多視角解析一道2021年高考數(shù)學(xué)文化試題

宋建輝

(福建省福州格致中學(xué) 350001)

2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科第9題源自魏晉時(shí)期我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》，試題敘述簡(jiǎn)潔，閱讀順暢，在考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題能力的同時(shí)，既宣揚(yáng)了我國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，又讓學(xué)生充分感悟到我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的聰明才智，彰顯了立德樹(shù)人導(dǎo)向.

1 試題評(píng)析

題目 魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高.如圖，點(diǎn)

E

,

H

,

G

在水平線

AC

上，

DE

和

FG

是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，

EG

稱為“表距”，

GC

和

EH

都稱為“表目距”，

GC

與

EH

的差稱為“表目距的差”，則海島的高

AB

=( ).

表高

表高

表距

表距

背景分析：《海島算經(jīng)》是中國(guó)最早的一部運(yùn)用幾何理論解決各種測(cè)量難題的數(shù)學(xué)專(zhuān)著.首題原文如下：

今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問(wèn)島高及去表各幾何？

答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步.

術(shù)曰：以表高乘表間為實(shí)；相多為法，除之.所得加表高，即得島高.求前表去島遠(yuǎn)近者：以前表卻行乘表間為實(shí)；相多為法.除之，得島去表數(shù).

文中給出的測(cè)量算法(術(shù)曰部分)公式用白話文可表述為：

島高表高，島去

結(jié)合圖形，上述結(jié)論“翻譯”如下：

①，

②.

可以看出，原文給的是確切的已知數(shù)，高考試題把已知條件用字母表示，求的是島高的表達(dá)式，屬于客觀性中等難度試題.筆者了解到大量考生對(duì)于本題的基本反應(yīng)集中于：題目的文字固然簡(jiǎn)短，但對(duì)“表高”“表距”“表目距”“表目距的差”等理解不到位，又基于試題所處的特殊位置及考場(chǎng)的氛圍而引發(fā)的應(yīng)試心理狀態(tài)，部分考生出現(xiàn)了臨場(chǎng)思維受阻現(xiàn)象，一時(shí)難以將個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中儲(chǔ)備的各種“解題工具”進(jìn)行有效提取，未能找到合適的比較與化歸的突破口，從而使得本題的準(zhǔn)確解答率較低，不少考生只能依靠連猜帶蒙的方式胡亂選擇一個(gè)答案，從而影響了本題考查目標(biāo)的落實(shí).

2 解法探究

我們知道，數(shù)學(xué)語(yǔ)言可分為抽象性數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀性數(shù)學(xué)語(yǔ)言，又可歸結(jié)為文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三類(lèi).因此，在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先將題目提供的文字語(yǔ)言，結(jié)合題目圖形轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言指意簡(jiǎn)明，書(shū)寫(xiě)方便，且集中表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，有助思維，有益于問(wèn)題解決.因此，應(yīng)結(jié)合圖形，首先將題目中的“表高”“表距”“表目距”“表目距的差”等條件轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言，其次再探究解決問(wèn)題的方法.

設(shè)海島的高

AB

=

h.

記表高

DE

=

FG

=

d

，表距

EG

=

t

，表目距

GC

=

m

，

EH

=

n

，表目距的差

s

=

m

-

n.

解法1 針對(duì)問(wèn)題及選項(xiàng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，自然想到應(yīng)用平面幾何有關(guān)知識(shí)加以解決.

因?yàn)?p>AB

∥

DE

，

AB

∥

FG

，所以即所以又

AC

-

AH

=

HC

=

HG

+

GC

=

EG

-

EH

+

GC

=

t

+

s

，

所以即所以表高，選A.

評(píng)析 我們看到，所使用的工具都是利用垂直關(guān)系所連接起來(lái)的測(cè)竿(表高)，其數(shù)據(jù)來(lái)自利用兩次或多次測(cè)望所得，推算過(guò)程僅涉及到初中平面幾何知識(shí)：平行線分線段成比例定理，在用符號(hào)語(yǔ)言表述后，試題解決流暢、自然.

基于解法1僅涉及初中平面幾何知識(shí)，根據(jù)選項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，亦可考慮利用面積思想來(lái)解決問(wèn)題，于是便有以下的“創(chuàng)新”解法.

解法2 面積思想

如下圖，把原圖補(bǔ)充成矩形，得到四塊不同的區(qū)域，其面積分別記為

S

,

S

,

S

,

S

.

根據(jù)矩形的對(duì)角線平分面積，可得

所以表高，選A.

評(píng)析 雖然該解法有點(diǎn)“標(biāo)新立異”，但是解法不落俗套，體現(xiàn)了思維的靈活性，展示了“數(shù)學(xué)建?！钡暮诵乃仞B(yǎng).

我們知道，在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，測(cè)量不可及物高度與距離問(wèn)題是解三角形的常見(jiàn)實(shí)際問(wèn)題類(lèi)型之一.本題的測(cè)海島的高與人教A版必修第二冊(cè)第50頁(yè)例10源出一轍，應(yīng)用三角函數(shù)及解三角形知識(shí)也能快速便捷地解決問(wèn)題.

解法3 三角法

如圖，連結(jié)

DF

交

AB

于

M

，則

AB

=

AM

+

BM.

記∠

BDM

=

α

,∠

BFM

=

β

，則而所以從而所以表高.

評(píng)析 三角函數(shù)是溝通邊角關(guān)系的一座橋梁，解法3充分體現(xiàn)了測(cè)量問(wèn)題中三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的巨大作用.劉徽時(shí)代還沒(méi)有出現(xiàn)三角函數(shù)理論，三角學(xué)傳入中國(guó)已是17世紀(jì)的事了，前后相差約1400年，因此劉徽建立不可及物高度與距離的測(cè)量算法公式，展現(xiàn)出他高超的數(shù)學(xué)智慧.

3 反思

劉徽及其數(shù)學(xué)著作是中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《〈九章算術(shù)〉及其劉徽注研究》序中指出：“肇始于我國(guó)的這種機(jī)械化(算法)體系，在經(jīng)過(guò)明代以來(lái)近幾百年的相對(duì)消沉后，由于計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，已越來(lái)越為數(shù)學(xué)家所認(rèn)識(shí)與重視，勢(shì)將重新登上歷史舞臺(tái)”.海島高度的測(cè)量算法(術(shù))充分體現(xiàn)了《九章算術(shù)》的宗旨“析理以辭，解題用圖”，該宗旨促進(jìn)了我國(guó)數(shù)學(xué)機(jī)械化算法體系的構(gòu)建，這與當(dāng)今計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)研究方向“找到高效算法”高度吻合，因此該題的考查意義與教育價(jià)值不言而喻，而上述3種解法就是在探索“不可及物高度的測(cè)量”算法，其中解法3更具有普適性，是一種高效算法.

近年來(lái)在高考中出現(xiàn)了大量關(guān)注傳統(tǒng)文化的優(yōu)秀試題，它對(duì)“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容”起到了正確導(dǎo)向的作用，指導(dǎo)著我們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中，要善于挖掘、提煉傳統(tǒng)文化資源，“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”般地在教與學(xué)中感受傳統(tǒng)文化的價(jià)值，喚醒隱藏心底的數(shù)學(xué)文化意識(shí)，進(jìn)而增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面提升.