區(qū)間值T-球形模糊集的距離測度及其應(yīng)用

李 清，鄭婷婷，孫 鑫，王志強

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

為了描述現(xiàn)實生活中的不確定性問題, ZADEH[1]于1965年提出了經(jīng)典的模糊集 (fuzzy set, FS)理論。 FS理論用[0,1]區(qū)間上的數(shù)μ來表示每個元素隸屬于某個集合的程度，可以較好地體現(xiàn)事物的模糊特征。隨后，模糊集理論得到大量的深入研究。ATANASSOV[2]提出了直覺模糊集(intuitionistic fuzzy set, IFS)概念。相比于FS只有一個隸屬度函數(shù)，IFS增加了一個非隸屬度函數(shù)，不僅能夠表示每個元素關(guān)于某個模糊集合的隸屬程度μ，也能體現(xiàn)其不屬于這個集合的非隸屬程度ν，因此對不確定事件的建模更加真實準(zhǔn)確。但基于IFS的模型仍存在一定的缺陷，因為它要求滿足μ+ν≤1。為了模擬更多真實復(fù)雜事物，有時元素對集合的隸屬度和非隸屬度之和可能超過1。為解決此問題，YAGER[3]提出了畢達哥拉斯模糊集 (pythagorean fuzzy set, PyFS) 的概念，PyFS允許μ2+ν2≤1，可以為元素的模糊性給出更寬泛的特征表示。2017年，YAGER等[4]又提出了更廣義的q階模糊集 (q-rung orthopair fuzzy set,q-ROFS) 的概念，將隸屬度和非隸屬度的限制拓展到μq+νq≤1 (q≥1)。目前該理論已被廣泛應(yīng)用于多屬性決策、模式識別等領(lǐng)域，并取得眾多出色成果[5]。

然而，當(dāng)面對更多數(shù)據(jù)類型的決策問題時，IFS、PyFS、q-ROFS等模型也有其局限性。比如專家在給一篇文章提出審稿意見時，可能不僅僅是“接受”或“拒絕”，也有可能是“修改”或“不推薦”。針對這種可能，CUONG等[6]提出了圖模糊集框架 (picture fuzzy set, PFS)，不僅包含元素的隸屬度μ與非隸屬度ν，還包含猶豫度π，并滿足μ+π+ν≤1，從而也可定義拒絕度r=1-μ-π-ν，為處理不確定信息又提供了一個有力的工具。PFS是目前研究成果最為豐富的領(lǐng)域之一，大量學(xué)者進行了相關(guān)研究。WEI[7]研究了PFS相關(guān)的相似性測度并應(yīng)用于模式識別問題中。SON[8]研究了基于PFS的模糊聚類相關(guān)問題。JANA等[9]研究了圖模糊聚合算子相關(guān)問題并成功應(yīng)用于多屬性決策。與IFS發(fā)展過程中存在的問題類似，PFS作為其擴展的模糊集，關(guān)于元素的模糊特征范圍也在不斷深入。但是在某些情形下，如μ=0.3、π=0.5、ν=0.6時，0.3+0.5+0.6>1，這時PFS顯然是不適用的。為此，MAHMOOD等[10]提出了球形模糊集 (spherical fuzzy set, SFS) 和T-球形模糊集 (T-spherical fuzzy set, TSFS) 的概念，其中SFS滿足μ2+π2+ν2≤1，TSFS滿足μq+πq+νq≤1 (q≥1)。相比于PFS和SFS，TSFS更大程度地體現(xiàn)元素的模糊性。當(dāng)μq+πq+νq=1時，TSFS可以看作是q-ROFS。換句話說，F(xiàn)S、IFS、PFS、SFS和q-ROFS等都可以看作TSFS的特殊情形。

在模糊集理論的實際應(yīng)用過程中，由于對于元素與某個復(fù)雜集合間關(guān)系的認(rèn)知可能是十分模糊的，其中的隸屬度、非隸屬度、猶豫度也可能無法用精確的數(shù)值來表示。采用區(qū)間數(shù)替代精確的數(shù)字可以更好地表示元素對集合隸屬程度的原始信息，避免過多的丟失信息。因此，許多學(xué)者探討了各種基于區(qū)間數(shù)的模糊集情形，如區(qū)間值模糊集[11](interval-valued fuzzy set, IVFS)、區(qū)間值直覺模糊集[12](interval-valued intuitionistic fuzzy set, IVIFS)、區(qū)間值畢達哥拉斯模糊集[13](interval-valued pythagorean fuzzy set, IVPyFS)、區(qū)間值q階模糊集[14](interval-valuedq-rung orthopair fuzzy set, IVq-ROFS)、區(qū)間值圖模糊集[15](interval-valued picture fuzzy set, IVPFS)和區(qū)間值球模糊集[16](interval-valued spherical fuzzy set, IVSFS)等。ULLAH等[17]則將TSFS推廣到區(qū)間值T-球形模糊集(interval-valuedT-spherical fuzzy set, IVTSFS)，將隸屬度μ、隸屬度ν、猶豫度π的取值由[0,1]中的實數(shù)推廣至[0,1]中的區(qū)間數(shù)，使其描述元素的模糊性更加全面，所提出的基于IVTSFS的幾種集成算子方法已成功運用于相關(guān)的金融投資領(lǐng)域，是目前較為先進且強大的模糊集模型，上述的模糊集都可以看作IVTSFS的特殊情況。

另一方面，距離測度是模糊集研究中的一個重要課題，廣泛應(yīng)用于多屬性決策、模式識別、醫(yī)療診斷和聚類分析等領(lǐng)域。最廣泛應(yīng)用的距離測度有Hamming距離測度、Euclidean距離測度和廣義Euclidean距離測度等。目前許多學(xué)者在多種模糊集上建立了距離測度的相關(guān)研究[18-19]，但基于IVTSFS的相關(guān)距離測度研究還十分缺乏，因此探究基于IVTSFS的距離測度相關(guān)性質(zhì)與方法是十分必要的。

1 預(yù)備知識

1.1 基本定義

為了方便起見，在不引起混淆的情況下，用(μ,π,ν)表示一個T-球形模糊數(shù)(T-spherical fuzzy number, TSFN)。

不同情形下的IVTSFS可看作不同的模糊集。①TSFS：若μL=μR=μ,πL=πR=π,νL=νR=ν；②IVSFS：若q=2；③SFS：若q=2,μL=μR=μ,πL=πR=π,νL=νR=ν；④IVPFS：若q=1；⑤PFS：若q=1,μL=μR=μ,πL=πR=π,νL=νR=ν；⑥IVq-ROFS：若πL=1-μR-νR,πR=1-μL-νL；⑦q-ROFS：若μL=μR=μ,νL=νR=ν,πL=πR=1-μ-ν；⑧IVPyFS：若q=2,πL=1-μR-νR,πR=1-μL-νL；⑨PyFS：若q=2,μL=μR=μ,νL=νR=ν,πL=πR=1-μ-ν；⑩IVIFS：若q=1,πL=1-μR-νR,πR=1-μL-νL；IFS：若q=1,μL=μR=μ,νL=νR=ν,πL=πR=1-μ-ν；IVFS：若q=1,νL=1-μR,νR=1-μL；FS：若q=1,μR=μL=μ,νL=νR=1-μ。

1.2 區(qū)間值T-球形模糊集的得分因子與精確因子

SC(α)=

AC(α)=

顯然SC(α)∈[-1,1],AC(α)∈[0,1]。對任意的兩個IVTSFNα和β:①若SC(α)>SC(β)，則α?β。②若SC(α)AC(β)時，則α?β；當(dāng)AC(α)

2 區(qū)間值T-球形模糊集距離測度

2.1 區(qū)間值T-球形模糊集距離測度

定義4設(shè)A、B∈IVTSFS(X), 設(shè)D是一個映射，D∶IVTSFS(X)×IVTSFS(X)→[0,1]。若滿足下列條件：①0≤D(A,B)；②D(A,B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=B；③D(A,B)=D(B,A)；④?C∈IVTSFS(X),滿足D(A,C)≤D(A,B)+D(B,C)，則稱D(A,B)為A、B之間的一個IVTSFS距離測度。

2.2 區(qū)間值T-球形模糊集的標(biāo)準(zhǔn)距離測度

定義5設(shè)X={x1,x2,…,xn}，A、B∈IVTSFS(X)，則A、B之間的Hamming距離測度定義為:

定義6設(shè)X={x1,x2,…,xn}，A、B∈IVTSFS(X),則A、B之間的Euclidean距離測度定義為：

2.3 區(qū)間值T-球形模糊集的廣義加權(quán)距離測度

定義7設(shè)X={x1,x2,…,xn}，A、B∈IVTSFS(X)，則A、B之間的廣義加權(quán)距離測度定義為：

2.4 區(qū)間值T-球形模糊集的廣義二重加權(quán)距離測度

對一項投票結(jié)果，決策人可能更看重支持的人數(shù)，而謹(jǐn)慎考慮反對、中立和棄權(quán)人數(shù)對結(jié)果所造成的影響。所以有理由相信對隸屬度、猶豫度、非隸屬度和拒絕度進行賦權(quán)以得到符合實際決策人偏好的結(jié)果?；谶@種情況，提出廣義二重加權(quán)距離測度。

定義8設(shè)X={x1,x2,…,xn}，A、B∈IVTSFS(X)，則A、B之間的廣義二重加權(quán)距離測度定義為:

2.5 對比分析

考慮到目前還沒有學(xué)者針對IVTSFS研究相關(guān)距離測度問題，選擇將上述距離測度退化至下列模糊環(huán)境下的距離測度進行對比。通過對比，從理論上說明其廣泛性與全面性。

1.通過“汽車勻速行駛時，路程隨時間的變化”讓學(xué)生觀察和思考：什么在變？什么沒變？初步感知“正比例的意義”。

綜上，無論是理論方面或者物理意義方面，都說明了廣義二重加權(quán)距離測度比傳統(tǒng)的模糊集距離測度更具有全面性。為了更加突出參數(shù)lμ、lπ、lν、lr對最終決策影響的作用。下文默認(rèn)參數(shù)λ的取值為2。

3 應(yīng)用與實例

3.1 多屬性決策

(1)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣。

(2)計算備選方案的正理想解A+與負理想解A-。

(4)對貼近度進行排序。若Ki越小，則Ai與正理想解的距離越近，即Ai越優(yōu)。

例1參考文獻[17]中的案例，一家跨國公司需要宣布其下一財年的投資政策，有4種方案需要評估。這4種方案中分別對應(yīng)4個可能的投資地點，即A1巴基斯坦、A2伊朗、A3阿聯(lián)酋、A4孟加拉國。從舒適區(qū)C1、政府法規(guī)C2、人民利益C3、市場競爭C44個屬性對4個投資方案進行評估。假設(shè)所有屬性都是有益的，設(shè)屬性的權(quán)重向量ω=[0.22,0.34,0.27,0.17]。政策制定者以IVTSFN的形式提出相關(guān)意見，如表1所示。當(dāng)q=5時，決策矩陣所有值都是IVTSFN；當(dāng)q<5時，有些值并不是IVTSFN，因此取q=5。

表1 例1中的區(qū)間值T-球形模糊決策矩陣(q=5)

通過計算得到正、負理想解A+=([0.8,0.8],[0.0,0.3],[0.5,0.6]),( [0.5,0.7],[0.3,0.6],[0.3,0.3]),([0.7,0.9],[0.3,0.3],[0.1,0.3]),([0.3,0.8],[0.4,0.6],[0.2,0.2]);A-=([0.2,0.2],[0.5,0.5],[0.2,0.6]),( [0.1,0.5],[0.3,0.6],[0.4,0.7]),([0.2,0.7],[0.4,0.4],[0.3,0.5]),([0.3,0.4],[0.4,0.8],[0.4,0.4])。

依據(jù)定義的廣義二重加權(quán)距離測度，選取不同的參數(shù)來計算各個方案的貼近度，貼近度越小代表方案距正理想方案距離越小，即代表方案越優(yōu)，結(jié)果如表2所示。由表2可知，對比文獻[17]所采用集成算子相關(guān)方法評估方案，使用集成算子IVTSFWA得到最終排序結(jié)果為A3?A4?A2?A1，利用集成算子IVTSFWG得到最終排序結(jié)果為A3?A2?A4?A1。使用這兩種集成算子得出的最優(yōu)方案都是方案A3。與筆者所提算法得到的最優(yōu)方案絕大部分是一致的，說明了原文方法是有效的。若決策方案對反對意見十分在意時，通過加強非隸屬度的權(quán)重，如選取參數(shù)lμ=0.05、lπ=0.10、lν=0.80、lr=0.05時，結(jié)果發(fā)生了改變，最優(yōu)方案變?yōu)锳4。這說明相比文獻[17]的集成算子方法，筆者所提算法能夠通過更加靈活的參數(shù)選取，得到更多、更全面的符合實際需求的結(jié)果?？傊?，無論是傳統(tǒng)的Hamming距離、Euclidean距離或者是集成算子的方法，都未考慮到?jīng)Q策人對獲得信息的偏好程度對最終結(jié)果所造成的影響。而筆者提出的廣義二重距離測度能夠適應(yīng)更多的決策態(tài)度，從而得到更加全面的結(jié)果。

表2 例1排序結(jié)果

3.2 模式識別

具體算法：①通過所定義的廣義二重加權(quán)距離測度計算每個模式與待識別模式T的距離；②對距離進行排序，距離越小代表模式越相近。

例2假設(shè)一家建筑公式需要將一種新型建筑材料T歸類到目前已知3種建筑材料Si(i=1,2,3)中去，并根據(jù)4種特征Xj(j=1,2,3,4)進行區(qū)分，特征權(quán)重向量ω=[0.15,0.35,0.40,0.10]，對應(yīng)的模糊決策矩陣如表3所示。當(dāng)q=3時，決策矩陣所有值都是IVTSFN；當(dāng)q<3時，有些值并不是IVTSFN，因此取q=3。

表3 例2區(qū)間值T-球形模糊決策矩陣(q=3)

選取不同的參數(shù)lμ、lπ、lν、lr計算已知材料與未知材料的距離，如表4所示。由表4可知，當(dāng)考慮第1、2、5種決策情形時，未識別的建筑材料T歸類于S3中；而當(dāng)考慮第3、4兩種決策情形時，未識別的建筑材料T則歸類于S1。結(jié)果對比可以說明，建筑材料T大概率屬于S3，小概率屬于S1，不屬于S2。

4 結(jié)論

(1)基于區(qū)間值T-球形模糊集，提出了幾種由傳統(tǒng)的模糊集距離測度在區(qū)間值T-球形模糊集上的擴展，并證明了這幾種距離測度滿足相關(guān)的性質(zhì)。為了更加符合實際決策態(tài)度，提出一種基于區(qū)間值T-球形模糊集的廣義二重加權(quán)距離測度，從理論上說明了相對于傳統(tǒng)的距離測度，該方法更具有廣泛性與全面性。將這種距離測度應(yīng)用于解決區(qū)間值T-球形模糊集環(huán)境的多屬性決策方法及模式識別問題，證實了其可行性與有效性。

(2)未來可考慮開發(fā)出基于區(qū)間值T-球形模糊集的廣義二重加權(quán)距離測度的屬性參數(shù)確定方法，并研究IVTSFS的相似性測度、熵測度與偏好關(guān)系等問題，然后基于這些研究開發(fā)出相關(guān)算法用于多屬性決策、模式識別、聚類分析等領(lǐng)域。另外，也將考慮IVTSFS與粗糙集理論相結(jié)合，探究區(qū)間值T-球形模糊粗糙集在粒計算相關(guān)領(lǐng)域的基礎(chǔ)應(yīng)用。