內(nèi)容綜合 思維進階 方法貫通
——“直線與圓的位置關(guān)系”復習課的教學設(shè)計

錢建芬

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)實驗初級中學 215228)

1 問題提出

大多數(shù)教師在數(shù)學復習課習慣于習題講評，而缺少對某一主題、某一個單元進行知識整體架構(gòu)，更不用提在此基礎(chǔ)上引導學生觸類旁通地進行復習.教師根深蒂固的想法就是要多講幾道例題，總認為“題目講了，學生就懂了；學生能做了，也就學會了”.殊不知，即便是教師講過的例題，有相當多的學生在新的情境里再次碰到類似的問題時還是不會分析、不會思考、不會作答.究其原因，是我們的復習課把知識點割裂開來進行回顧，本質(zhì)上還是新授課的“濃縮版”，不僅僅是教學內(nèi)容在“炒冷飯”，解題技能和思維能力也得不到進階.這種低效的復習課進一步把學生的思維固化了，把學習內(nèi)容割裂了，不利于學生必備品格和關(guān)鍵能力的進一步發(fā)展，直接影響數(shù)學學科素養(yǎng)的提升.一堂優(yōu)質(zhì)的數(shù)學復習課應該體現(xiàn)“學習內(nèi)容要綜合，技能訓練要貫通，思維品質(zhì)要進階”三大基本特征.應讓學生通過對知識的溫習、回顧，建立知識之間的聯(lián)系，啟發(fā)深刻的思維活動，厘清一類問題的基本解決方法，讓學生在變式訓練中獲取新知識、新方法、新技能，積累數(shù)學學習的經(jīng)驗，達到“講一題、得一法，會一類、通一片”的學習效果.所以，要上好一堂數(shù)學復習課，不但考驗著教師的學科素養(yǎng)和教學技藝，也“拷問”著我們的教育思想和教學主張.

下面以“直線與圓的位置關(guān)系”復習課為例，呈現(xiàn)設(shè)計思路，供讀者參考.

2 內(nèi)容分析及教學目標

“直線與圓”是《圓》這一章的重要內(nèi)容，包括直線和圓的位置關(guān)系、切線的概念、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓、切線長定理及其應用等.這部分內(nèi)容比較典型地體現(xiàn)了圖形的位置關(guān)系與相應的數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，蘊涵著數(shù)形結(jié)合的思想，一直是各省市中考命題的熱點.一是題型多樣，有填空題、選擇題和解答題等；二是內(nèi)容綜合，常常與三角形、四邊形等結(jié)合在一起，可謂多變；三是方法靈活，時常還會與圖形相似、全等知識綜合運用，可謂靈活.因此，在復習“直線與圓”的內(nèi)容時，既要關(guān)注結(jié)論的理解與應用，更要讓學生感受其中的思想方法并能夠運用這些結(jié)論進行邏輯推理解決有關(guān)問題，從而提升數(shù)學學科素養(yǎng).

教學目標

(1)回憶直線與圓的三種位置關(guān)系，鞏固掌握三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形等概念.復習“過圓上一點作圓的切線”的方法，能作三角形的內(nèi)切圓.

(2)在處理直線與圓的位置關(guān)系這一類問題時，要想方設(shè)法將問題轉(zhuǎn)移到直角三角形中來討論，將直線與圓的位置關(guān)系引發(fā)的問題與直角三角形的有關(guān)知識構(gòu)建關(guān)聯(lián).重點復習垂徑定理和切線長定理在新情境中的應用.

(3)了解復雜問題無非是一組簡單問題的組合，在分析復雜問題的時候，掌握將之分解為簡單問題的思考方法，提高在新情境中發(fā)現(xiàn)“老問題”的能力.

3 教學過程

以2011年江蘇省連云港市數(shù)學中考卷第26題為線索，設(shè)計“直線與圓的位置關(guān)系”復習課的“四問題五環(huán)節(jié)”，幫助學生回憶知識、反芻經(jīng)驗、發(fā)展技能，促進思維品質(zhì)進階.

原題呈現(xiàn)(2011年連云港中考數(shù)學卷第26題)：已知∠

AOB

=60°，半徑為3 cm的⊙

P

沿邊

OA

從右向左平行移動，與邊

OA

相切的切點記為點

C

.(1)⊙

P

移動到與邊

OB

相切時(圖1)，切點為

D

，求劣弧的長；

圖1

(2)⊙

P

移動到與邊

OB

相交于點

E

,

F

，若求

OC

的長.

3.1 導入

教師不急于指導學生解題，而是從直線與圓關(guān)系的本原問題上組織學生討論，幫助學生回憶知識，拋出第一個問題.

問題1

如圖2，已知∠

AOB

=60°，半徑為 3 cm的⊙

P

沿邊

OA

從右向左平行移動，與邊

OA

相切的切點記為點

C

.當點

P

到邊

OB

的距離滿足什么條件時，邊

OB

與⊙

P

相離、相切、相交？

圖2 圖3

功能分析 明晰直線與圓的三種位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表達.

教學示范 學生在理解圓心到直線的距離

d

與圓的半徑

r

的數(shù)量關(guān)系可以確定直線與圓的位置關(guān)系后，教師進行追問.追問1 ⊙

P

沿邊

OA

從右向左平行移動，什么量改變，什么量不變？追問2 圓心

P

點到邊

OB

的距離如何表示？指導學生通過作圖來表達.追問3 如圖3，邊

OB

與⊙

P

相切時，還能得到什么結(jié)論？

學生通過動手作圖，可以直觀感受到直線與圓的三種位置關(guān)系所對應的三個數(shù)量關(guān)系，引導學生逆向思考問題.

3.2 展開

教師在學生厘清直線與圓位置關(guān)系判斷法則后設(shè)計第二個問題，讓⊙

P

與

OB

,

OA

,

AB

三邊都相切，在△

OAB

,△

PEF

之間展開討論.

問題2

如圖4，當邊

OB

與⊙

P

相切于點

D

時，如果在優(yōu)弧上任意取一點

M

，過點

M

作⊙

P

的切線與邊

OB

,

OA

交于點

E

,

F

，連結(jié)

PE

,

PF

.

圖4

(1)請找出圖中相等的線段、相等的角；

(2)還能得到哪些重要結(jié)論？

(3)當點

M

在優(yōu)弧上運動時，你能求出∠

EPF

的度數(shù)嗎？(4)當點

M

在劣弧上運動時，你能求出∠

EPF

的度數(shù)嗎？

功能分析 將直線與圓關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為學生熟悉的基于三角形問題的研究，幫助學生反芻切線長定理，加深對三角形內(nèi)切圓的內(nèi)涵的理解，促進對知識的全面掌握并靈活運用.

教學示范 學生的認識是螺旋上升的過程，在問題一圖形的基礎(chǔ)上，增加一條切線，當邊

OB

與⊙

P

相切時，連結(jié)

PC

,

CD

，就構(gòu)成了切線長定理基本圖形，自然復習了內(nèi)切圓、內(nèi)心及切線長定理的性質(zhì).這里的(1)(2)小題是停留在知識層面，(3)(4)小題助推學生深度學習.教師首先鼓勵學生通過小組交流、討論的方式，讓學生尋找問題的突破口.其次通過幾何畫板的動態(tài)演示，讓學生感受數(shù)學中的“變”與“不變”，點

P

是△

OAB

內(nèi)角平分線的交點，∠

EPF

的度數(shù)只與∠

AOB

的度數(shù)有關(guān).

3.3 延伸

問題進一步進階，⊙

P

繼續(xù)向左運動，此時與邊

OA

仍然相切，但與邊

OB

相交，在新的情境中提出第三個問題，促進學生深度學習.

問題3

如圖5，⊙

P

與邊

OB

相交，當⊙

P

與邊

OB

相交于點

E

,

F

，且

C

,

P

,

F

在一直線上，

D

是

OC

的中點，連結(jié)

ED

.

圖5

探究1 線段

ED

與⊙

P

的位置關(guān)系.探究2 弦

EF

的長度.

功能分析 有關(guān)切線的問題通常有兩類：一是已知直線與圓的交點，經(jīng)?！斑B半徑，證垂直”；二是未知直線與圓的交點，經(jīng)?！白鞔怪保C半徑”.在求圓中弦的長度時，還是要構(gòu)造直角三角形，以便利用垂徑定理來處理.進一步讓學生看明白，要解決直線與圓位置關(guān)系帶來的問題可以轉(zhuǎn)化到三角形里來討論.

教學示范 在本題中，⊙

P

在運動，圖形發(fā)生改變，這樣新的問題也隨之產(chǎn)生.設(shè)計的第一個探究活動是幫助學生建立如何證明一條直線是圓的切線；設(shè)計的第二個探究活動是幫助學生進一步理解求圓中弦長的方法，即構(gòu)造弦心距、半徑以及半弦組成的直角三角形.

3.4 深化

問題進一步深化，難度繼續(xù)提高，啟發(fā)學生思考和討論與圓相交的邊

OB

和圓心

P

點之間的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)線段

OC

的長度有幾種可能，促進思維品質(zhì)的進階.

問題4

在圖5中，當⊙

P

繼續(xù)向左運動，⊙

P

與邊

OB

相交于點

E

,

F

，若求線段

OC

的長.功能分析 因為解決這個問題將涉及到圓中弦長的計算，所以需要用分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想來解.教師積極引導學生將設(shè)問變成自己大腦中的心智“圖形”，再將心智“圖形”呈現(xiàn)出來，啟發(fā)學生通過作圖來幫助思考，尋求解決問題的方法，最終把線段

OC

的長算出來.學生通過觀察與思考，發(fā)現(xiàn)圓心

P

的位置有三種情況.在排除圖8這種情況外，還是要構(gòu)建直角三角形

PMN

,

PME

(

PMF

)和

NCO

等，回到三角形中利用垂徑定理解決問題.教學示范 教師可以請學生把自己的心智“圖形”大膽地畫在黑板上，對出現(xiàn)的問題進行點撥，同時進一步讓學生感受到題目、圖形在變，不變的是我們分析問題的方法.通過討論、交流，借助幾何畫板動態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)本題中的點

P

作圖分為三種：當圓心

P

在

OB

的右邊，當圓心

P

在

OB

的左邊，當圓心

P

在

OB

上，如圖6～8.因為圖8中的圓心

P

在線段

OB

上，

EF

就是直徑，已知直徑等于6 cm，所以此情況排除.那么要計算的線段

OC

，只有圖6和圖7兩種情況.

圖6 圖7 圖8

追問1 本題中，我們?nèi)绾卫靡阎獥l件求

EF

的長？追問2 本題中，我們?nèi)绾卫镁€段

OC

的特殊性？

3.5 歸結(jié)

通過對以上四個問題由淺入深、由易到難的分析，學生解決了原題中的設(shè)問，求得劣弧的長為2π cm，線段

OC

的長度或同時，對直線與圓的位置關(guān)系的知識進行了系統(tǒng)回顧，并與直角三角形的相關(guān)知識構(gòu)建關(guān)聯(lián)，幫助學生拓寬了分析問題的思路，貫通了處理問題的方法，助推了深度學習的產(chǎn)生，促進了思維品質(zhì)的進階.

4 教學設(shè)計說明

一道例題分解為四個問題呈現(xiàn)，各個教學環(huán)節(jié)之間有梯度，學習內(nèi)容逐步綜合，思維深度不斷進階，但是處理問題的方法(技能)是貫通的，就是要構(gòu)作直角三角形，將直線與圓的位置問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，實質(zhì)上也是直角三角形知識在新的情境中應用的復習，前后知識也能在這里交融、重構(gòu)及提升.

(1)中考復習要夯實基礎(chǔ)，抓住一個“基”字，追求一個“效”字

初三數(shù)學復習教學中，必須扎扎實實地夯實基礎(chǔ)，使每個學生對初中數(shù)學知識都能達到“理解”和“掌握”的要求；設(shè)置“問題1”就是復習直線與圓的三種位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，學生分析出只要作出過點

P

到邊

OB

的距離，然后與半徑比較大小.在這個過程中，在應用基礎(chǔ)知識時能做到熟練、正確和迅速，完成知識思維導圖，注意知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，學會構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，這樣在解題時，就能由題目所提供的信息，從記憶系統(tǒng)中檢索出有關(guān)信息，選出最佳組合，尋找解題途徑、優(yōu)化解題過程.

(2)中考復習要喚醒思維，抓住一個“說”字，追求一個“通”字

中考復習不是新授課，不能把知識簡單地再現(xiàn)出來，而要讓學生參與到具體問題解決中來，回憶知識，反芻經(jīng)驗，提高技能，促進思維進階.所以，教師要設(shè)計富有思維質(zhì)量，且能引發(fā)深度學習的數(shù)學問題，使學生在親身經(jīng)歷問題的探索過程中，來喚醒思維，增長數(shù)學活動經(jīng)驗.在“問題二”中設(shè)置開放性問題，讓學生經(jīng)歷作圖復習課的關(guān)鍵就是要學生能表達出解決問題的方法，在否定、肯定、批判和質(zhì)疑的思辨中學會思考.所謂“會思考”就是學生在解決具有新情境問題的過程中，能自己“悟”出方法，明晰思路，在新情境中抽象出“老問題”的模型，將新舊問題串聯(lián)起來，尋覓解決問題的一般方法，做到“懂一題，通一類”，提升數(shù)學素養(yǎng)與能力.

(3)中考復習要拓寬思路，抓住一個“變”字，追求一個“新”字

變式訓練在本質(zhì)不變的基礎(chǔ)上變換問法，不僅能使問題解決所需的數(shù)學知識增加，而且能促成學生“換位思考”，產(chǎn)生積極聯(lián)想.高質(zhì)量的變式訓練才能夠挖掘?qū)W生的潛能，提高學生對數(shù)學問題的敏捷性，培養(yǎng)學生用數(shù)學的視角觀察問題、提升學生用數(shù)學思維分析問題的能力，從而拓寬學生的思路，將各部分數(shù)學知識通過問題解決聯(lián)系起來.通過變式訓練幫助學生構(gòu)建深層次的知識體系.但是，該體系的構(gòu)建不是一朝一夕的事情，要在教學中循序漸進，逐步堆棧，螺旋提升.同時，要培養(yǎng)學生勇于鉆研的精神和創(chuàng)新能力.

5 結(jié)語

“雙減”不是降低對教學的標準，反而是對教與學提出了更高的要求，需要教師轉(zhuǎn)變教育觀念，改善課堂教學方法，優(yōu)化技能訓練方式，促進學生深度學習，幫助學生提高學習效率.一堂優(yōu)質(zhì)的數(shù)學復習課的核心價值體現(xiàn)在“內(nèi)容的綜合、方法的貫通和思維的進階”上.教師應理解學生和教材，厘清數(shù)學知識點之間的關(guān)系，建構(gòu)知識間的鏈接，精心設(shè)計學習活動.在整個教學活動中，教師應以高質(zhì)量的問題為驅(qū)動，引領(lǐng)學生主動參與，想方設(shè)法啟迪學生深刻的思維活動，在濃郁的數(shù)學味中構(gòu)建高效數(shù)學復習課堂.