小常數(shù)）。路徑上的信息素隨著螞蟻的經(jīng)過累積增多，影響每只螞蟻選擇下一目的地的概率，在時(shí)刻t，螞蟻k(k=1,2,···,K)從城市i選 擇到城市j的概率為

式中： ηij(t)為啟發(fā)因子，表示t時(shí)刻螞蟻k從城市i到城市j的期望程度；α和 β為按照相對(duì)重要程度確定的加權(quán)因子。螞蟻k允許選擇的下一城市集合用Jk(i)={1,2,···,S}?tabuk表示，禁忌表 ta buk記錄了螞蟻k走過的城市，當(dāng) ta buk中記錄了所有城市，即表示螞蟻k已經(jīng)完成了一次周游，此時(shí)螞蟻k的路徑便是一個(gè)可行解。

當(dāng)所有螞蟻完成1次周游后，更新信息素：

式中： 1 ?ρ(0<ρ<1)表示在蒸發(fā)機(jī)制下信息素的持久性；當(dāng)螞蟻k從城市i轉(zhuǎn) 移到城市j時(shí)， ? τij表示其本次遺留的信息素。

式中：Lk為螞蟻k經(jīng)歷的城市間距離，Q為信息素的增強(qiáng)因子。

2.2 基于蟻群算法的子陣劃分方案

陣列的子陣劃分方案屬于1個(gè)組合優(yōu)化問題，可以用蟻群優(yōu)化算法進(jìn)行高效求解。基于蟻群優(yōu)化算法搜索子陣劃分點(diǎn)，尋找滿足最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的子陣劃分結(jié)構(gòu)。為了減少算法搜索的數(shù)據(jù)量，假設(shè)將1個(gè)N元的均勻直線陣列劃分為M個(gè)子陣，考慮以中心為原點(diǎn)對(duì)稱的子陣結(jié)構(gòu)，利用蟻群算法對(duì)陣列的一半進(jìn)行劃分，得到優(yōu)化的子陣結(jié)構(gòu)后使陣列的另外一半保持對(duì)稱，減少搜索量和計(jì)算時(shí)間。

對(duì)N/2個(gè)陣元構(gòu)成的半個(gè)陣列進(jìn)行子陣劃分，構(gòu)建問題解空間如圖2所示，將各個(gè)陣元的間隔，即備選分隔點(diǎn)記為 1,2,···,N/2?1，作為解空間的行標(biāo)，將N/2?1個(gè)備選分隔點(diǎn)重復(fù)排列M/2?1列作為解空間的級(jí)數(shù)，那么從M/2?1級(jí)中各選擇一個(gè)備選分隔點(diǎn)，即可構(gòu)成解空間的1個(gè)解，從而構(gòu)建出可行的目標(biāo)解空間，利用蟻群優(yōu)化算法即可搜索出該解空間的最優(yōu)解。

圖2 解空間示意

基于蟻群算法的子陣劃分方案步驟如下：

1）設(shè)置最大迭代次數(shù)Imax， 令I(lǐng)=1并進(jìn)行算法參數(shù)的初始化。

2）將螞蟻全部隨機(jī)放置在解空間矩陣第1級(jí)（第1列）的N/2?1個(gè)備選分隔點(diǎn)上。

3）每只螞蟻基于轉(zhuǎn)移概率pmn選擇下一級(jí)的分隔點(diǎn)，走遍M/2?1個(gè)分隔點(diǎn)的同時(shí)保證在同一路徑中不選擇重復(fù)的分隔點(diǎn)即為完成一次周游。螞蟻選擇下一分割點(diǎn)的概率與點(diǎn)間路徑長度無關(guān)，當(dāng)螞蟻在第m級(jí)時(shí)，其選擇第n個(gè)分隔點(diǎn)的轉(zhuǎn)移概率為

4）記錄每只螞蟻在每一級(jí)中選擇的分隔點(diǎn)，并將每一級(jí)中分隔點(diǎn)從小到大排序，即可通過相鄰分隔點(diǎn)相減得到每個(gè)子陣的陣元數(shù)，再根據(jù)陣列的對(duì)稱關(guān)系求出N陣元?jiǎng)澐譃镸個(gè)子陣的劃分結(jié)果。然后，計(jì)算每一級(jí)子陣劃分方案對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)并搜索記錄使目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最優(yōu)的子陣劃分方案。最后，對(duì)每只螞蟻遺留在路徑的信息素進(jìn)行計(jì)算，即

式中：Q為信息素的增強(qiáng)因子，ρ為信息素的揮發(fā)因子；fk為螞蟻k所選路徑對(duì)應(yīng)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，根據(jù)本文的研究目的，選擇波束方向圖的峰值旁瓣電平值作為優(yōu)化目標(biāo)；α為信息素釋放與目標(biāo)函數(shù)值的關(guān)聯(lián)性系數(shù)。

5）令I(lǐng)=I+1，當(dāng)I達(dá)到最大值Imax時(shí)，停止迭代并輸出最優(yōu)方案及目標(biāo)函數(shù)值，否則清空解空間禁忌表，跳轉(zhuǎn)步驟2。

蟻群子陣劃分程序結(jié)構(gòu)流程如圖3所示。

圖3 蟻群子陣劃分程序結(jié)構(gòu)流程

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證所提算法的有效性。做如下MATLAB仿真，對(duì)陣列波束方向圖和最高旁瓣性能進(jìn)行計(jì)算和觀察。設(shè)天線陣列結(jié)構(gòu)為均勻直線陣列，分別基于32元和128元的全向天線陣列進(jìn)行仿真，陣元間距d=λ/2，陣列被劃分成8個(gè)子陣。假設(shè)接收信號(hào)均為窄帶信號(hào)，通道噪聲為窄帶高斯白噪聲，信噪比為 0 dB，干噪比為 50 dB，信號(hào)、干擾與噪聲間相互獨(dú)立，期望信號(hào)方向分別為?30°、0°、20°，干擾信號(hào)方向?yàn)?60°。根據(jù)蟻群子陣劃分程序結(jié)構(gòu)流程，將優(yōu)化參數(shù)設(shè)置如下：設(shè)螞蟻個(gè)數(shù)為50，最大迭代次數(shù)為100，信息素增加強(qiáng)度系數(shù)為2，信息素蒸發(fā)系數(shù) ρ =0.6，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為波束方向圖的峰值旁瓣電平，信息素釋放與目標(biāo)函數(shù)值的重要程度參數(shù)為7。

子陣級(jí)自適應(yīng)多波束形成采用LCMV算法計(jì)算出子陣的對(duì)應(yīng)權(quán)值，32元與128元陣列的最優(yōu)子陣劃分結(jié)果及子陣對(duì)應(yīng)加權(quán)矢量由表1和表2給出。

表1 32 元陣列子陣劃分及 LCMV 自適應(yīng)權(quán)值

表2 128 元陣列子陣劃分及 LCMV 自適應(yīng)權(quán)值

為了驗(yàn)證算法有效性，仿真結(jié)果選自20次獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn)中的一組。圖4（a）和 4（b）分別為32元與128元陣列條件下的蟻群算法的適應(yīng)度進(jìn)化曲線，顯示了多波束方向圖的峰值旁瓣電平隨迭代次數(shù)增多的變化關(guān)系。圖5（a）和5（b）分別為32元與128元陣列條件下基于蟻群算法的子陣級(jí)LCMV自適應(yīng)多波束形成陣列方向圖，并將其與均勻子陣劃分方式下的子陣級(jí)自適應(yīng)多波束形成以及陣元級(jí)自適應(yīng)多波束形成的陣列方向圖進(jìn)行對(duì)比。

圖4 適應(yīng)度進(jìn)化曲線

圖5 自適應(yīng)多波束方向圖

根據(jù)自適應(yīng)多波束方向圖可以看出，本文提出的方法在優(yōu)化過程中充分利用了子陣劃分的自由度，圖4(a)顯示32元陣列在10次迭代內(nèi)達(dá)到收斂，使方向圖峰值旁瓣電平降低到?17.626 4 dB，圖4(b)顯示128元的大型陣列中僅用不足50 次迭代使峰值旁瓣電平降低到?20.941 5 dB，縮短了陣列設(shè)計(jì)周期。經(jīng)過蟻群算法優(yōu)化的子陣級(jí)自適應(yīng)波束方向圖波束主副瓣性能良好，32元陣列方向圖峰值旁瓣較陣元級(jí)自適應(yīng)多波束形成降低了5.34 dB，較均勻劃分子陣級(jí)自適應(yīng)多波束形成降低了8.90 dB，128元的大型陣列中峰值旁瓣較陣元級(jí)自適應(yīng)多波束形成降低了8.58 dB，較均勻劃分子陣級(jí)自適應(yīng)多波束形成降低了6.88 dB，同時(shí)，本算法形成的方向圖無柵瓣出現(xiàn)且對(duì)整體旁瓣抑制更加有效，在干擾方向形成了顯著低的零陷。

仿真結(jié)果證明本算法在大型陣列中能體現(xiàn)出更明顯優(yōu)勢，形成的多波束方向圖在保證波束性能的同時(shí)，相比陣元級(jí)自適應(yīng)多波束形成，將數(shù)字通道數(shù)減少了93%，不僅降低了硬件成本，更降低了系統(tǒng)的復(fù)雜度，使得整個(gè)系統(tǒng)易于調(diào)試和控制。

4 結(jié)論

針對(duì)天線陣列的子陣劃分問題，本文基于蟻群優(yōu)化聚類算法的理論基礎(chǔ)，提出子陣劃分方案，利用子陣級(jí)加權(quán)自適應(yīng)形成性能優(yōu)良的多波束方向圖。對(duì)于大型陣列，相比陣元級(jí)波束形成，能夠在保證波束性能的同時(shí)，大大減少了數(shù)字通道數(shù)，降低天線陣列的系統(tǒng)的復(fù)雜度，節(jié)約硬件成本，使得整個(gè)系統(tǒng)易于調(diào)試和控制；相比均勻劃分的子陣級(jí)多波束形成，對(duì)旁瓣抑制更加有效且無明顯柵瓣。

本文所提出子陣劃分方案與子陣級(jí)自適應(yīng)加權(quán)之間的聯(lián)系具有普適性，子陣聚類劃分的思想可以擴(kuò)展到其他天線陣列結(jié)構(gòu)，對(duì)大型雷達(dá)陣列的排布設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值，對(duì)實(shí)踐工程類問題具有一定的理論指導(dǎo)意義。