粗糙核算子在修正Morrey空間中的有界性

張 霖

(湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

當(dāng)x∈Rn及t>0時(shí),令B(x,t)為中心在x、半徑為t的一開(kāi)球。

令b是Rn中一局部可積函數(shù)，交換子[b,TΩ]定義為[b,TΩ]f(x)=b(x)TΩf(x)-TΩ(bf)(x)。高維的Marcinkiewicz積分算子μΩ定義為

1938年，Morrey為研究橢圓型偏微分方程解的存在性和可微性，引入Morrey空間Lp,λ(Rn)[1]。后來(lái)，Morrey空間被應(yīng)用于研究N-S方程[2-3]、薛定諤方程[4]和帶有不連續(xù)系數(shù)橢圓方程[5]。鑒于Morrey空間的重要性,人們開(kāi)始研究廣義Morrey空間[6]。2011年，文獻(xiàn)[7]提出了修正的Morrey空間，并研究了分?jǐn)?shù)次極大算子和帶有Riesz勢(shì)算子在修正的Morrey空間有界性。這里修正的Morrey空間是包含于Morrey空間與勒貝格空間之交。

1 記號(hào)和預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)論

證明當(dāng)q′

現(xiàn)在考察當(dāng)p=q′ 時(shí)的情形。取一球B=B(x,t)?Rn及作f=f1+f2(f1=fχB)分解， 得到

利用定理2，有

(1)

由此得到，

(2)

由式(1)和式(2)，定理4得證。

為了得到J2的估計(jì)，運(yùn)用H?lder’s不等式，得到

(3)

當(dāng)p=q′時(shí)，分為2種情況。

綜上，只要t>0，就有

(4)

當(dāng)p>q′時(shí)，有

(5)

利用H?lder’s不等式， 有

證明取一球B=B(x,t)?Rn及作如下分解f=f1+f2(f1=fχB)，有

由定理3，得到

(6)

為了估計(jì)K2，由不等式(3)和式(6)， 有

因此，當(dāng)1

(7)

結(jié)合不等式(6)～(7)，得到定理7。