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    內(nèi)容綜合 思維進(jìn)階 方法貫通
    ——“直線與圓的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)

    2022-03-25 02:35:12錢建芬
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年3期
    關(guān)鍵詞:進(jìn)階直角三角形切線

    錢建芬

    (江蘇省蘇州市吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 215228)

    1 問題提出

    大多數(shù)教師在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課習(xí)慣于習(xí)題講評,而缺少對某一主題、某一個(gè)單元進(jìn)行知識(shí)整體架構(gòu),更不用提在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生觸類旁通地進(jìn)行復(fù)習(xí).教師根深蒂固的想法就是要多講幾道例題,總認(rèn)為“題目講了,學(xué)生就懂了;學(xué)生能做了,也就學(xué)會(huì)了”.殊不知,即便是教師講過的例題,有相當(dāng)多的學(xué)生在新的情境里再次碰到類似的問題時(shí)還是不會(huì)分析、不會(huì)思考、不會(huì)作答.究其原因,是我們的復(fù)習(xí)課把知識(shí)點(diǎn)割裂開來進(jìn)行回顧,本質(zhì)上還是新授課的“濃縮版”,不僅僅是教學(xué)內(nèi)容在“炒冷飯”,解題技能和思維能力也得不到進(jìn)階.這種低效的復(fù)習(xí)課進(jìn)一步把學(xué)生的思維固化了,把學(xué)習(xí)內(nèi)容割裂了,不利于學(xué)生必備品格和關(guān)鍵能力的進(jìn)一步發(fā)展,直接影響數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升.一堂優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)該體現(xiàn)“學(xué)習(xí)內(nèi)容要綜合,技能訓(xùn)練要貫通,思維品質(zhì)要進(jìn)階”三大基本特征.應(yīng)讓學(xué)生通過對知識(shí)的溫習(xí)、回顧,建立知識(shí)之間的聯(lián)系,啟發(fā)深刻的思維活動(dòng),厘清一類問題的基本解決方法,讓學(xué)生在變式訓(xùn)練中獲取新知識(shí)、新方法、新技能,積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn),達(dá)到“講一題、得一法,會(huì)一類、通一片”的學(xué)習(xí)效果.所以,要上好一堂數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課,不但考驗(yàn)著教師的學(xué)科素養(yǎng)和教學(xué)技藝,也“拷問”著我們的教育思想和教學(xué)主張.

    下面以“直線與圓的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課為例,呈現(xiàn)設(shè)計(jì)思路,供讀者參考.

    2 內(nèi)容分析及教學(xué)目標(biāo)

    “直線與圓”是《圓》這一章的重要內(nèi)容,包括直線和圓的位置關(guān)系、切線的概念、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓、切線長定理及其應(yīng)用等.這部分內(nèi)容比較典型地體現(xiàn)了圖形的位置關(guān)系與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系,蘊(yùn)涵著數(shù)形結(jié)合的思想,一直是各省市中考命題的熱點(diǎn).一是題型多樣,有填空題、選擇題和解答題等;二是內(nèi)容綜合,常常與三角形、四邊形等結(jié)合在一起,可謂多變;三是方法靈活,時(shí)常還會(huì)與圖形相似、全等知識(shí)綜合運(yùn)用,可謂靈活.因此,在復(fù)習(xí)“直線與圓”的內(nèi)容時(shí),既要關(guān)注結(jié)論的理解與應(yīng)用,更要讓學(xué)生感受其中的思想方法并能夠運(yùn)用這些結(jié)論進(jìn)行邏輯推理解決有關(guān)問題,從而提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

    教學(xué)目標(biāo)

    (1)回憶直線與圓的三種位置關(guān)系,鞏固掌握三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形等概念.復(fù)習(xí)“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的方法,能作三角形的內(nèi)切圓.

    (2)在處理直線與圓的位置關(guān)系這一類問題時(shí),要想方設(shè)法將問題轉(zhuǎn)移到直角三角形中來討論,將直線與圓的位置關(guān)系引發(fā)的問題與直角三角形的有關(guān)知識(shí)構(gòu)建關(guān)聯(lián).重點(diǎn)復(fù)習(xí)垂徑定理和切線長定理在新情境中的應(yīng)用.

    (3)了解復(fù)雜問題無非是一組簡單問題的組合,在分析復(fù)雜問題的時(shí)候,掌握將之分解為簡單問題的思考方法,提高在新情境中發(fā)現(xiàn)“老問題”的能力.

    3 教學(xué)過程

    以2011年江蘇省連云港市數(shù)學(xué)中考卷第26題為線索,設(shè)計(jì)“直線與圓的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課的“四問題五環(huán)節(jié)”,幫助學(xué)生回憶知識(shí)、反芻經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展技能,促進(jìn)思維品質(zhì)進(jìn)階.

    原題呈現(xiàn)(2011年連云港中考數(shù)學(xué)卷第26題):已知∠AOB=60°,半徑為3 cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng),與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C.

    圖1

    3.1 導(dǎo)入

    教師不急于指導(dǎo)學(xué)生解題,而是從直線與圓關(guān)系的本原問題上組織學(xué)生討論,幫助學(xué)生回憶知識(shí),拋出第一個(gè)問題.

    問題1如圖2,已知∠AOB=60°,半徑為 3 cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng),與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C.當(dāng)點(diǎn)P到邊OB的距離滿足什么條件時(shí),邊OB與⊙P相離、相切、相交?

    圖2 圖3

    功能分析 明晰直線與圓的三種位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表達(dá).

    教學(xué)示范 學(xué)生在理解圓心到直線的距離d與圓的半徑r的數(shù)量關(guān)系可以確定直線與圓的位置關(guān)系后,教師進(jìn)行追問.

    追問1 ⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng),什么量改變,什么量不變?

    追問2 圓心P點(diǎn)到邊OB的距離如何表示?指導(dǎo)學(xué)生通過作圖來表達(dá).

    追問3 如圖3,邊OB與⊙P相切時(shí),還能得到什么結(jié)論?

    學(xué)生通過動(dòng)手作圖,可以直觀感受到直線與圓的三種位置關(guān)系所對應(yīng)的三個(gè)數(shù)量關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生逆向思考問題.

    3.2 展開

    教師在學(xué)生厘清直線與圓位置關(guān)系判斷法則后設(shè)計(jì)第二個(gè)問題,讓⊙P與OB,OA,AB三邊都相切,在△OAB,△PEF之間展開討論.

    圖4

    (1)請找出圖中相等的線段、相等的角;

    (2)還能得到哪些重要結(jié)論?

    (3)當(dāng)點(diǎn)M在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí),你能求出∠EPF的度數(shù)嗎?

    (4)當(dāng)點(diǎn)M在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí),你能求出∠EPF的度數(shù)嗎?

    功能分析 將直線與圓關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的基于三角形問題的研究,幫助學(xué)生反芻切線長定理,加深對三角形內(nèi)切圓的內(nèi)涵的理解,促進(jìn)對知識(shí)的全面掌握并靈活運(yùn)用.

    教學(xué)示范 學(xué)生的認(rèn)識(shí)是螺旋上升的過程,在問題一圖形的基礎(chǔ)上,增加一條切線,當(dāng)邊OB與⊙P相切時(shí),連結(jié)PC,CD,就構(gòu)成了切線長定理基本圖形,自然復(fù)習(xí)了內(nèi)切圓、內(nèi)心及切線長定理的性質(zhì).這里的(1)(2)小題是停留在知識(shí)層面,(3)(4)小題助推學(xué)生深度學(xué)習(xí).

    教師首先鼓勵(lì)學(xué)生通過小組交流、討論的方式,讓學(xué)生尋找問題的突破口.其次通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”,點(diǎn)P是△OAB內(nèi)角平分線的交點(diǎn),∠EPF的度數(shù)只與∠AOB的度數(shù)有關(guān).

    3.3 延伸

    問題進(jìn)一步進(jìn)階,⊙P繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng),此時(shí)與邊OA仍然相切,但與邊OB相交,在新的情境中提出第三個(gè)問題,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

    問題3如圖5,⊙P與邊OB相交,當(dāng)⊙P與邊OB相交于點(diǎn)E,F,且C,P,F在一直線上,D是OC的中點(diǎn),連結(jié)ED.

    圖5

    探究1 線段ED與⊙P的位置關(guān)系.

    探究2 弦EF的長度.

    功能分析 有關(guān)切線的問題通常有兩類:一是已知直線與圓的交點(diǎn),經(jīng)常“連半徑,證垂直”;二是未知直線與圓的交點(diǎn),經(jīng)?!白鞔怪?,證半徑”.在求圓中弦的長度時(shí),還是要構(gòu)造直角三角形,以便利用垂徑定理來處理.進(jìn)一步讓學(xué)生看明白,要解決直線與圓位置關(guān)系帶來的問題可以轉(zhuǎn)化到三角形里來討論.

    教學(xué)示范 在本題中,⊙P在運(yùn)動(dòng),圖形發(fā)生改變,這樣新的問題也隨之產(chǎn)生.設(shè)計(jì)的第一個(gè)探究活動(dòng)是幫助學(xué)生建立如何證明一條直線是圓的切線;設(shè)計(jì)的第二個(gè)探究活動(dòng)是幫助學(xué)生進(jìn)一步理解求圓中弦長的方法,即構(gòu)造弦心距、半徑以及半弦組成的直角三角形.

    3.4 深化

    問題進(jìn)一步深化,難度繼續(xù)提高,啟發(fā)學(xué)生思考和討論與圓相交的邊OB和圓心P點(diǎn)之間的位置關(guān)系,發(fā)現(xiàn)線段OC的長度有幾種可能,促進(jìn)思維品質(zhì)的進(jìn)階.

    功能分析 因?yàn)榻鉀Q這個(gè)問題將涉及到圓中弦長的計(jì)算,所以需要用分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想來解.教師積極引導(dǎo)學(xué)生將設(shè)問變成自己大腦中的心智“圖形”,再將心智“圖形”呈現(xiàn)出來,啟發(fā)學(xué)生通過作圖來幫助思考,尋求解決問題的方法,最終把線段OC的長算出來.學(xué)生通過觀察與思考,發(fā)現(xiàn)圓心P的位置有三種情況.在排除圖8這種情況外,還是要構(gòu)建直角三角形PMN,PME(PMF)和NCO等,回到三角形中利用垂徑定理解決問題.

    教學(xué)示范 教師可以請學(xué)生把自己的心智“圖形”大膽地畫在黑板上,對出現(xiàn)的問題進(jìn)行點(diǎn)撥,同時(shí)進(jìn)一步讓學(xué)生感受到題目、圖形在變,不變的是我們分析問題的方法.通過討論、交流,借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示,發(fā)現(xiàn)本題中的點(diǎn)P作圖分為三種:當(dāng)圓心P在OB的右邊,當(dāng)圓心P在OB的左邊,當(dāng)圓心P在OB上,如圖6~8.因?yàn)閳D8中的圓心P在線段OB上,EF就是直徑,已知直徑等于6 cm,所以此情況排除.那么要計(jì)算的線段OC,只有圖6和圖7兩種情況.

    圖6 圖7 圖8

    追問1 本題中,我們?nèi)绾卫靡阎獥l件求EF的長?

    追問2 本題中,我們?nèi)绾卫镁€段OC的特殊性?

    3.5 歸結(jié)

    4 教學(xué)設(shè)計(jì)說明

    一道例題分解為四個(gè)問題呈現(xiàn),各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之間有梯度,學(xué)習(xí)內(nèi)容逐步綜合,思維深度不斷進(jìn)階,但是處理問題的方法(技能)是貫通的,就是要構(gòu)作直角三角形,將直線與圓的位置問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題,實(shí)質(zhì)上也是直角三角形知識(shí)在新的情境中應(yīng)用的復(fù)習(xí),前后知識(shí)也能在這里交融、重構(gòu)及提升.

    (1)中考復(fù)習(xí)要夯實(shí)基礎(chǔ),抓住一個(gè)“基”字,追求一個(gè)“效”字

    初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中,必須扎扎實(shí)實(shí)地夯實(shí)基礎(chǔ),使每個(gè)學(xué)生對初中數(shù)學(xué)知識(shí)都能達(dá)到“理解”和“掌握”的要求;設(shè)置“問題1”就是復(fù)習(xí)直線與圓的三種位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系,學(xué)生分析出只要作出過點(diǎn)P到邊OB的距離,然后與半徑比較大小.在這個(gè)過程中,在應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)能做到熟練、正確和迅速,完成知識(shí)思維導(dǎo)圖,注意知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,學(xué)會(huì)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),這樣在解題時(shí),就能由題目所提供的信息,從記憶系統(tǒng)中檢索出有關(guān)信息,選出最佳組合,尋找解題途徑、優(yōu)化解題過程.

    (2)中考復(fù)習(xí)要喚醒思維,抓住一個(gè)“說”字,追求一個(gè)“通”字

    中考復(fù)習(xí)不是新授課,不能把知識(shí)簡單地再現(xiàn)出來,而要讓學(xué)生參與到具體問題解決中來,回憶知識(shí),反芻經(jīng)驗(yàn),提高技能,促進(jìn)思維進(jìn)階.所以,教師要設(shè)計(jì)富有思維質(zhì)量,且能引發(fā)深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問題,使學(xué)生在親身經(jīng)歷問題的探索過程中,來喚醒思維,增長數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在“問題二”中設(shè)置開放性問題,讓學(xué)生經(jīng)歷作圖復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵就是要學(xué)生能表達(dá)出解決問題的方法,在否定、肯定、批判和質(zhì)疑的思辨中學(xué)會(huì)思考.所謂“會(huì)思考”就是學(xué)生在解決具有新情境問題的過程中,能自己“悟”出方法,明晰思路,在新情境中抽象出“老問題”的模型,將新舊問題串聯(lián)起來,尋覓解決問題的一般方法,做到“懂一題,通一類”,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力.

    (3)中考復(fù)習(xí)要拓寬思路,抓住一個(gè)“變”字,追求一個(gè)“新”字

    變式訓(xùn)練在本質(zhì)不變的基礎(chǔ)上變換問法,不僅能使問題解決所需的數(shù)學(xué)知識(shí)增加,而且能促成學(xué)生“換位思考”,產(chǎn)生積極聯(lián)想.高質(zhì)量的變式訓(xùn)練才能夠挖掘?qū)W生的潛能,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的敏捷性,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角觀察問題、提升學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析問題的能力,從而拓寬學(xué)生的思路,將各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)通過問題解決聯(lián)系起來.通過變式訓(xùn)練幫助學(xué)生構(gòu)建深層次的知識(shí)體系.但是,該體系的構(gòu)建不是一朝一夕的事情,要在教學(xué)中循序漸進(jìn),逐步堆棧,螺旋提升.同時(shí),要培養(yǎng)學(xué)生勇于鉆研的精神和創(chuàng)新能力.

    5 結(jié)語

    “雙減”不是降低對教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn),反而是對教與學(xué)提出了更高的要求,需要教師轉(zhuǎn)變教育觀念,改善課堂教學(xué)方法,優(yōu)化技能訓(xùn)練方式,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率.一堂優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的核心價(jià)值體現(xiàn)在“內(nèi)容的綜合、方法的貫通和思維的進(jìn)階”上.教師應(yīng)理解學(xué)生和教材,厘清數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系,建構(gòu)知識(shí)間的鏈接,精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng).在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中,教師應(yīng)以高質(zhì)量的問題為驅(qū)動(dòng),引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)參與,想方設(shè)法啟迪學(xué)生深刻的思維活動(dòng),在濃郁的數(shù)學(xué)味中構(gòu)建高效數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂.

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