基于區(qū)間化參數(shù)的平面閘門主梁撓度可靠度分析

張迅煒，鄭鼎聰，周建方

（河海大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇常州 213022）

0 引 言

對(duì)閘門主梁進(jìn)行撓度可靠度分析時(shí)，需要考慮3 個(gè)方面的因素。一是閘門主梁撓度的失效準(zhǔn)則存在模糊性，即主梁的撓度失效并非按閘門設(shè)計(jì)規(guī)范（SL74-2020）［1］中所規(guī)定的，相對(duì)變形超過限值即絕對(duì)失效，相對(duì)變形小于限值則絕對(duì)安全。事實(shí)上，主梁從安全狀態(tài)到失效應(yīng)是一個(gè)逐步過渡的過程，而不是一個(gè)絕對(duì)邊界。因此，常將主梁相對(duì)變形限值看作一個(gè)模糊變量。為使傳統(tǒng)的可靠度計(jì)算方法仍適用于含模糊變量的主梁撓度可靠度分析，可采用當(dāng)量隨機(jī)化方法將主梁相對(duì)變形限值由模糊變量轉(zhuǎn)化成隨機(jī)變量。

第二個(gè)因素是閘門主梁的抗力R。當(dāng)閘門主梁相對(duì)變形限值轉(zhuǎn)化成一個(gè)隨機(jī)變量后，抗力R也隨之確定。由文獻(xiàn)［2，3］可知，抗力R一般為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其數(shù)字特征主要受反映閘門主梁材料性能不定性的隨機(jī)變量KM、反映閘門主梁幾何尺寸不定性的隨機(jī)變量KA、反映閘門主梁抗力計(jì)算模式不定性的隨機(jī)變量KP以及相對(duì)變形限值的不定性K［w］的影響。KM、KA及KP可通過查閱文獻(xiàn)得到，K［w］亦可通過計(jì)算求得，最終由誤差傳遞公式可得抗力R的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。至此，抗力R的分布類型及數(shù)字特征可知，故工作的重點(diǎn)在于研究第三個(gè)因素，即閘門主梁所受的荷載S。

在閘門主梁所受所有荷載中，靜水壓力對(duì)其可靠性的影響程度最大，故本文主要針對(duì)靜水壓力進(jìn)行分析。目前，若要直接確定靜水壓力的隨機(jī)分布尚有困難。由文獻(xiàn)［4］可知，閘門作用水頭與靜水壓力呈近似線性關(guān)系。因此，可通過對(duì)閘門作用水頭進(jìn)行分析獲得靜水壓力的統(tǒng)計(jì)信息。然而，對(duì)閘門作用水頭進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析面臨著數(shù)據(jù)不足的問題。由于基于有限的樣本，難以建立閘門作用水頭準(zhǔn)確的概率模型，這使得可靠度分析的結(jié)果是否能夠代表真實(shí)情況存在較大爭議，該問題也在一定程度上限制了可靠性分析方法在閘門上的實(shí)際應(yīng)用。

為此，筆者認(rèn)為可對(duì)有限的閘門作用水頭資料進(jìn)行區(qū)間分析，將其均值及其標(biāo)準(zhǔn)差用區(qū)間量表示，并給出該區(qū)間包含參數(shù)真值的可信程度。此時(shí)，閘門可靠度分析由傳統(tǒng)的全概率模型計(jì)算轉(zhuǎn)為概率－區(qū)間混合模型計(jì)算。本文以丹江口水庫某一平面深孔閘門為例，分別采用全概率模型及概率－區(qū)間混合模型分析閘門主梁撓度可靠度。結(jié)果表明，區(qū)間-概率模型分析結(jié)果包含了全概率模型的結(jié)果，并能給出相應(yīng)的置信度，從而驗(yàn)證了靜水壓力的統(tǒng)計(jì)參數(shù)用區(qū)間變量表示的可行性。

1 靜水壓力統(tǒng)計(jì)分析

對(duì)閘門而言，最主要的荷載為靜水壓力，其大小通常用閘門作用水頭來描述。目前，所能得到的統(tǒng)計(jì)資料大多是大壩的水頭信息，因此，對(duì)閘門所受靜水壓力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，需將大壩水頭的統(tǒng)計(jì)資料轉(zhuǎn)化成閘門作用水頭資料。閘門的作用水頭HSG為：

式中：HS為大壩水頭；H0為閘門孔口底檻對(duì)壩底高度，當(dāng)大壩水頭取設(shè)計(jì)值HSd時(shí)可得對(duì)應(yīng)的閘門作用水頭設(shè)計(jì)值HSGd。

由于所能得到的閘門作用水頭的統(tǒng)計(jì)資料記錄年份有限，以此為子樣所求得的統(tǒng)計(jì)參數(shù)難以精確地描述大壩水頭（即母體）的概率分布。因此，可采用參數(shù)的區(qū)間值，同時(shí)此區(qū)間包含參數(shù)真值的可信程度，即統(tǒng)計(jì)學(xué)中的置信區(qū)間［5］。

依據(jù)中心極限定理，在子樣容量充分大時(shí)，子樣均值趨向正態(tài)分布。此時(shí)的母體標(biāo)準(zhǔn)差σ是未知的，按照文獻(xiàn)［6］，母體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知時(shí)，在置信水平為1-α?xí)r的母體均值m的置信區(qū)間為：

置信水平為（1-α）時(shí)母體的標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信區(qū)間為：

式中：S、n含義同前；(n- 1)與- 1)為卡方分布值。

為能夠描述靜水壓力的不定性，結(jié)合式（1），可采用無量綱統(tǒng)計(jì)參數(shù)。即：

2 閘門主梁抗力分析

2.1 極限狀態(tài)方程的建立

閘門主梁通常被簡化為受均布荷載的簡支梁，則其相對(duì)變形w為［7］：

式中：W為撓度；L為閘門主梁跨度；q為靜水壓力；E為閘門主梁的彈性模量；I為閘門主梁的截面慣性矩。

將其改寫成一般式可得：

式中：S為荷載效應(yīng)，S=q L2/8；C為與閘門主梁端部約束條件、跨度有關(guān)的系數(shù)，C=384/（40L）；EI為抗彎剛度。

依據(jù)閘門設(shè)計(jì)規(guī)范（SL74-2020），變形驗(yàn)算規(guī)定為：

由式（7）可建立閘門主梁正常使用極限狀態(tài)方程為：

式中：［w］是閘門主梁相對(duì)變形限值。

在閘門設(shè)計(jì)規(guī)范（SL74-2020）中為一定值，參考文獻(xiàn)［8，9］，認(rèn)為［w］為一模糊量更為合理（下文中將規(guī)范中規(guī)定的閘門主梁相對(duì)變形限值用［w］K表示），其隸屬函數(shù)為降半梯形分布（見圖1），即：

圖1 降半梯形隸屬函數(shù)

式中：x1，x2為兩個(gè)限值。

當(dāng)x＜x1時(shí)，認(rèn)為閘門主梁安全；x＞x2時(shí)，閘門主梁完全失效；x1≤x＜x2為過渡區(qū)，此時(shí)閘門主梁是否失效處于模糊狀態(tài)，由文獻(xiàn)［9］可知，露頂門x1=1/600，x2=1.1x1；潛孔門x1=1/750，x2=1.05x1。

由于結(jié)構(gòu)模糊失效域μ(x)與結(jié)構(gòu)模糊允許域互為補(bǔ)集，所以為升半梯形隸屬函數(shù)：

采用文獻(xiàn)［10］中的當(dāng)量隨機(jī)化方法，可將模糊量［w］轉(zhuǎn)化為隨機(jī)量，當(dāng)量隨機(jī)化后的均值及標(biāo)準(zhǔn)差為：

式中：x1與x2意義同上文。

在式（8）的極限狀態(tài)方程中，荷載效應(yīng)與抗彎剛度均在w中反映，與承載能力極限狀態(tài)方程的表示不一致，為此，定義：

將式（6）代入式（8），并結(jié)合式（12）的定義，有：

上式與承載能力極限狀態(tài)方程完全一致，可采用一次二階矩法進(jìn)行計(jì)算。

2.2 抗力的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

極限狀態(tài)方程式（13）中的抗力R可改寫成一般的表達(dá)式：

式中：RK為相對(duì)變形達(dá)到閘門設(shè)計(jì)規(guī)范（SL74-2020）規(guī)定的閘門主梁相對(duì)變形限值［w］K時(shí)計(jì)算所得的抗力標(biāo)準(zhǔn)值；KP、KM、KA及K［w］分別為反映計(jì)算模式、材料性能、幾何參數(shù)以及［w］不定性的隨機(jī)變量。

抗力的不定性用無量綱統(tǒng)計(jì)參數(shù)KR來描述：

KR的統(tǒng)計(jì)參數(shù)可基于M、F及P的統(tǒng)計(jì)參數(shù)由誤差傳遞公式推得，其平均值：

變異系數(shù)：

由（12）式可知，材料性能指的是鋼材的彈性模量，目前國內(nèi)統(tǒng)計(jì)量為KM= 1.0，δKM= 0.06；本文按文獻(xiàn)［11］中有關(guān)規(guī)定對(duì)焊接工字鋼截面統(tǒng)計(jì)參數(shù)分析的結(jié)果為KA=1.0，δKA= 0.022；由于閘門主梁是受彎構(gòu)件，根據(jù)文獻(xiàn)［12］，受彎構(gòu)件計(jì)算模式不定性統(tǒng)計(jì)參數(shù)為KP= 1.0，δKP= 0.1。將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（11），可得露頂門［w］當(dāng)量隨機(jī)化后所得隨機(jī)量的均值m=0.001 750，標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.000 048 1；潛孔門m=0.001 367，σ=0.000 019 2。

此時(shí)，K［w］為：

變異系數(shù)：

由式（18）及式（19）求得露頂門K[w]= 1.05，δK[w]= 0.027 5；潛孔門K[w]= 1.025，δK[w]= 0.014 0。結(jié)合式（16）、式（17）及有關(guān)數(shù)據(jù)，可得閘門主梁抗力的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表1。

表1 閘門主梁抗力統(tǒng)計(jì)參數(shù)

參考文獻(xiàn)［1，2］，閘門主梁抗力一般為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

3 概率—區(qū)間混合模型可靠度分析

帶有區(qū)間變量Y的隨機(jī)變量X從原空間映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間為：

對(duì)應(yīng)的原極限狀態(tài)方程在U空間的表達(dá)式為：

式中：Y為m維區(qū)間參數(shù)，Y∈［YL，YR］，YL和YR分別為區(qū)間參數(shù)的上下限。

由于區(qū)間變量的存在，原空間中的極限狀態(tài)方程映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間后，將形成一帶狀區(qū)域（極限狀態(tài)帶），此時(shí)的可靠度指標(biāo)β為一區(qū)間范圍［βL，βR］，βL、βR分別為原點(diǎn)到帶狀區(qū)域兩邊界的最短距離，見圖2。

圖2 極限狀態(tài)帶與可靠度指標(biāo)

由文獻(xiàn)［13］可知，若某一變量的累積概率密度函數(shù)CDF 關(guān)于其區(qū)間參數(shù)單調(diào)，則極限狀態(tài)帶的兩邊界必然對(duì)應(yīng)著區(qū)間參數(shù)的上下限。區(qū)間參數(shù)可根據(jù)其對(duì)CDF的影響分為第1類區(qū)間參數(shù)和第2 類區(qū)間參數(shù)［14］。其中，第1 類區(qū)間參數(shù)是指CDF 的單調(diào)性僅與其參數(shù)本身有關(guān)，與隨機(jī)變量無關(guān)，如正態(tài)分布中的均值μ；第2 類區(qū)間參數(shù)是指CDF 的單調(diào)性不僅與參數(shù)本身有關(guān)，且與隨機(jī)變量相關(guān)，如正態(tài)分布中的標(biāo)準(zhǔn)差σ。

對(duì)于第1 類區(qū)間參數(shù)，受該類參數(shù)影響所形成的極限狀態(tài)帶的邊界為光滑邊界，易知極限狀態(tài)帶的邊界與區(qū)間參數(shù)上下限的對(duì)應(yīng)關(guān)系與CDF 的單調(diào)性及功能函數(shù)的梯度值?G/?Y有關(guān)。常見的CDF與第1類區(qū)間參數(shù)的單調(diào)性關(guān)系見表2。

表2 常見的CDF與第1類區(qū)間參數(shù)的單調(diào)性關(guān)系

極限狀態(tài)帶的邊界與第1類區(qū)間參數(shù)上下限的具體對(duì)應(yīng)關(guān)系見表3。

表3 第1類區(qū)間參數(shù)上下限與極限狀態(tài)帶邊界的對(duì)應(yīng)關(guān)系

對(duì)于第2 類區(qū)間參數(shù)，在具體計(jì)算過程中產(chǎn)生交叉分段的情況。因此，需在確定第1 類區(qū)間參數(shù)與極限狀態(tài)帶邊界對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上將該類區(qū)間參數(shù)的上下限代入試算，以獲得可靠度指標(biāo)上下限βL及βR。

4 算 例

丹江口水庫一期工程的壩頂高程為162 m，最大壩高為97 m，相應(yīng)的正常高水位為157 m。其中某一平面潛孔門的孔口底檻高程為113 m，主梁材料為Q235 鋼。該水庫1970-1999年共計(jì)30年的年最高水位資料見表4。

由于表4 中所給數(shù)據(jù)為水庫水位，最終需將其轉(zhuǎn)化為閘門作用水頭數(shù)據(jù)。結(jié)合式（1）可知，閘門作用水頭=水位－閘門孔口底檻高程。這樣即可直接對(duì)閘門作用水頭進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。由于可靠度分析中常見的分布類型包括正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布及極值Ⅰ型分布，故假設(shè)閘門作用水頭服從上述三種分布，并在α=0.05 的置信度下采用K-S 檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果見表5。

表4 丹江口水庫年最高水位統(tǒng)計(jì)表

表5 閘門年最高作用水頭分布檢驗(yàn)

表5 中的結(jié)果表明，該閘門年最高作用水頭不拒絕正態(tài)分布及對(duì)數(shù)正態(tài)分布，但拒絕極值Ⅰ型分布。其中，正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)量小于對(duì)數(shù)正態(tài)的統(tǒng)計(jì)量。因此，采用正態(tài)分布對(duì)閘門年最高作用水頭分布進(jìn)行擬合的效果最佳。

由于樣本數(shù)量的限制，難以精確地得到閘門年最高作用水頭均值與標(biāo)準(zhǔn)差。因此，采用參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。依據(jù)式（2）及式（3）可求得該閘門在置信水平為0.95 時(shí)，年最高作用水頭均值mHSG的區(qū)間及年最高水位標(biāo)準(zhǔn)差σHSG的區(qū)間為：mHSG∈(38.5，41.65）；σHSG∈（3.346，5.648）。根據(jù)《水利水電工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50199-2013）［15］，對(duì)于正常使用極限狀態(tài)，作用的分項(xiàng)系數(shù)應(yīng)取為1.0，因此設(shè)計(jì)水位即為正常高水位。據(jù)此可推得閘門作用水頭設(shè)計(jì)值=正常水位－孔口底檻高程=44 m。

按式（4）可得靜水壓力的無量綱統(tǒng)計(jì)參數(shù)K，其均值mK的區(qū)間及標(biāo)準(zhǔn)差σK的區(qū)間為：mK∈(0.875，0.947）；σK∈(0.076 0，0.128 4）。由于閘門作用水頭用正態(tài)分布的擬合效果最佳，因此，可認(rèn)為靜水壓力服從正態(tài)分布。

抗力的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表1。依據(jù)上文中的概率—區(qū)間混合模型可靠度分析方法，可知mK=0.875 對(duì)應(yīng)極限狀態(tài)帶下界；mK=0.947對(duì)應(yīng)極限狀態(tài)帶上界。見表6。

表6 閘門主梁混合模型可靠度計(jì)算結(jié)果

若使用傳統(tǒng)的全概率模型進(jìn)行計(jì)算，則mK=0.911 1，σK=0.095 5，求得閘門主梁可靠度指標(biāo)β=0.724。對(duì)比表6中的結(jié)果可知，對(duì)靜水壓力統(tǒng)計(jì)參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)后按概率—區(qū)間混合模型計(jì)算出的可靠度指標(biāo)包含了全概率模型計(jì)算時(shí)的可靠度指標(biāo)結(jié)果。且相較于全概率模型，區(qū)間概率混合模型能給出結(jié)果在該區(qū)間內(nèi)的置信水平，可信度更高。

5 結(jié) 論

本文通過對(duì)有限的閘門作用水頭數(shù)據(jù)進(jìn)行區(qū)間分析，可將閘門靜水壓力統(tǒng)計(jì)參數(shù)用區(qū)間量表示。采用概率－區(qū)間混合的可靠度分析方法，以丹江口水庫中的深孔閘門為例，對(duì)其閘門主梁進(jìn)行了撓度可靠度分析，主要結(jié)論如下。

（1）用區(qū)間－概率混合模型計(jì)算的結(jié)果不僅包含了采用傳統(tǒng)全概率模型計(jì)算所得的可靠度指標(biāo)，且能給出可靠度指標(biāo)在該區(qū)間內(nèi)的置信水平，證明本文所采用的概率－區(qū)間混合的可靠度分析方法是合理可行的。

（2）采用區(qū)間化參數(shù)，能夠有效地解決由于樣本數(shù)據(jù)不足而無法得到閘門靜水壓力精確的概率分布的問題。 □