非整數(shù)極距次級雙邊直線感應(yīng)電機推力特性計算

劉慧娟,張 千,宋騰飛,張振洋

(北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，北京 100044)

長初級雙邊直線感應(yīng)電機(Double-sided Linear Induction Motor，DLIM)的次級質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高，適用于航母艦載機電磁發(fā)射、無人機彈射、碰撞試驗系統(tǒng)等短距離大加速度的應(yīng)用領(lǐng)域[1-2].

針對大推力電磁彈射用長初級雙邊直線感應(yīng)電機，文獻[3-4]提出了多定子共用同一次級的電機結(jié)構(gòu)，并分析了定子之間的耦合作用.文獻[5]分析的十二相長初級雙邊直線感應(yīng)電機，相較于多定子電機，降低了電機的損耗，提高了效率，并解決了彈射系統(tǒng)中電力電子器件容量和系統(tǒng)冗余等關(guān)鍵問題.文獻[6]提出的發(fā)卡式全填充繞組及開槽次級結(jié)構(gòu)提升了長初級DLIM的功率密度，減小了推力波動.文獻[7]對比了柵格次級和平板次級電機的性能，得出采用柵格次級能有效規(guī)范橫向氣隙磁場，提高電機的力功比[7].求解直線感應(yīng)電機電磁性能、對電機性能優(yōu)化設(shè)計主要采用有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)和解析計算兩種方法[8-9].其中等效電路是解析計算的主要方法[3,5,10]，能直觀反映電機的阻抗參數(shù)[11].對長初級直線感應(yīng)電機的研究，次級長通常為整數(shù)極距，且以初級作為運動參考坐標(biāo)系建立其矢量磁位方程[12-15]，求解等效電路參數(shù)并計算其性能.采用初級作為運動參考系雖能有效地反映電機的穩(wěn)態(tài)推力性能，由于沒有考慮邊界條件隨次級運動的產(chǎn)生變化，導(dǎo)致解析計算求解的推力波動頻率主要為兩倍電源頻率，與實際為兩倍滑差頻率不符[16-17]，且計算電機推力忽略了后退行波磁場的影響[16].文獻[18]通過解析計算說明了后退行波磁場在調(diào)速范圍內(nèi)對氣隙磁場以及推力特性的影響.

與短初級直線電機結(jié)構(gòu)不同，長初級雙邊直線感應(yīng)電機的次級為長度有限的金屬板，因此其長度可為非整數(shù)極距的任意值.然而，次級的長度對電機推力性能的影響，鮮有學(xué)者關(guān)注.長初級雙邊直線感應(yīng)電機的次級長為非整數(shù)極距時，正常行波磁場產(chǎn)生的電磁推力還包含一定幅值的推力波動.因此，為考慮次級的長度對長初級雙邊直線感應(yīng)電機穩(wěn)態(tài)推力以及推力波動的影響，以長初級DLIM的次級為運動參考系建立求解模型，基于文獻[18]，本文作者首先推導(dǎo)了恒流源供電時非整數(shù)極距次級DLIM的氣隙磁場、次級電密的實數(shù)域表達式，并分析氣隙行波磁場和次級電密的分布特點.其次，求解了氣隙磁場分量和次級電密分量兩兩相互作用產(chǎn)生的電磁推力以及其波動的表達式.計算了各電磁推力分量的特性曲線，定量分析了由端部效應(yīng)產(chǎn)生的推力對合成電磁推力的作用.最后，通過有限元電機模型計算的結(jié)果驗證解析方法求解的電磁推力表達式的正確性.

1 氣隙磁密

1.1 氣隙磁通密度表達式

非整數(shù)極距次級DLIM截面如圖1所示，圖1中，L1為每段初級長度，L2為次級長度.根據(jù)假設(shè)條件[16]建立的以次級板為運動坐標(biāo)系的電機數(shù)學(xué)模型如圖2所示，模型由初、次級耦合區(qū)Ⅰ，無次級的非耦合區(qū)Ⅱ和Ⅲ組成.

圖1 非整數(shù)極距次級DLIM橫截面示意圖Fig.1 Cross section of long primary DLIM with secondary of non-integral pole pitch length

圖2 非整數(shù)極距次級電機數(shù)學(xué)模型Fig.2 Mathematical model of DLIM with secondary of non-integral pole pitch length

根據(jù)麥克斯韋方程組[21]，建立氣隙磁場微分方程，并帶入相應(yīng)邊界條件，求得耦合區(qū)域0

(1)

(2)

式中：s為滑差率；ω為電源角頻率；μ0為真空磁導(dǎo)率；δ為等效電磁氣隙長度；m1為相數(shù)；τ為極距；σs為次級導(dǎo)體面電導(dǎo)率；J1為初級電流層密度；G為電機的品質(zhì)因數(shù).

非整數(shù)極距次級DLIM耦合區(qū)I中的氣隙磁場與整數(shù)極距次級電機的磁場相似[18]，其中B1y1為正常行波磁場，B1y2為前進行波磁場，B1y3為后退行波磁場.不同的是，整數(shù)極距次級長為2pτ，極對數(shù)p為整數(shù)，后退磁場B1y3相位中kL2=2pπ，因而可忽略不計.

非耦合區(qū)域Ⅱ、Ⅲ中氣隙磁場與次級長無關(guān)，其實數(shù)域表達式為

(3)

1.2 氣隙磁場分布

以表1中電機參數(shù)為例，分析非整數(shù)極距次級電機的氣隙磁場分布特征以及力特性.

表1 長初級雙邊直線感應(yīng)電機參數(shù)

耦合區(qū)Ⅰ以及次級兩端非耦合區(qū)Ⅱ、Ⅲ的氣隙磁通密度分布如圖3所示，端部效應(yīng)導(dǎo)致耦合區(qū)域氣隙磁場在縱向存在畸變，氣隙磁場的端部效應(yīng)分量集中在次級兩端一對極距范圍內(nèi).

圖3 氣隙磁場分布Fig.3 Distribution of air gap flux density

不同滑差率時,合成氣隙磁場幅值包絡(luò)線如圖4所示，圖中0≤x≤0.48 m為初、次級耦合區(qū)域.耦合區(qū)內(nèi)磁通密度幅值隨滑差增大而減小，由于非耦合區(qū)域存在激勵，次級兩端的磁通密度幅值接近空載氣隙磁通密度幅值.x<0 m以及x>0.48 m的非耦合區(qū)內(nèi)氣隙磁通密度幅值與滑差大小無關(guān).

由于氣隙磁通密度中僅B1y3的相位與次級長度相關(guān)，因此次級長僅影響合成氣隙磁場出端相位，而不影響其幅值.與文獻[18]對比分析表明，非整數(shù)極距次級DLIM與常規(guī)整數(shù)極距次級DLIM在耦合區(qū)內(nèi)的氣隙磁通密度的分布規(guī)律一致.

圖4 合成氣隙磁通密度包絡(luò)線Fig.4 Envelopes of air gap flux density

2 次級電密

2.1 次級電密表達式

根據(jù)建立的磁場微分方程求得次級電密實數(shù)域表達式為

(4)

次級電密由正常分量j21、前進分量j22和后退分量j23組成.前進電密分量和后退電密分量的衰減時間常數(shù)均為1/α.

2.2 次級電密分布

根據(jù)式(4)可得次級電密的時間、空間分布如圖5所示.次級電密為時間的正弦函數(shù)，空間上由于存在端部效應(yīng)，在次級的出端和入端一對極距范圍內(nèi)存在較顯著的畸變.

圖5 次級電密分布Fig.5 Secondary current density distribution

滑差變化時次級電密幅值沿次級運動方向(縱向)分布如圖6(a)所示，滑差s=0時，次級與初級磁場無相對運動，次級板中電密為0 A/m2.滑差率較小時，次級電密的后退分量增加出端電密幅值，前進分量減小了入端電密幅值，由于衰減時間常數(shù)1/α較大，前進和后退電密分量衰減較慢.滑差較大時，端部效應(yīng)同時增大出端和入端電密幅值，此時衰減時間常數(shù)1/α較小，次級電密較快衰減至正常電密分量幅值；電機堵動，即s=1時，次級電密最大幅值在次級出端，其值超過正常分量的幅值兩倍以上.

滑差率為0.2時，不同長度次級的電密縱向分布見圖6(b).由于次級電密的正常分量幅值為恒定值，前進、后退分量幅值在次級兩端一對極距范圍內(nèi)均能衰減至較小值，而衰減時間常數(shù)1/α與次級長度無關(guān)，因此，不同長度次級電機的電密分布趨勢是一致的.

圖6 次級電密縱向分布Fig.6 Longitudinal distribution of secondary current density

3 電磁推力

非整數(shù)極距次級的雙邊直線感應(yīng)電機的電磁推力為

(5)

式中：2a為初級鐵心寬度.推力表達式中除了含有恒定的推力Fem外，還含有不產(chǎn)生時間平均推力波動分量Fe.

3.1 穩(wěn)態(tài)電磁推力表達式

求解式(5)可得，考慮縱向端部效應(yīng)前進行波磁場和后退行波磁場所產(chǎn)生的總穩(wěn)態(tài)電磁推力可表示為

(6)

其中，基本行波磁場與正常電密、前進電密、后退電密分量產(chǎn)生的電磁推力Fem11、Fem12、Fem13分別為

(7)

f11為正常行波推力密度，正常行波推力Fem11與次級板的長度成正比.

前進行波磁場與正常電密、前進電密、后退電密分量產(chǎn)生的電磁推力Fem21、Fem22、Fem23分別為

(8)

后退行波磁場與正常電密、前進電密、后退電密分量產(chǎn)生的電磁推力Fem31、Fem32、Fem33分別為

(9)

式中

(10)

推力分量Fem12、Fem13、Fem21、Fem31中包含衰減系數(shù)e-α的項的數(shù)值接近0N，可忽略不計.所有推力分量均可由正常行波推力密度表示.

除正常行波推力Fem11外，各推力分量之和為端部效應(yīng)力Fend.

Fend=Fem12+Fem13+Fem21+Fem22+

Fem23+Fem31+Fem32+Fem33

(11)

滑差率s≠0時，端部效應(yīng)力不為0，表明縱向端部效應(yīng)影響電機的輸出推力.

3.2 穩(wěn)態(tài)推力特性分布

由式(7)～(11)可得，次級長度為0.48 m時，端部效應(yīng)力及各分量、正常行波電磁推力Fem11以及輸出電磁推力Fem等電磁力特性曲線如圖7所示.

正常行波磁場與次級電密的前進、后退分量產(chǎn)生的電磁力Fem12、Fem13與正常行波推力Fem11方向相反，為減弱正常行波推力的制動力.由衰減方向相反的氣隙磁場和次級電密分量積分得到的電磁力分量Fem23、Fem32的數(shù)值遠(yuǎn)小于其他電磁力分量，約等于0N，對合力貢獻可忽略不計.Fem21的方向與k-α有關(guān)，α

因此，電機的穩(wěn)態(tài)電磁推力求解可簡化為

Fem=Fem11+Fem12+Fem13+Fem21+Fem31

(12)

端部效應(yīng)力Fend可簡化為

Fend=Fem12+Fem13+Fem21+Fem31

(13)

隨滑差增大，端部效應(yīng)力Fend，先增大后減小，主要表現(xiàn)為阻礙次級運動的制動力.

圖7 電磁力特性曲線Fig.7 Characteristic curves of electromagnetic force components

保持磁動勢幅值和次級長度不變，極距變化時，可知次級長度不恒為整數(shù)極距.不同極距電機的推力特性曲線如圖8所示.

圖8 不同極距電機的推力特性曲線Fig.8 Thrust characteristic curves of motors with different pole pitch

由于初級電流層密度與極距成反比[17-18]，系數(shù)k與極距成反比，等效電磁氣隙隨極距增大有較小幅度減小，由式(7)可知，對推力起主導(dǎo)作用的正常行波推力最大值與極距成反比，正常行波推力與滑差以及極距的關(guān)系為

(14)

因此推力特性隨極距變大而變軟，最大電磁推力隨著極距增大而減小.

3.3 推力波動表達式

求解式(5)可得，推力波動Fe包含的9種分量為

(15)

基本行波磁場與正常、前進、后退電密分量產(chǎn)生的推力波動Fe11、Fe12、Fe13分別為

(16)

前進行波磁場與正常、前進、后退電密分量產(chǎn)生的推力波動Fe21、Fe12、Fe23分別為

(17)

后退行波磁場與正常、前進、后退電密分量產(chǎn)生的推力波動Fe31、Fe12、Fe23分別為

(18)

氣隙磁場分量與次級電密分量兩兩相互作用產(chǎn)生的推力波動分量可使用正常行波推力密度f11表示，推力波動頻率均為兩倍滑差頻率，與短初級雙邊直線感應(yīng)電機推力波動頻率為兩倍頻不同[17].

3.4 推力波動

根據(jù)式(16)～(18)繪制的推力波動的瞬時波形如圖9所示.當(dāng)次級長度為非整數(shù)極距時，正常行波磁場與次級電密正常分量作用產(chǎn)生的正常行波推力波動Fe11不為0，即正常行波磁場也產(chǎn)生一定幅值推力波動，而當(dāng)次級長度為整數(shù)極距時，該項值為0N.波動分量中Fe23和Fe32分別由衰減方向相反的前進行波磁場與電密后退分量、后退行波磁場與電密前進分量相互作用產(chǎn)生，二者的波動幅值近似為0N，對總推力波動基本無影響.

正常和后退行波磁場產(chǎn)生的推力波動Fe11+Fe12+Fe13、Fe31+Fe33構(gòu)成了總推力波動Fe主要部分，前進行波磁場產(chǎn)生的波動幅值較小.各推力波動分量中，由正常行波磁場與電密后退分量產(chǎn)生波動Fe13以及后退行波磁場與電密正常分量產(chǎn)生波動Fe31幅值較大，是推力波動主要來源.

圖9 推力波動的瞬時波形Fig.9 Transient waveform of thrust ripple

保持磁動勢幅值和次級長度不變，極距變化時，推力波動隨極距增大呈現(xiàn)發(fā)散上升趨勢，如圖10所示.次級長度不變時，減小極距，極數(shù)相應(yīng)增多，可減小推力波動.減小極距雖然能降低推力波動，但過小的極距會給電機制造帶來困難，因此極距的選擇需要綜合考慮各方面約束條件.

圖10 不同極距電機的推力波動Fig.10 Thrust ripple of motors varies with pole pitch

4 推力特性比較驗證

通過FEM瞬態(tài)場仿真模型計算了非整數(shù)極距次級雙邊直線感應(yīng)電機的電磁推力和推力波動特性曲線，以驗證解析表達式的準(zhǔn)確性.

4.1 計算電磁推力比較

次級長度分別為整數(shù)極距528 mm和非整數(shù)極距480 mm時，通過解析表達式計算的推力特性曲線與有限元計算的結(jié)果如圖11(a)所示，解析法與有限元法計算結(jié)果吻合.有限元仿真計算的推力證實了推導(dǎo)的電磁推力解析表達式的正確性.

滑差率分別為0.1和0.2時，兩種方法計算的電磁推力隨次級長度變化如圖11(b).由于次級長度通常大于2對極，端部效應(yīng)力幅值與次級長度無關(guān)，端部效應(yīng)力基本不受次級長度影響，且正常行波推力正比于次級長度，因此推力隨次級長度線性增加.

圖11 推力有限元驗證Fig.11 Verification of analytical thrust by FEM

4.2 計算推力波動比較

次級長度分別528 mm和480 mm時的推力波動特性曲線如圖12所示.

圖12 電磁推力波動驗證Fig.12 Verification of thrust ripple by FEM

兩種次級長度電機的推力波動滑差特性曲線的趨勢與推力特性曲線一致，在電機穩(wěn)定工作區(qū)，推力波動隨滑差增大而增大.

電源頻率和滑差率一定時，推力波動值是次級長度的正弦函數(shù)，其周期為一個極距.次級長度為非整數(shù)極距，若長度取值合適，正常行波推力波動可抵消一部分端部效應(yīng)推力波動，從而獲得比次級長為整數(shù)極距時更小的推力波動值.

由于在解析計算過程中做了一定合理的假設(shè)，因而解析法計算的電磁推力、推力波動與仿真結(jié)果之間存在一定的誤差.

5 結(jié)論

1)氣隙磁通密度的時空分布規(guī)律與次級長度無關(guān)；端部效應(yīng)的存在增加次級出端電密幅值，減小入端電密幅值.

2)次級長度為非整數(shù)極距時，端部效應(yīng)電磁力在電機穩(wěn)定工作區(qū)表現(xiàn)為阻礙次級前進的制動力.正常行波磁場和后退行波磁場是推力波動的重要來源.

3)次級長度不為整數(shù)極距時，正常行波磁場和電密正常分量產(chǎn)生一定幅值的波動分量.極距一定時，合適的次級長度可有效減小電機的推力波動.次級長一定時，合適的極距也可有效減小推力波動.