盧紅衛(wèi)
(江蘇省張家港市外國語學校 215600)
2021年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試第7題看似形式復雜,實則用簡潔的常規(guī)思路即可解決.
題目
a
,a
,…,a
為1,2,…,21的排列,滿足|a
-a
|≥|a
-a
|≥|a
-a
|≥…≥|a
-a
|,這樣的排列的個數(shù)為.
思路1 特殊開路,歸納猜想.
a
,a
,…,a
為1,2,…,5的排列,滿足|a
-a
|≥|a
-a
|≥|a
-a
|≥|a
-a
|這樣的排列的個數(shù)N
=1+2+2+2+1.a
,a
,…,a
為1,2,…,7的排列,滿足|a
-a
|≥|a
-a
|≥…≥|a
-a
|≥|a
-a
|這樣的排列的個數(shù)N
=1+2+2+2+2+2+1.歸納猜想:a
,a
,…,a
為1,2,…,21的排列,滿足|a
-a
|≥|a
-a
|≥|a
-a
|≥…≥|a
-a
|這樣的排列的個數(shù)N
=1+2+ 2+…+2+2+2+…+2+1=3 070.思路2 利用數(shù)軸,一一羅列.
數(shù)軸上標號為i
(i
=1,2,3,…,20,21)的點記為P
,共有21個點,a
,a
,…,a
分布在這21個點,|a
-a
|表示數(shù)軸上兩點距離.當a
在P
處,則a
(i
=1,2,…,20)在P
+1處,這樣的排列數(shù)為N
=1.當a
在P
處,則a
,a
在離P
距離為1的P
,P
兩點,a
(i
=3,4,…,20)在P
+1處,這樣的排列數(shù)為N
=2.當a
在P
處,則a
,a
在離P
距離為1的P
,P
兩點,a
,a
在離P
距離為2的P
,P
兩點,a
(i
=5,6,…,20)在P
+1處,這樣的排列數(shù)為N
=2.……
當a
在P
處,則a
,a
在離P
距離為1的P
,P
兩點,a
,a
在離P
距離為2的P
,P
兩點,……,a
,a
在離P
距離為10的P
,P
兩點,這樣的排列數(shù)為N
=2.當a
在P
處,則a
,a
在離P
距離為1的P
,P
兩點,a
,a
在離P
距離為2的P
,P
兩點,……,a
,a
在離P
距離為9的P
,P
兩點,a
在P
,a
在P
,這樣的排列數(shù)為N
=2.……
當a
在P
處,則a
(i
=1,2,3,…,20)依次分布在P
21-處,這樣的排列數(shù)為N
=1.綜上,
思路3 尋找規(guī)律,合理分類.
因為a
為特殊元素,抓住a
進行分類討論,又根據(jù)對稱性,不難發(fā)現(xiàn):a
=1和a
=21時,|a
-a
|的所有取值情況是一樣的,a
=2和a
=20時,|a
-a
|的所有取值情況是一樣的,a
=i
和a
=22-i
,i
∈{1,2,…,10}時,|a
-a
|的所有取值情況是一樣的.設a
=k
,k
∈{1,2,…,10,11},對i
=1,2,…,k
-1,有a
2-1,a
2為k
-i
,k
+i
的排列(若k
=1,沒有這樣的i
),且a
=j
+1(2k
-1≤j
≤20)(若k
=11,則沒有這樣的j
),因此評析
思路1通過特殊化思想的運用,先思考兩次數(shù)字較少的情形,很容易得到相應的排列數(shù),再通過歸納猜想,就很容易得到此題的正確答案.思路2很好地利用了數(shù)軸這個有力工具,在黑板上直觀呈現(xiàn),排好a
的位置后,讓學生動手操作排a
的位置,隨著a
的變化,學生很容易得出相應的排列數(shù).思路3是在思路2的基礎上發(fā)現(xiàn)了a
=i
和a
=22-i
,i
∈{1,2,…,10}時,|a
-a
|的所有取值情況是一樣的,因為存在對稱性,所以設a
=k
,只需考慮k
∈{1,2,…,10,11}的情形.數(shù)軸上的操作已經讓學生明白其基本原理,學生嘗試總結,教師通過適當輔助,完成a
2-1,a
2為k
-i
,k
+i
的排列(若k
=1,沒有這樣的i
),且a
=j
+1(2k
-1≤j
≤20)(若k
=11,則沒有這樣的j
)這樣的規(guī)律總結.整個思維過程順暢,簡潔易懂,學生對解決此類問題所用的研究思路有了深刻感悟.緊接著,筆者給出了以下題目讓學生練習:已知數(shù)列a
=2(k
=1,2,3,…,n
),則所有可能的乘積a
a
(1≤i
≤j
≤n
)的和等于.
課堂上學生很快給出了如下兩種思路:
思路1 列舉找通項.
以上求和抓通項,2(2+ 2+1+…+2)=2[(2+2+…+2)-(2+ 2+…+2-1)]=2(2+1-2)=2++1-22,于是
思路2 利用數(shù)表,直觀呈現(xiàn).
a1a1a1a2a1a3a1a4a1a5…a1ana2a1a2a2a2a3a2a4a2a5…a2ana3a1a3a2a3a3a3a4a3a5…a3ana4a1a4a2a4a3a4a4a4a5…a4ana5a1a5a2a5a3a5a4a5a5…a5an…………………ana1ana2ana3ana4ana5…anan
容易得到以上數(shù)表各項和為再將以上數(shù)表分解成左、中、右三個部分(圖1).由對稱性可知,圖1中左和右兩部分各項之和相等,圖1中間部分的各項之和為圖1右邊部分的各項之和為
圖1
圖1中間和右邊的各項之和即為所求
評析
練習與例題看似不相關的兩個問題,實則所用的思想方法類似,都是通過特值開路、一一羅列后探求規(guī)律.而數(shù)軸、數(shù)表都是教材上常見的工具,通過這些直觀工具的運用,在動手操作的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.練習思路1先是取i
=1,羅列a
a
(1≤j
≤n
)所有項的和,再取i
=2,羅列a
a
(2≤j
≤n
)所有項的和,接著找出通項為2(2+2+1+…+2),化簡通項得2++1-22,最后為兩個等比數(shù)列求和.競賽題的思路2利用數(shù)軸,練習的思路2則利用數(shù)表直觀呈現(xiàn),學生通過觀察可將數(shù)表分解為三個部分,由對稱性知左右兩部分各項和相等,中間和右邊各項和即為所求.若缺少學生動手操作和數(shù)表呈現(xiàn),直接給出以下答案解法:學生必定陷入深深的焦慮,教學效果可想而知.
如何提升優(yōu)秀學生的數(shù)學思維,面對復雜問題,突破思維壁壘,是值得我們思考的問題.數(shù)學競賽題復雜多變,怎樣在錯綜復雜中尋找到最佳路線,需要的是巧做、化繁為簡,利用常規(guī)思維方法來思考并解決復雜問題.學生通過動手操作,發(fā)現(xiàn)問題的本質規(guī)律,克服畏難情緒,增強學習信心,從而提高學習效率,形成優(yōu)秀的思維品質和數(shù)學素養(yǎng).