高度非線性比例型混雜隨機微分方程的時滯反饋鎮(zhèn)定

馬雪茹， 尤蘇蓉

(東華大學 理學院， 上海 201620)

隨機時滯微分方程(stochastic delay differential equations, SDDEs)被廣泛應用于隨機時滯系統(tǒng)的建模分析[1-6]。事實上，這些系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)往往會發(fā)生突變，故引入連續(xù)時間馬爾科夫(簡稱“馬氏”)過程來模擬這些突變，從而產(chǎn)生了具有馬氏切換的 SDDEs，即混雜SDDEs。在局部Lipschitz條件和線性增長條件下，混雜SDDEs的解存在且唯一[7]。但在實際應用中，很多隨機系統(tǒng)不滿足線性增長條件，針對這類高度非線性混雜SDDEs，當系數(shù)滿足Khasminskii型條件時，解的存在唯一性、穩(wěn)定性問題得到了較為廣泛的研究[8]。此外，穩(wěn)定化分析也是微分方程研究的一個重要問題?？紤]一個不穩(wěn)定的隨機系統(tǒng)，為使該隨機系統(tǒng)變得穩(wěn)定，經(jīng)典方法是根據(jù)被控系統(tǒng)的當前狀態(tài)找到一個反饋控制器，使得受控系統(tǒng)穩(wěn)定。然而，鑒于狀態(tài)觀測與反饋控制到達系統(tǒng)之間存在時間間隔，依賴于過去狀態(tài)的控制則更為合理，因此反饋控制器應為時滯反饋控制器。自文獻[9]建立了一個關于高度非線性混雜SDDEs的時滯反饋控制新理論以來，不同類型微分方程的相關問題受到學者的廣泛重視。例如，文獻[10]討論了基于離散時間觀測反饋控制的高度非線性混合隨機微分方程的穩(wěn)定，文獻[11]通過反饋控制討論了高度非線性中立型混雜隨機微分方程的穩(wěn)定等。

比例型隨機微分方程(pantograph stochastic differential equations, PSDEs)是一類具有無界延遲的特殊隨機微分方程，在機械、生物、工程和金融等領域中得到了廣泛應用。文獻[12-16]討論了PSDEs的存在唯一性和穩(wěn)定性。但當給定的系統(tǒng)是高度非線性時，能否設計一個時滯反饋控制使得受控后PSDEs穩(wěn)定,這一問題目前還沒有結(jié)論。因此，有必要建立一個新的理論來說明如何設計時滯反饋控制來穩(wěn)定高度非線性混雜PSDEs。本文旨在設計一個時滯反饋控制來穩(wěn)定一類系數(shù)滿足Khasminskii型條件的高度非線性比例型混雜隨機微分方程。

1 問題背景及相關記號

設(Ω,,{t}t≥0,P)是一個完備概率空間，{t}t≥0是其上的一個σ域流，滿足通常條件(即單調(diào)遞增且右連續(xù)，0包含所有的P-零測集)。B(t)=(B1(t),B2(t),…,Bm(t))T是定義在該概率空間上的m維布朗運動。對于x∈n，用|x|表示其歐幾里得范數(shù)。若A是一個向量或者矩陣，使用AT表示其轉(zhuǎn)置，用表示它的跡范數(shù)。對于兩個實數(shù)a和b，記a∨b=max(a,b)，a∧b=min(a,b)。

令r(t),t≥0是該概率空間上的一個右連續(xù)的馬爾科夫鏈(簡稱馬氏鏈)，取值于有限狀態(tài)空間S={1,2,…,N}，其生成矩陣Γ=(γij)N×N定義為

考慮如下的比例型混雜隨機微分方程

dx(t)=f(x(t),x(θt),r(t),t)dt+g(x(t),x(θt),r(t),t)dB(t),t≥0

(1)

初值條件為

x(0)=x0∈n,r(0)=i0∈S

(2)

其中f:n×n×S×+→n，g:n×n×S×+→n×m分別為方程的漂移系數(shù)和擴散系數(shù)，0<θ<1為比例系數(shù)。假設方程(1)的兩個系數(shù)f和g滿足局部Lipschitz條件。

假設1假設對任意實數(shù)h>0，存在Kh>0 使得對任意關于(i,t)∈S×+，有

(3)

且存在常數(shù)K>0,q1>1及qi≥1(2≤i≤4)使得對任意(x,y,i,t)∈n×n×S×+，有

(4)

假設1保證式(1)具有唯一的最大局部解，該局部解可能在有限時間內(nèi)爆破。為避免這種可能的解爆破，需要施加以下Khasminskii條件。

假設2假設存在一組常數(shù)p,q,α1,α2,α3,α4，滿足α3>α4且

q>(p+q1-1)∨(2(q1∨q2∨q3∨q4))

p≥2(q1∨q2∨q3∨q4)-q1+1

(5)

其中，q1,q2,q3,q4如假設1給出，使得對任意(x,y,i,t)∈n×n×S×+有

(6)

傳統(tǒng)解的存在唯一性定理要求方程系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和線性增長條件。在局部Lipschitz條件和Khasminskii條件下，方程具有非線性特征，引理1給出了這類方程解的存在唯一性。

引理1[13]若假設1和2成立，則對式(2)給出的初值條件，方程式(1)在t∈[0,∞)上存在唯一的解x(t)。

雖然式(1)的解在假設1和2的條件下是有界的，但是方程可能不穩(wěn)定。在這種情況下，需要設計一個時滯反饋控制u(x(t-τ),r(t),t)使得受控方程式(7)變得穩(wěn)定。

dx(t)=[f(x(t),x(θt),r(t),t)+u(x(t-τ),

r(t),t)]dt+g(x(t),x(θt),r(t),t)dB(t)

(7)

其中，控制器u:×S×+→n為Borel可測函數(shù)。為了進一步討論需要，對方程式(7)加上初值條件，如式(8)所示。

{x(t):-2τ

(8)

同時，本文設計的控制函數(shù)將滿足假設3。

假設3存在一個正數(shù)κ，對所有x,y∈n,i∈S,且t≥0有

|u(x,i,t)-u(y,i,t)|≤κ|x-y|

(9)

此外，假設u(0,i,t)≡0。

也就是說，控制函數(shù)u(x,i,t)關于x是全局Lipschitz連續(xù)的，這個假設隱含了線性增長條件，如式(10)所示。

|u(x,i,t)|≤κ|x|?(x,i,t)∈n×S×+

(10)

2 主要結(jié)果

定理1在假設1和2條件下，若控制函數(shù)u滿足假設3，則對式(8)給出的初值條件，方程式(7)在t∈[-τ,∞)上存在唯一的解x(t)，且解x(t)具有性質(zhì)：

其中ε>0為方程β3+β4=ε+β3θ-ε+(1+τ)ε的唯一解，β3,β4,C由式(13)定義。

證明對任意(x,i,t)∈n×S×+，取V(x,i,t)=，定義函數(shù)LV(x,y,z,i,t):n×n×n×S×+→

由假設2和3有

(11)

取正數(shù)α<α3-α4及α5<α3-α4-α，利用Young不等式，方程式(11)可進一步變?yōu)?/p>

(12)

其中

β4=qα5

(β2-β3-β4)uq+p-2}<∞

(13)

下面將證明過程分兩步完成。

若能證明τ∞=∞，則可以得到σ∞=∞，即方程式(7)在t∈[-τ,∞)上存在唯一解得證。接下來給出τ∞=∞的證明。

EV(x(τk∧t),r(τk∧t),τk∧t)=V(x0,r0,0)+

將式(12)應用至上式得

EV(x(τk∧t),r(τk∧t),τk∧t)-V(x0,r0,0)≤

θβ3U2(x(θs),θs)+β4U2(x(s-τ),s-τ)}ds

對任意(x,t)∈n×+，取U1(x(t),t)=則有

U1(x(t),t)≤V(x,i,t)≤U2(x(t),t)

(14)

從而可以得到

EU1(x(τk∧t),r(τk∧t),τk∧t)≤U2(x0,0)+

τ),s-τ)ds≤K1+Ct

(2)對(1+t)εV(x(t),r(t),t)應用It公式。對t≥0有

E{(1+τk∧t)εV(x(τk∧t),r(τk∧t),τk∧t)}-

(1+s)εLV(x(s),x(θs),x(s-τ),r(s),s))ds

將式(12)和(14)應用至上式可進一步得到

E{(1+τk∧t)εU1(x(τk∧t),τk∧t)}-

U2(x(s-τ),s-τ)ds

(15)

從而式(15)可以進一步變?yōu)?/p>

E{(1+τk∧t)εU1(x(τk∧t),τk∧t)}≤

又由ε為方程β3+β4=ε+β3θ-ε+(1+τ)ε的唯一解，故

E{(1+τk∧t)εU1(x(τk∧t),τk∧t)}≤

令k→∞，則

對上式兩邊同時除以(1+t)ε+1，令t→∞得

由定理1可知，只要控制函數(shù)滿足假設3，被控制系統(tǒng)(7)保持給定式(1)的有界性。然而，這樣的控制可能無法穩(wěn)定給定的PSDEs。為了使被控系統(tǒng)(7)穩(wěn)定，需要更仔細地設計控制函數(shù)。

假設4設計控制函數(shù)u:n×S×+→n，存在實數(shù)正數(shù)以及非負數(shù)使得對所有(x,y,i,t)∈n×n×S×+有

(16)

且

(18)

(δ1,δ2,…,δN)T=1-1(1,1,…,1)T

定義函數(shù)U:n×S→+為

(19)

對于方程dx(t)=[f(x(t),x(θt),r(t),t)+u(x(t),r(t),t)]dt+g(x(t),x(θt),r(t),t)dB(t)

定義L1U為

L1U(x,y,i,t)=2δi[xT[f(x,y,i,t)+u(x,i,t)]|+

(20)

那么根據(jù)文獻[4]和假設4可知受控系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但實際應用中，采取時滯狀態(tài)反饋控制u(x(t-τ),r(t),t)更為合理，也就是說，受控的PSDEs形式應為方程(7)。接下來將分析如何找到τ>0，使得在時滯控制u(x(t-τ),r(t),t)下，方程(7)穩(wěn)定。

假設5存在8個正數(shù)ρj(1≤j≤8)且ρ4>ρ5,ρ6∈(0,1)，及函數(shù)W∈C(n;+)使得對所有(x,y,i,t)∈n×n×S×+有

(21)

且

(22)

定理2在假設1和2的條件下，若控制函數(shù)u滿足假設3和4并找出8個正數(shù)ρj(1≤j≤8)和函數(shù)W∈C(n;+)滿足假設5，且進一步保證τ足夠小并滿足則對式(8)給出的初值條件，方程(7)的解x(t)具有性質(zhì)：

(23)

證明下面將證明過程分三步完成。

(24)

dU(x(t),r(t))=L2U(x(t),x(θt),

r(t),t)dt+dM(t)

(25)

L2U(x,y,i,t)=L1U(x,y,i,t)-(2δi+

u(x(t-τ),r(t),t)]

另一方面由

dI(t)=(ζτ[τ|f(x(t),x(θt),r(t),t)+|

可以得到

(26)

其中，

[u(x(t),r(t),t)-u(x(t-τ),r(t),t)]+

ζτ[τ|f(x(t),x(θt),r(t),t)+u(x(t-τ),|

(27)

綜上由定理1和假設1、2、3、5可知

(28)

[u(x(t),r(t),t)-u(x(t-τ),r(t),t)]≤

利用已知條件2ζτ2≤ρ2，ζτ≤ρ3及假設5，式(27)進一步變成

(29)

(3)令k0>0為充分大的整數(shù)，使‖x0‖

k=inf{t≥0:|x(t)≥k|}

由定理1可知，當k→∞時，k→∞。利用廣義It公式，可以由式(26)得到對任意t≥0,k≥k0有

令k→∞，運用Fubini定理和控制收斂定理，對任意t≥0有

式(29)可進一步變?yōu)?/p>

(30)

另一方面由式(7)有

將上式代入式(30)中可進一步變?yōu)?/p>

從而有

令t→∞，由假設5得到

推論1在定理2的基礎上，將條件ρ6∈(0,1)替換成ρ6=1，則式(7)的解x(t)在初值條件下具有性質(zhì)：

3 算 例

考慮如下定義在t≥0上的比例型混雜隨機微分方程：

dx(t)=f(x(t),x(0.5t),r(t),t)dt+

g(x(t),x(0.5t),r(t),t)dB(t)

易知對任意q>6，當q1=3,q2=2,q3=1,q4=1.5,p=4時假設1成立。

對任意(x,y,i,t)∈××S×+有

即對任意q>6，當α1=0,α2=[1+0.01(q-1)2],α3=1,α4=0.04時假設2成立。

假設系統(tǒng)僅在模態(tài)1中可觀測而模態(tài)2中不能，那么僅能在模態(tài)1中使用反饋控制。取u(x,1,t)=-4x,u(x,2,t)=0，則當κ=4時，假設3成立。故由定理1得到受控系統(tǒng)在t∈[-τ,∞)上存在唯一的解x(t)，且解x(t)具有性質(zhì):

為驗證假設4，對任意(x,y,i,t)∈××S×+，有

故由式(16)和(17)得

從而假設4成立。

進一步，由式(19)得：

那么L1U(x,y,i,t)≤-x2+0.26y2-0.998 3x4+0.22y4-0.235x6+0.03y6。

又因為|f(x,y,i,t)|2≤x4+y4+8x6，|g(x,y,i,t)|2≤0.02y2+0.02y4

取ρ1=0.2，ρ2=0.006，ρ3=1，則

ρ2|f(x,y,i,t)|2+ρ3|g(x,y,i,t)|2≤

-0.95x2+0.28y2-W(x)+0.402 75W(y)

其中W(x)=0.867 3x4+0.072 5x6。所以當ρ4=0.95,ρ5=0.56,ρ6=0.805 5,ρ7=0.072 5,ρ8=0.506 2時，假設5成立。那么由定理2可知，當τ<0.008 728時，受控系統(tǒng)在控制函數(shù)下H∞穩(wěn)定。

4 結(jié) 語

針對高度非線性比例型混雜隨機微分方程的穩(wěn)定化問題，設計一個時滯反饋控制使得受控系統(tǒng)在局部Lipschitz條件和Khasminskii條件下的解存在且唯一，同時給出了這類方程解的有界性。通過一系列技巧對反饋控制進行處理，最終得到受控系統(tǒng)H∞穩(wěn)定的結(jié)論。后續(xù)可進一步研究高度非線性比例型混雜隨機微分方程的多項式穩(wěn)定、指數(shù)穩(wěn)定的條件與相關性質(zhì)。