識(shí)圖—析圖—研圖 彰顯思維品質(zhì)

【摘 要】 課堂教學(xué)中正確引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖、析圖、研圖，可以幫助充分理解圖形的本質(zhì)，使問題得到不斷分解和轉(zhuǎn)化.啟發(fā)學(xué)生從不同角度觀察、思考、探索解決問題的途徑，讓學(xué)生參與到問題的探索中，感受在變化中不變的規(guī)律，以達(dá)到梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)和促進(jìn)教學(xué)的目的.

【關(guān)鍵詞】 課堂教學(xué);圖形構(gòu)建;方法策略

習(xí)題講評課是一線教師較為頭疼的一類課型，課堂上教師往往會(huì)采取一講到底的形式，而學(xué)生也只是一味地接受教師的講授.久而久之，班級中學(xué)習(xí)能力較為薄弱的學(xué)生對習(xí)題講評課越來越不感興趣，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展極其不利.筆者在八年級平行四邊形這一章后的一次習(xí)題講評課中，對一道四邊形習(xí)題進(jìn)行深入挖掘，對平行四邊形的判定及中位線的性質(zhì)進(jìn)行了回顧.以下就這一題的分析進(jìn)行總結(jié)梳理，與大家共同分享.

1 原題呈現(xiàn)

如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）.DE∥AB交AC于點(diǎn)F，CE∥AM，連結(jié)AE.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí)，求證：四邊形ABDE是平行四邊形;

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.

2 教學(xué)片段

師：你想通過哪個(gè)判定定理來判定這一四邊形是平行四邊形？

生1：一組對邊分別平行且相等.

師：為什么用這一判定方法？

生1：因?yàn)橐呀?jīng)知道了AB∥DE，只要再讓AB與DE相等即可.

師：那么，要證明兩條線段相等，常用的方法是什么？

生1：三角形全等.

師：非常好，請你說一說具體的證明過程.

生1：因?yàn)镈E∥AB，所以∠EDC=∠ABM，因?yàn)镃E∥AM，所以∠ECD=∠ADB，

又因?yàn)锳M是△ABC的中線，且D與M重合，所以BD=DC，所以△ABD≌△EDC，

所以AB=ED，又因?yàn)锳B∥ED，所以四邊形ABDE為平行四邊形.

評析 第（1）小題的教學(xué)采用師生對話的形式，在提問時(shí)突出對平行四邊形判定的引導(dǎo)，根據(jù)題目中已有的條件，選擇合適的判定定理解決問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成三角形全等來證明兩條線段長度相等.在教學(xué)中，對于解題方法的引導(dǎo)至關(guān)重要，教師在課堂上可以進(jìn)一步追問：已經(jīng)知道了一組對邊平行，除了證這一組對邊相等之外，還可以有什么方法？從而達(dá)到對數(shù)學(xué)核心知識(shí)挖掘的目的.

師：請大家觀察第（1）小題與第（2）小題的聯(lián)系和區(qū)別，請組內(nèi)交流解決問題的方法.

生2：（解法一）結(jié)論成立，理由如下：

如圖3，過點(diǎn)M作MG∥DE交EC于點(diǎn)G，因?yàn)镃E∥AM，所以四邊形DMGE為平行四邊形，所以ED=GM且ED∥GM，由（1）可得AB=GM且AB∥GM，所以AB=ED且AB∥ED.所以四邊形ABDE為平行四邊形.

師：你是如何想到添加這一輔助線的？

生2：我發(fā)現(xiàn)了這一小題D點(diǎn)在動(dòng)，但是始終有平行，所以想把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成第（1）小題.

師：非常好，這位同學(xué)通過構(gòu)造一組平行線發(fā)現(xiàn)了依舊有三角形全等，同時(shí)根據(jù)平行四邊形的對邊相等進(jìn)行等線段的轉(zhuǎn)化.那么，大家還有不同的構(gòu)造平行四邊形的方法嗎？

生3：（解法二）如圖3，在EC上截取EG=MD，構(gòu)造出DMGE，可得DE=MG，再由（1）可得AB=MG，則AB=DE，所以四邊形ABDE為平行四邊形.

師：這兩位同學(xué)雖然輔助線添加的方法不一樣，但都是想通過構(gòu)造平行四邊形解決問題.其實(shí)，我們也可以看作相當(dāng)于把這個(gè)動(dòng)點(diǎn)D“拉回到”起始點(diǎn).這種“回到原點(diǎn)”的想法，在解題過程中非常重要.那么，大家想一想，是否還有不同的構(gòu)造方法？

生4：（解法三）如圖4，過點(diǎn)D作DN∥BC交EC于點(diǎn)N，因?yàn)镃E∥AM，所以四邊形DMCN為平行四邊形，所以DN=CM且ND∥CM，則由M是BC的中點(diǎn)得MB=MC，所以MB=DN.從而可證△ABM≌△EDN.

所以AB=ED，AB∥ED.所以四邊形ABDE為平行四邊形.

師：這種做法非常巧妙，剛才我們把D點(diǎn)“拉回來”，而現(xiàn)在我們是把M“移上去”.同樣也出現(xiàn)了三角形全等和平行四邊形，其問題解決的本質(zhì)是一致的.

生5：（解法四）如圖4，在EC上取點(diǎn)N使CN=DM，連接DN，則四邊形DMCN是平行四邊形，同樣可證△ABM≌△EDN，所以AB=ED且AB∥ED.所以四邊形ABDE為平行四邊形.

評析 方法一與方法二都是構(gòu)造出DMGE，方法三與方法四都是構(gòu)造出DMCN，他們分別在已知一組對邊平行的情況下，根據(jù)平行四邊形的判定定理，再使得這組對邊相等或另一組對邊平行來實(shí)現(xiàn)構(gòu)造.其目的是通過等線段的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)AB與DE相等.雖然構(gòu)造的方法略有不同，但其本質(zhì)是一致的，都轉(zhuǎn)化為了第（1）小題中“雙平行、等線段證全等”的問題（如圖5所示）.通過學(xué)生的回答，讓學(xué)生進(jìn)一步明確了在已知一組邊平行的基礎(chǔ)上，要得到平行四邊形可以通過這組邊相等或另一組邊平行來證明.教學(xué)中應(yīng)突出對問題本質(zhì)的挖掘，讓學(xué)生體會(huì)不同輔助線的添法背后所蘊(yùn)含的解決問題的方法——得到一對全等三角形和一個(gè)平行四邊形，故也可以通過如下輔助線的添法：過點(diǎn)E作EQ∥BC交MA的延長線于點(diǎn)Q，則得QMCE和△ABM≌△DEQ（如圖6），具體證明過程就不再贅述.

生6：（解法五）如圖7所示，已知M是BC的中點(diǎn)，則可取相鄰一邊EC的中點(diǎn)N，連接MN，BE，則MN是△BCE的中位線，記AM與BE交于點(diǎn)O，則MN∥BE，故圖中又出現(xiàn)“雙平行，等線段”圖形（如圖2），故△OBM≌△NMC，所以得BO=MN，又因?yàn)镸N∥BE，MA∥EC，則四邊形OMNE是平行四邊形，所以MN=OE，所以O(shè)B=OE，故可以證△OBA≌△OED，得AO=DO，則四邊形ABDE為平行四邊形.

師：你是怎么想到這一做法的？

生6：我看到題目中有一個(gè)中點(diǎn)，那就想到是否可以通過中位線來證明.發(fā)現(xiàn)題目中只有一個(gè)中點(diǎn)，便想再找一個(gè)中點(diǎn)，來構(gòu)造出一條三角形的中位線，就可以證明了.

評析 上述證法看似有些繁瑣，但是學(xué)生借助條件中的中點(diǎn)構(gòu)造出中位線，再借助第（1）小題中所出現(xiàn)的全等三角形來解決問題，抓住了問題的本質(zhì)，抓住了核心圖形——“雙平行、等線段證全等”（如圖8）.在教學(xué)的過程中，通過對中點(diǎn)的引導(dǎo)，可以幫助學(xué)生解決問題.但本題對中點(diǎn)的探究不

止于此，學(xué)生又提出可以用“倍長中線法”來解決這一問題，經(jīng)過討論，便得到了以下證法.

生7：（解法六）如圖9所示，延長AM至點(diǎn)P，使得AM=MP，連接PC，易證△ABM≌△PCM，所以AB∥PC且AB=PC，由AP∥EC，DE∥PC得四邊形DPCE是平行四邊形，所以DE=PC，所以AB∥DE且AB=DE，所以四邊形ABDE是平行四邊形.

師：同學(xué)們都非常善于思考問題，都對題目中給出的條件進(jìn)行了深入挖掘，能抓住問題的本質(zhì)，對平行四邊形的各種判定方法融會(huì)貫通，并有很多解題經(jīng)驗(yàn)的積累和應(yīng)用.那么，讓我們進(jìn)一步思考：若點(diǎn)D在直線AM上運(yùn)動(dòng)，四邊形ABDE始終是平行四邊形嗎？請同學(xué)們自主畫圖探究.

評析 以上問題的提出是基于對這一問題本質(zhì)的進(jìn)一步挖掘，其目的是檢測學(xué)生是否能在變化的過程中，抓住核心問題，找到基本圖形來解決問題.同時(shí)通過畫圖，讓學(xué)生感受在變化中不變的規(guī)律，從而激發(fā)學(xué)生探尋知識(shí)的激情.通過學(xué)生自主探索，再加以幾何畫板的演示（如圖10、圖11），實(shí)現(xiàn)對這一問題的升華.

3 教學(xué)啟示

習(xí)題講評課是初中數(shù)學(xué)課堂中的常見課型，通過習(xí)題教學(xué)可以幫助學(xué)生解決問題、消化某些困惑，糾正問題，同時(shí)也能達(dá)到梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)、完善知識(shí)系統(tǒng)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和促進(jìn)教學(xué)的目的.當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂注重對學(xué)生素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，在教學(xué)中正確引導(dǎo)學(xué)生“識(shí)圖、析圖、研圖”至關(guān)重要，因此在教學(xué)中應(yīng)注重以下幾點(diǎn).

3.1 選少題，選好題

教師在籌劃選題時(shí)，應(yīng)根據(jù)學(xué)情，結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)，有側(cè)重地講題.對于綜合性較強(qiáng)的題，通過對問題的層層深入，在符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，對不同層次的學(xué)生提出不同的要求，這樣才能收到實(shí)效.在本節(jié)課的教學(xué)中，選擇這一中考題是因?yàn)槠淇疾斓闹R(shí)是平行四邊形的判定，對于學(xué)生目前所學(xué)內(nèi)容有較強(qiáng)的針對性.本題雖有一定的難度，但在教學(xué)的設(shè)計(jì)上，通過教師的層層引導(dǎo)，對平行四邊形的幾種判定方法均進(jìn)行了合理有效的使用，讓學(xué)習(xí)在一題的研究中達(dá)到對基礎(chǔ)知識(shí)的梳理和總結(jié)的效果.

3.2 重啟發(fā)，講透題

教學(xué)中教師應(yīng)注重啟發(fā)的層次和角度.對于一道題，教師要善于通過層層啟發(fā)，使問題得到不斷分解和轉(zhuǎn)化.啟發(fā)學(xué)生從不同角度觀察、思考、探索解決問題的途徑，讓更多的學(xué)生參與到問題的探究中，從而拓寬學(xué)生的思路，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生高階思維的目的.在本節(jié)課的教學(xué)中，教師在每個(gè)方法得出后都能進(jìn)行方法的提煉，對問題的本質(zhì)進(jìn)行深入挖掘，并在學(xué)生遇到困難時(shí)給予一定的啟發(fā)，讓多種思維在課堂上碰撞，激發(fā)學(xué)生的求知欲，對各種解題方法的得出也有理有據(jù)，明確了思考的方向，對問題的探索也逐漸明朗.

3.3 勤提煉，留遐想

課堂的精彩源于學(xué)生，源于對本質(zhì)的挖掘.若教師能在習(xí)題講解后通過提煉得出解決此類問題的一般方法，或者幫助學(xué)生突破題意解決問題，這對學(xué)生的幫助是巨大的.本習(xí)題課的教學(xué)中，教師最后對學(xué)生如何合理使用中點(diǎn)提出自己的想法，讓學(xué)生感受中點(diǎn)的價(jià)值.同時(shí)，為了能讓學(xué)生更好地理解變化中不變的基本圖形，教師提出若點(diǎn)D在直線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否還有一樣的結(jié)論.通過幾何畫板的演示，讓學(xué)生充分理解了這一圖形的本質(zhì)，留給學(xué)生充分想象的空間.

世人常說世事應(yīng)遵從“合情合理”，筆者以為，我們的課堂教學(xué)，也應(yīng)該追求一種“合情合理”的境界.當(dāng)我們看到，每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都是那樣的順暢、每一個(gè)問題都是那樣的自然、每一個(gè)學(xué)生都是那樣的心領(lǐng)神會(huì)時(shí)，細(xì)細(xì)品味，你會(huì)感覺到一切已盡在情理之中[1].參考文獻(xiàn)[1]劉金英.一切盡在情理之中——對“平行四邊形”概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2010（05）：12-13.

作者簡介 賀彥斌（1987—），男，浙江普陀人，中學(xué)一級教師;浙江省教壇新秀，曾獲浙江省初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比一等獎(jiǎng)，第九屆全國初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課評比一等獎(jiǎng);主要研究課堂教學(xué)方法與實(shí)踐.