K-g-框架的等價(jià)刻畫(huà)和K-框架交織的擦除

肖祥春,林澤平

(廈門(mén)理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 廈門(mén) 361024)

1952年，Duffin等[1]提出了Hilbert空間H中的框架概念，當(dāng)時(shí)并沒(méi)有引起學(xué)者們的太多關(guān)注。直到1986年，由于Daubechies等[2]的突出性研究,框架理論[3-5]才被學(xué)者們廣泛研究和關(guān)注。目前，框架理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于信號(hào)采樣[6]、量子力學(xué)[7]、圖像處理[8]、編碼與信號(hào)傳輸[9]等領(lǐng)域。

K-框架是Gavruta等[10]為研究原子分解而提出的一種與Hilbert空間有界線性算子K有關(guān)的框架。由于K-框架含有有界線性算子K[11-12]，Hilbert空間中的K-框架與經(jīng)典的框架有很多的不同，如：對(duì)于經(jīng)典框架而言，Hilbert空間中的元素序列{fi}i∈I構(gòu)成經(jīng)典框架等價(jià)于其合成算子是滿的，而{fi}i∈I構(gòu)成K-框架當(dāng)且僅當(dāng)其合成算子T是有界的，且滿足R(K)?R(T)。隨后K-框架在文獻(xiàn)[13]又被進(jìn)一步推廣到K-g-框架[14-15]。

設(shè){Λj:j∈J}為H關(guān)于{Vj:j∈J}的g-Bessel序列， {(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj關(guān)于權(quán)重{vjk}k∈Kj的fusion框架。 文獻(xiàn)[16]用給定序列{Λj:j∈J}的導(dǎo)出序列{ujk}j∈J,k∈Kj來(lái)等價(jià)刻畫(huà){Λj:j∈J}成為一個(gè)g-框架。受此啟發(fā)， 本文給出{Λj:j∈J}的另一種不同于文獻(xiàn)[16]的新的導(dǎo)出序列{vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}， 并用它來(lái)等價(jià)刻畫(huà){Λj:j∈J}構(gòu)成H的更一般的K-g-框架。特殊地， 若K=IH， 即可用{vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}來(lái)等價(jià)刻畫(huà){Λj:j∈J}構(gòu)成H的g-框架。文獻(xiàn)[17]討論了Hilbert空間K-框架的交織的擾動(dòng)和構(gòu)造，而對(duì)K-框架交織的擦除卻未涉及。本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論K-框架交織的擦除性，得到一個(gè)含有2個(gè)獨(dú)立參數(shù)的充分條件，使得在一對(duì)可K-交織的K-框架的基礎(chǔ)上擦除若干元素后剩下的元素仍然可K-交織。雖然文獻(xiàn)[18]也有討論框架交織的擦除，但本文的擦除結(jié)論里條件更一般，含有2個(gè)獨(dú)立參數(shù)。特殊地，若K=IH，即可得到文獻(xiàn)[18]對(duì)應(yīng)框架交織的擦除結(jié)論。

1 記號(hào)和預(yù)備知識(shí)

本文都采用如下的記號(hào)：H為一個(gè)可分Hilbert空間；若X、Y為Banach空間,記L(X,Y)表示從X到Y(jié)的有界線性算子的集合, 若X=Y, 則記為L(zhǎng)(X)，即L(X,X)=L(X)；K:H→H是H上的有界線性算子,即K∈L(H)；R(K)表示算子K的值域；J表示整數(shù)集的子集。

首先給出K-框架、K-g-框架、fusion框架和框架交織的定義和若干性質(zhì)。

定義1[10]139設(shè)K∈L(H)。序列{fi}i∈I?H稱(chēng)為H的K-框架,如果存在常數(shù)A、B>0，使得

(1)

成立。 稱(chēng)滿足式(1)的A、B為K-框架的下界和上界。 如果只有式(1)右邊的不等式成立,則稱(chēng){fi}i∈I為H的Bessel序列。

定義3[13]675設(shè)K∈L(H)。序列{Λj∈B(H,Vj):j∈J}稱(chēng)為H關(guān)于{Vj:j∈J}的K-g-框架，如果存在常數(shù)A、B>0，使得

(2)

注1若有界線性算子K=IH,則K-框架和K-g-框架即為經(jīng)典框架和g-框架。

下面回顧框架和K-框架的交織定義。

2 K-g-框架的等價(jià)刻畫(huà)

首先用導(dǎo)出序列{vjkπWjkΛj}j∈J,k∈Kj來(lái)等價(jià)刻畫(huà){Λj:j∈J}為H中的K-g-框架，其中{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj關(guān)于權(quán)重{vjk}k∈Kj的fusion框架。

證明因?yàn)閷?duì)任意的j∈J, {(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj關(guān)于權(quán)重{vjk}k∈Kj的界為Cj和Dj的fusion框架，有

(3)

2)?1)。設(shè){vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}為H關(guān)于{WjK:j∈J,k∈Kj}的K-g-框架，即有

(4)

對(duì)任意gj∈Vj，根據(jù)式(3)可知

(5)

在定理1中，如果K=IH，則由定理1很容易得到文獻(xiàn)[22]的推論2.3。

在定理1中，如果對(duì)任意的j∈J，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj關(guān)于權(quán)重{vjk}k∈Kj的Parseval fusion框架，則由定理1可進(jìn)一步得到推論2。

推論2設(shè){Λj:j∈J}為H關(guān)于{Vj:j∈J}的g-Bessel 序列，對(duì)任意j∈J，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj關(guān)于權(quán)重{vjk}k∈Kj的界為C的緊fusion框架。則下面的表述等價(jià)：1){Λj:j∈J}為H關(guān)于{Vj:j∈J}的界為A的緊K-g-框架；2){vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}為H關(guān)于{WjK:j∈J,k∈Kj}的界為AC的緊K-g-框架。

證明因?yàn)閷?duì)任意的j∈J，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj關(guān)于權(quán)重{vjk}k∈Kj的界為A的緊fusion框架，所以有

(6)

又因?yàn)閷?duì)任意的j∈J,f∈H,有Λjf∈Vj,結(jié)合式(6)可得

(7)

結(jié)論得證。

在推論2中，若對(duì)任意的j∈J，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj關(guān)于權(quán)重{vjk}k∈Kj的Parseval fusion框架，則進(jìn)一步可得推論3。

推論3設(shè){Λj:j∈J}為H關(guān)于{Vj:j∈J}的g-Bessel 序列，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj關(guān)于權(quán)重{vjk}k∈Kj的Parseval fusion框架。則下面的表述等價(jià)：1){Λj:j∈J}為H關(guān)于{Vj:j∈J}的界為A的緊K-g-框架； 2){vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}為H關(guān)于{WjK:j∈J,k∈Kj}的界為A的緊K-g-框架。

若對(duì)任意的j∈J， {(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj關(guān)于權(quán)重{vjk}k∈Kj的界為C的緊fusion框架，則可得{Λj:j∈J}和{(WjkΛj,vjk)}j∈J,k∈Kj的框架算子的關(guān)系。

命題1設(shè){Λj:j∈J}為H關(guān)于{Vj:j∈J}的g-Bessel 序列，對(duì)任意j∈J，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj關(guān)于權(quán)重{vjk}k∈Kj的界為C的緊fusion框架，則有SWΛ=CSΛ,其中SWΛ為{vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}的框架算子。

證明根據(jù)式(7)可知，〈SWΛf,f〉=〈CSΛf,f〉, ?f∈H, 即有〈(SWΛ-CSΛ)f,f〉=0。又因?yàn)閒∈H是任意的，所以有SWΛ=CSΛ。

3 K-框架交織的擦除

接下來(lái)討論K-框架的K-交織的擦除，即在一對(duì)可K-交織的K-框架的基礎(chǔ)上擦除若干元素，使得剩下的元素仍然可K-交織。為此先給出引理1。

引理1設(shè)X、Y為Banach空間，Q∈L(X,Y)。若R(Q)是閉的，則存在Q的偽逆算子Q+:Y→X，滿足

N(Q+)=R(Q)⊥,R(Q+)=N(Q)⊥,QQ+=IR(Q)。

(8)

特別地，如果有界線性算子Q可逆，則Q+=Q-1。

(9)

證明因?yàn)閧fi}i∈I和{gi}i∈I在H中可K-交織，A、B為其統(tǒng)一框架界，所以對(duì)任意子集σ?I，有

(10)

(11)

(12)

在式(12)中，若σ1=Iτ,則可知{fi}i∈Iτ為R(K)上的框架；若σ1=?,則可知{gi}i∈Iτ為R(K)上的框架。所以{fi}i∈Iτ和{gi}i∈Iτ在R(K)上可交織。

若在式(9)中分別令K=IH和C2=0，則由定理2可得到如下關(guān)于框架和K-框架擦除的2個(gè)推論。