談數(shù)學(xué)解題檢驗

孫 康 徐小花 李麗榮

(北京市日壇中學(xué) 100020)

檢驗是數(shù)學(xué)解題的良好習(xí)慣，可以提升解題準(zhǔn)確率.在日常教學(xué)中，常有教師會有這樣的疑問：“講過的題目類型，為什么學(xué)生還是會出現(xiàn)五花八門的錯誤呢？”所謂“五花八門的錯誤”，即在解題過程的各個環(huán)節(jié)都有學(xué)生出現(xiàn)錯誤.缺乏檢驗意識是導(dǎo)致出現(xiàn)問題的重要原因.筆者將檢驗拆分為檢查、完善、說理三個層面，談一談數(shù)學(xué)檢驗在解題中的重要性.

1 公式、法則墊基石——檢驗即檢查

明晰解題思路對解決一個數(shù)學(xué)問題很重要，另外，對解題過程中基本公式法則的掌握也不可忽視.所謂萬丈高樓平地起，公式、法則就好似樓體的鋼筋，是解題過程的重要紐帶.

此題為求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，而此學(xué)生在求導(dǎo)函數(shù)的零點時出現(xiàn)了錯誤(圖1)，這就導(dǎo)致接下來的分類討論求單調(diào)性都會因此失分.

圖1

數(shù)學(xué)公式、法則、運算看似簡單、基礎(chǔ)、易理解，但是它在解題過程中扮演的角色卻是無法忽視的，所謂千里之堤毀于蟻穴正是如此.這是計算錯誤，類似的錯誤還有公式記錯，比如解決三角函數(shù)問題時輔助角公式記錯、求導(dǎo)時求導(dǎo)法則記錯，等等.上述問題表面看是學(xué)生在操作層面上的問題，但本質(zhì)上是學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力不足造成的.公式、法則是思維活動的依據(jù)，在解題過程中一定要反復(fù)確認(rèn)這些環(huán)節(jié)是否準(zhǔn)確，以便支撐后續(xù)的步驟.我們教育學(xué)生要培養(yǎng)好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，實際上，愛思考問題、不死記結(jié)論，用數(shù)學(xué)的思維理解問題、解決問題是最應(yīng)該培養(yǎng)的.

2 前提、轉(zhuǎn)換重等價——檢驗即完善

解題即演繹推理，演繹推理的邏輯形式要求解題者的思維保持嚴(yán)密性、一貫性，注重解題的每一步變形嚴(yán)謹(jǐn)、等價，這樣才會得到正確的結(jié)論.

例2設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+3]ex.若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行，求a.

多數(shù)學(xué)生在解決這個問題時沒有得滿分(圖2)，原因在于只利用“與x軸平行”獲取到切線斜率為0的信息，再利用點斜式求出直線的方程，而沒有考慮到所求直線是否與x軸平行.此錯誤的原因在于“兩直線斜率相等”和“兩直線平行”不是互為充要條件，這就需要檢驗，將其變?yōu)槌湟?，完善解題過程.針對此錯誤，對學(xué)生進(jìn)行隨訪，沒進(jìn)行檢驗的學(xué)生大部分是學(xué)習(xí)經(jīng)驗缺失，之前解決的數(shù)學(xué)問題通常都是等價轉(zhuǎn)換，很少涉及題干條件和使用條件不等價的情況，所以沒有形成檢驗的習(xí)慣.

圖2

類似的題目還有諸如函數(shù)極值的逆用問題，已知函數(shù)在某點處取得極值，求參數(shù)的取值.此類題多數(shù)存在多解情況，多數(shù)學(xué)生的錯誤在于求解完之后就認(rèn)為求出來的解即為最終所求.其實無論此題是否多解，最后求解完成都需要再進(jìn)行檢驗，而且必不可少，原因在于過程中用到了“已知在某點處取得極值，則該點處導(dǎo)數(shù)值為0”，并不是題干條件的等價轉(zhuǎn)換，即非充要條件，因而求解出來的結(jié)果未必準(zhǔn)確，必須要檢驗，即使只得到一組解，也需要說明結(jié)果的充要性.通過了解，學(xué)生可以理解函數(shù)在某點處取得極值是導(dǎo)數(shù)值在這點處為零的充分不必要條件，但是放在具體問題中就不會靈活運用這個知識點了.

等價轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中的作用往往體現(xiàn)在化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉，并且通過等價轉(zhuǎn)化的結(jié)果是不需要檢驗的.但在數(shù)學(xué)解題中，有很多情形不易、不宜，甚至是不可能進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化(比如解超越方程、解超越不等式、由遞推式求數(shù)列通項公式等)，這時只有退而求其次，可以考慮用先不等價轉(zhuǎn)化后檢驗的手段來解題，常見的方法有“先必要后充分”和“先充分后必要”[1].例2用的就是先必要后充分.

3 結(jié)果、事實需合情——檢驗即說理

關(guān)注了過程中的公式、法則、運算，也保證了等價轉(zhuǎn)換，就會得出正確的結(jié)論嗎？也不盡然，還有一類問題就隱藏在最后的答案中.

例3已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，當(dāng)a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

此題求三角形面積，最后所得結(jié)果應(yīng)該是一個正數(shù).很多學(xué)生在解決這個題目的時候都出現(xiàn)了這樣的錯誤(圖3)，通過詢問出現(xiàn)錯誤的學(xué)生的想法，了解到大部分學(xué)生忽略了這是一個實際問題，只想著直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積一定與橫、縱坐標(biāo)有關(guān)，所以求完橫、縱坐標(biāo)就利用公式求解了，沒再多考慮.

圖3

這個問題的解題失誤在于解答出結(jié)果之后沒有考慮其合理性，圖形面積一定是一個正數(shù)，若算出一個負(fù)數(shù)，那么就說明結(jié)果不合理，違背了事實.類似的題目還有諸如立體幾何中的存在性問題，如在某條線段上是否存在一點，使得該點和幾何體某已知點構(gòu)成的動直線與某平面平行，解法并不困難，通常需要引入未知數(shù)λ設(shè)出動點坐標(biāo)，借助線面平行的判定定理進(jìn)行求解即可，但有的學(xué)生求出的λ超出了[0,1]范圍，也不再處理，那么此解就是不合理的答案，需要檢驗前面過程的細(xì)節(jié).故檢驗即說理.

在分析講解試題的課堂中，我們經(jīng)常能夠看到這樣的情形：師生思維活動的邏輯順序是由題目序號所決定的，講完第(1)問，再解第(2)問，缺乏對數(shù)學(xué)問題中研究對象的整體性質(zhì)的研究，缺乏對已知的各種條件的邏輯分析，為了讓學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的思維理解數(shù)學(xué)問題，就需要教師在課上引導(dǎo)學(xué)生按照數(shù)學(xué)的思維方法去理解問題、研究問題、解決問題.

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)檢驗是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的載體.學(xué)生沒有檢驗習(xí)慣的根源在于沒有形成檢驗的意識以及缺乏檢驗的方法、策略.檢驗意識及方法的培養(yǎng)需要潛移默化、持之以恒，需要教師循循善誘和循序漸進(jìn).針對上述三個層面導(dǎo)致的數(shù)學(xué)檢驗盲區(qū)，我們在教學(xué)中要有的放矢地加強檢驗意識的培養(yǎng)及方法的滲透，從解題的腳手架——公式、法則到步步轉(zhuǎn)化的等價性的重視，最后關(guān)注結(jié)果的合理性，三個節(jié)點為數(shù)學(xué)解題的準(zhǔn)確性提供有力支撐，同時也是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo).數(shù)學(xué)教育要落腳到學(xué)科核心素養(yǎng)，而核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn)包括要求通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)W會有邏輯地思考問題，數(shù)學(xué)檢驗意識的培養(yǎng)即為有邏輯起點和終點的具體體現(xiàn)，故應(yīng)倍加重視.

只有當(dāng)檢驗意識成為學(xué)生內(nèi)在的自發(fā)需求時，檢驗才能真正地為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)保駕護航.教師要把檢驗這一環(huán)節(jié)重視起來，并持之以恒地訓(xùn)練與培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成自覺檢驗的好習(xí)慣，既有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也有利于學(xué)生學(xué)習(xí)成績的提高，有利于學(xué)生的終身發(fā)展.