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    用常規(guī)思維解決非常規(guī)問題

    2022-03-25 01:59:50盧紅衛(wèi)
    中學數(shù)學雜志 2022年3期
    關鍵詞:數(shù)表羅列對稱性

    盧紅衛(wèi)

    (江蘇省張家港市外國語學校 215600)

    2021年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試第7題看似形式復雜,實則用簡潔的常規(guī)思路即可解決.

    題目

    a

    ,

    a

    ,…,

    a

    為1,2,…,21的排列,滿足|

    a

    -

    a

    |≥|

    a

    -

    a

    |≥|

    a

    -

    a

    |≥…≥|

    a

    -

    a

    |,這樣的排列的個數(shù)為

    .

    思路1 特殊開路,歸納猜想.

    a

    ,

    a

    ,…,

    a

    為1,2,…,5的排列,滿足|

    a

    -

    a

    |≥|

    a

    -

    a

    |≥|

    a

    -

    a

    |≥|

    a

    -

    a

    |這樣的排列的個數(shù)

    N

    =1+2+2+2+1.

    a

    ,

    a

    ,…,

    a

    為1,2,…,7的排列,滿足|

    a

    -

    a

    |≥|

    a

    -

    a

    |≥…≥|

    a

    -

    a

    |≥|

    a

    -

    a

    |這樣的排列的個數(shù)

    N

    =1+2+2+2+2+2+1.歸納猜想:

    a

    ,

    a

    ,…,

    a

    為1,2,…,21的排列,滿足|

    a

    -

    a

    |≥|

    a

    -

    a

    |≥|

    a

    -

    a

    |≥…≥|

    a

    -

    a

    |這樣的排列的個數(shù)

    N

    =1+2+ 2+…+2+2+2+…+2+1=3 070.

    思路2 利用數(shù)軸,一一羅列.

    數(shù)軸上標號為

    i

    (

    i

    =1,2,3,…,20,21)的點記為

    P

    ,共有21個點,

    a

    ,

    a

    ,…,

    a

    分布在這21個點,|

    a

    -

    a

    |表示數(shù)軸上兩點距離.當

    a

    P

    處,則

    a

    (

    i

    =1,2,…,20)在

    P

    +1處,這樣的排列數(shù)為

    N

    =1.當

    a

    P

    處,則

    a

    ,

    a

    在離

    P

    距離為1的

    P

    ,

    P

    兩點,

    a

    (

    i

    =3,4,…,20)在

    P

    +1處,這樣的排列數(shù)為

    N

    =2.當

    a

    P

    處,則

    a

    ,

    a

    在離

    P

    距離為1的

    P

    ,

    P

    兩點,

    a

    ,

    a

    在離

    P

    距離為2的

    P

    ,

    P

    兩點,

    a

    (

    i

    =5,6,…,20)在

    P

    +1處,這樣的排列數(shù)為

    N

    =2.

    ……

    a

    P

    處,則

    a

    ,

    a

    在離

    P

    距離為1的

    P

    ,

    P

    兩點,

    a

    ,

    a

    在離

    P

    距離為2的

    P

    ,

    P

    兩點,……,

    a

    ,

    a

    在離

    P

    距離為10的

    P

    ,

    P

    兩點,這樣的排列數(shù)為

    N

    =2.當

    a

    P

    處,則

    a

    ,

    a

    在離

    P

    距離為1的

    P

    ,

    P

    兩點,

    a

    ,

    a

    在離

    P

    距離為2的

    P

    ,

    P

    兩點,……,

    a

    ,

    a

    在離

    P

    距離為9的

    P

    ,

    P

    兩點,

    a

    P

    ,

    a

    P

    ,這樣的排列數(shù)為

    N

    =2.

    ……

    a

    P

    處,則

    a

    (

    i

    =1,2,3,…,20)依次分布在

    P

    21-處,這樣的排列數(shù)為

    N

    =1.

    綜上,

    思路3 尋找規(guī)律,合理分類.

    因為

    a

    為特殊元素,抓住

    a

    進行分類討論,又根據(jù)對稱性,不難發(fā)現(xiàn):

    a

    =1和

    a

    =21時,|

    a

    -

    a

    |的所有取值情況是一樣的,

    a

    =2和

    a

    =20時,|

    a

    -

    a

    |的所有取值情況是一樣的,

    a

    =

    i

    a

    =22-

    i

    ,

    i

    ∈{1,2,…,10}時,|

    a

    -

    a

    |的所有取值情況是一樣的.設

    a

    =

    k

    k

    ∈{1,2,…,10,11},對

    i

    =1,2,…,

    k

    -1,有

    a

    2-1,

    a

    2

    k

    -

    i

    ,

    k

    +

    i

    的排列(若

    k

    =1,沒有這樣的

    i

    ),且

    a

    =

    j

    +1(2

    k

    -1≤

    j

    ≤20)(若

    k

    =11,則沒有這樣的

    j

    ),因此

    評析

    思路1通過特殊化思想的運用,先思考兩次數(shù)字較少的情形,很容易得到相應的排列數(shù),再通過歸納猜想,就很容易得到此題的正確答案.思路2很好地利用了數(shù)軸這個有力工具,在黑板上直觀呈現(xiàn),排好

    a

    的位置后,讓學生動手操作排

    a

    的位置,隨著

    a

    的變化,學生很容易得出相應的排列數(shù).思路3是在思路2的基礎上發(fā)現(xiàn)了

    a

    =

    i

    a

    =22-

    i

    ,

    i

    ∈{1,2,…,10}時,|

    a

    -

    a

    |的所有取值情況是一樣的,因為存在對稱性,所以設

    a

    =

    k

    ,只需考慮

    k

    ∈{1,2,…,10,11}的情形.數(shù)軸上的操作已經讓學生明白其基本原理,學生嘗試總結,教師通過適當輔助,完成

    a

    2-1,

    a

    2

    k

    -

    i

    ,

    k

    +

    i

    的排列(若

    k

    =1,沒有這樣的

    i

    ),且

    a

    =

    j

    +1(2

    k

    -1≤

    j

    ≤20)(若

    k

    =11,則沒有這樣的

    j

    )這樣的規(guī)律總結.整個思維過程順暢,簡潔易懂,學生對解決此類問題所用的研究思路有了深刻感悟.緊接著,筆者給出了以下題目讓學生練習:已知數(shù)列

    a

    =2(

    k

    =1,2,3,…,

    n

    ),則所有可能的乘積

    a

    a

    (1≤

    i

    j

    n

    )的和等于

    .

    課堂上學生很快給出了如下兩種思路:

    思路1 列舉找通項.

    以上求和抓通項,2(2+ 2+1+…+2)=2[(2+2+…+2)-(2+ 2+…+2-1)]=2(2+1-2)=2++1-22,于是

    思路2 利用數(shù)表,直觀呈現(xiàn).

    a1a1a1a2a1a3a1a4a1a5…a1ana2a1a2a2a2a3a2a4a2a5…a2ana3a1a3a2a3a3a3a4a3a5…a3ana4a1a4a2a4a3a4a4a4a5…a4ana5a1a5a2a5a3a5a4a5a5…a5an…………………ana1ana2ana3ana4ana5…anan

    容易得到以上數(shù)表各項和為再將以上數(shù)表分解成左、中、右三個部分(圖1).由對稱性可知,圖1中左和右兩部分各項之和相等,圖1中間部分的各項之和為圖1右邊部分的各項之和為

    圖1

    圖1中間和右邊的各項之和即為所求

    評析

    練習與例題看似不相關的兩個問題,實則所用的思想方法類似,都是通過特值開路、一一羅列后探求規(guī)律.而數(shù)軸、數(shù)表都是教材上常見的工具,通過這些直觀工具的運用,在動手操作的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.練習思路1先是取

    i

    =1,羅列

    a

    a

    (1≤

    j

    n

    )所有項的和,再取

    i

    =2,羅列

    a

    a

    (2≤

    j

    n

    )所有項的和,接著找出通項為2(2+2+1+…+2),化簡通項得2++1-22,最后為兩個等比數(shù)列求和.競賽題的思路2利用數(shù)軸,練習的思路2則利用數(shù)表直觀呈現(xiàn),學生通過觀察可將數(shù)表分解為三個部分,由對稱性知左右兩部分各項和相等,中間和右邊各項和即為所求.

    若缺少學生動手操作和數(shù)表呈現(xiàn),直接給出以下答案解法:學生必定陷入深深的焦慮,教學效果可想而知.

    如何提升優(yōu)秀學生的數(shù)學思維,面對復雜問題,突破思維壁壘,是值得我們思考的問題.數(shù)學競賽題復雜多變,怎樣在錯綜復雜中尋找到最佳路線,需要的是巧做、化繁為簡,利用常規(guī)思維方法來思考并解決復雜問題.學生通過動手操作,發(fā)現(xiàn)問題的本質規(guī)律,克服畏難情緒,增強學習信心,從而提高學習效率,形成優(yōu)秀的思維品質和數(shù)學素養(yǎng).

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