初中數(shù)學(xué)整式運算中常見錯誤分析與對策

馬賢忠

摘 要：為了初中生更好地掌握整式運算這門專項知識，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解應(yīng)用，本文根據(jù)以往初中數(shù)學(xué)課堂中學(xué)生關(guān)于整式運算的計算內(nèi)容所出現(xiàn)的普遍錯誤點進行針對性分析，并對此進一步研究其成因，結(jié)合實際情況探討相對應(yīng)的解決措施，以更好地提高初等中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);整式運算;常見錯誤;分析與對策

【中圖分類號】G633.6? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號】1005-8877（2022）04-0107-03

Analysis and Countermeasures of Common Mistakes in Mathematical Integral

Operations in Junior High Schools

MA Xianzhong? （The No. 3 Middle School of Jianning County， Fujian Province， China）

【Abstract】In order for junior high school students to better grasp the special knowledge of integer operations and improve students’ understanding and application of mathematics， this article conducts a targeted analysis of common errors in the calculation content of integer operations in junior high school mathematics classrooms. This will further study its causes， and explore the corresponding solutions based on the actual situation， so as to better improve the quality of mathematics teaching in junior high schools.

【Keywords】Junior high school mathematics; Integer operations; Common mistakes; Analysis and countermeasures

小學(xué)階段過渡到初等中學(xué)之后學(xué)習(xí)的強度可謂是有了大幅度的提升。對于數(shù)學(xué)這個學(xué)科來說，它的難度更是讓不少學(xué)生抓耳撓腮，煩惱不已。其中，整式運算應(yīng)該是初中生步入初等中學(xué)開始進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所遇到的第一個山坡了，其結(jié)合以往小學(xué)的加減乘除運算作為基石，增加了去括號和合并同類項等的運算方法，還需要學(xué)生注意運算時負號的存在。這些計算方法成了初中生學(xué)習(xí)過程的難點重點，但也因為難度的加大和運算方法的豐富，才可以讓學(xué)生將以往的知識加以實踐拓展并鍛煉其思維能力以進一步探索充滿奧秘的數(shù)學(xué)知識海洋，也為下一階段步入高等院校學(xué)習(xí)做好充足的知識儲備和能力基礎(chǔ)。為此，分析初中生在運用整式運算過程計算時出現(xiàn)的共通錯誤點和探討如何解決成因問題是本文的重點內(nèi)容，并以加強初中生更好運用整式運算，夯實知識基礎(chǔ)為主要目的。

1.初中數(shù)學(xué)整式運算教學(xué)環(huán)節(jié)

（1）溫故知新，加深學(xué)習(xí)印象

在講授新課之前，引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)的舊知識，可以培養(yǎng)其良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣，有助于加深其學(xué)習(xí)印象，使之通過溫習(xí)，在舊知識中遷移出新知識，從而達到溫故知新的目的。比如，在講解北師大版七年級數(shù)學(xué)《整式的加減》部分內(nèi)容時，可以通過課堂提問的方式，帶領(lǐng)學(xué)生回顧整式中的單項式和多項式系數(shù)、次數(shù)含義，使學(xué)生能夠以回答問題的形式，溫習(xí)舊知識，加深學(xué)習(xí)印象。在提問的準備階段，教師將整式相關(guān)概念知識作為切入點，利用新穎問題來激起學(xué)生的思維浪花，使之能夠按照教師的指引對所學(xué)重點知識進行深入理解，在尋找問題答案的同時，逐步開闊思維。教師引導(dǎo)學(xué)生在舊知識中遷移出同類項知識，從“合并同類項”入手，將乘法分配律與合并同類項技巧相融合，使學(xué)生能夠懂得整式加減中“合并同類項”的技巧，切實提高預(yù)習(xí)質(zhì)量，養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣。

（2）熟能生巧，培養(yǎng)運算能力

在初中數(shù)學(xué)整式運算學(xué)習(xí)中，講解運算的技巧和解題方法，能夠幫助學(xué)生快速提高運算能力，從而達到熟能生巧。因此，為了幫助學(xué)生掌握整式運算的技巧，教師要培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的運算能力。比如，在講解北師大版七年級數(shù)學(xué)《整式的加減》部分內(nèi)容時，將“合并同類項”與“求平面幾何圖形面積”相融合，引導(dǎo)學(xué)生嘗試求解教材中“圖3-8”中的長方形面積。由于初中生在初次接觸整式運算知識時，很容易被整數(shù)加減知識誤導(dǎo)，而教師將整式運算融入幾何面積求解中，可以幫助學(xué)生通過實踐的方式，理解整式運算數(shù)學(xué)原理，從而夯實學(xué)生的理論基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其優(yōu)秀的運算能力。教師將課后“做一做”中的習(xí)題進行合理變式，鼓勵學(xué)生自行求解整式加減習(xí)題，讓學(xué)生在解題中檢驗自己的學(xué)習(xí)成果，同時培養(yǎng)其優(yōu)秀的運算能力，促進其解題效率和正確率同步提升。

（3）領(lǐng)悟反思，復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容

初中生已經(jīng)具備了基本的復(fù)習(xí)能力，教師在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟反思整式運算的學(xué)習(xí)情況，可以幫助其高效的進行復(fù)習(xí)，從而加深對所學(xué)知識的理解印象。比如，在講解北師大版七年級數(shù)學(xué)《整式的加減》部分內(nèi)容時，讓學(xué)生以合作討論的方式來總結(jié)整式加減計算步驟以及注意事項，教師則將學(xué)生的合作探究成果進行歸納，以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“去括號法則”、“合并同類項”的意義，使之能夠根據(jù)教師的指引，深刻理解整式加減的計算算理。再呈現(xiàn)此前學(xué)生經(jīng)常算錯的習(xí)題，讓學(xué)生按照“錯誤原因、改正辦法、注意事項”的順序進行回顧反思，使之能夠在復(fù)習(xí)整式加減運算知識的基礎(chǔ)上，歷經(jīng)特例歸納、領(lǐng)悟反思的全過程，在合作討論中形成優(yōu)秀的探究精神，不斷提高復(fù)習(xí)質(zhì)量，加深對整式運算的理解印象。

2.初中數(shù)學(xué)關(guān)于整式運算中普遍出現(xiàn)的問題

（1）常出現(xiàn)相關(guān)負號運算錯誤

在關(guān)于負號的整式運算中，常出現(xiàn)的首先是初中生不清楚負號與乘方之間的要素是否有關(guān)聯(lián)，接著是不懂得如何放置負號在去括號時的位置，然后就是不理解包括負號的代數(shù)式該如何進行合并同類項。比如說，在北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊的課后練習(xí)中：[--62=12]和[--22=-4]這類題型常常讓學(xué)生掉入陷阱，學(xué)生難以分辨第一個負號是否能與括號中的要素一同計算。又比如：在學(xué)生的做題結(jié)果中的[ab2-3ab2-2b+1=ab2-3ab2-6b+3]中，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在展開多項式時并沒有將負號與括號中的要素共同運算進來，導(dǎo)致了結(jié)果數(shù)字正確、符號錯誤，最終的結(jié)果還是錯誤。

（2）常出現(xiàn)乘方運算錯誤

在學(xué)生進行乘方運算過程時，最常見的問題是分不清冪的乘方與積的乘方之間運算的差別，進而對于幾種冪的運算法則的混淆。比如，在課堂練習(xí)中關(guān)于問題[x42=x6]，[x4y42=x4x6]，大多學(xué)生容易在計算冪的乘方過程中，想當然地將[x]、[y]的次數(shù)相加得出結(jié)果，從而導(dǎo)致錯誤的產(chǎn)生。實際上，積的乘方運算規(guī)則是將括號外的次數(shù)與括號內(nèi)的各乘方要素次數(shù)相乘，才能得出正確答案。

（3）常出現(xiàn)乘除法運算錯誤

關(guān)于整式運算的乘除法，學(xué)生常犯的錯誤有兩方面：一是有系數(shù)出現(xiàn)的乘除計算，學(xué)生僅僅關(guān)注了系數(shù)的參與，卻沒有將字母并入運算中，從而產(chǎn)生錯誤;比如，計算[-3ab2-2b+1=-3ab2-2b+1]。二是出現(xiàn)關(guān)于冪的次數(shù)運算混合乘除，比如，計算[-y32÷y6]，學(xué)生往往理不清頭緒。

（4）常出現(xiàn)乘法公式運算錯誤

學(xué)生對于有關(guān)乘法公式的運算題目缺乏熟練度，混淆了兩個公式，對于難度加大的題目更束手無策。歸根結(jié)底，也是乘法公式記憶不清，理解不透徹，拓展不全面。比如，計算[a-32=a2-9];在 [x+y-zx+y+z]中，學(xué)生難以將[x+y]分離出來構(gòu)成 [x+y2-z2]的平方差公式，導(dǎo)致得不出結(jié)果。

3.關(guān)于初中數(shù)學(xué)整式運算中常見錯誤的解決方法

（1）加固對整式運算的基本運算法則的認知

整式運算立足于其基本運算法則才得以運用于實際計算題中，初中生需要牢固掌握好基礎(chǔ)知識才能夠準確進行整式運算，才具備在做題目時以最大的可能規(guī)避基礎(chǔ)失誤。但大多學(xué)生不注重基礎(chǔ)知識的日常鞏固，認為其過于簡單，導(dǎo)致在考試中常常出現(xiàn)不必要的失分，甚至不知道出于什么原因?qū)е碌腻e誤出現(xiàn)。由于學(xué)生忽視基礎(chǔ)，常常做題時腦海中有公式概念混淆不清、基礎(chǔ)運算法則記憶模糊的現(xiàn)象產(chǎn)生，教學(xué)成效欠佳，使得數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)進展停滯不前。針對這種情況，教師需要從零開始，注重開展整式運算教學(xué)的第一堂課，把基礎(chǔ)知識的重要性牢牢鎖定在學(xué)生的心中。比如，部分學(xué)生存在關(guān)于乘法運算中冪的運算法則記憶困難，教師可以首先從理論指導(dǎo)學(xué)生理解冪與乘法運算之間的聯(lián)系意義，再接著通過發(fā)布針對性練習(xí)讓學(xué)生獨自完成，結(jié)合學(xué)生的運算成果開展鞏固和復(fù)習(xí)的工作，從而達到幫助學(xué)生加強對基礎(chǔ)知識的記憶和理解。

（2）增強對整式運算中各要素的邏輯關(guān)聯(lián)的理解

在初中階段，學(xué)生需要學(xué)習(xí)的整式運算內(nèi)容相較于以往更為豐富，不僅包括小學(xué)學(xué)習(xí)的加減乘除運算，還加入了括號、乘方等各種要素。初中生要想掌握理解好整式運算，還是具有一定難度的。因此，具有邏輯條理、關(guān)聯(lián)性強的教學(xué)結(jié)構(gòu)就十分關(guān)鍵。在日常課堂中，為避免學(xué)生對整式運算知識的混淆運用，需要教師將運算中的各項要素相關(guān)聯(lián)起來，把它們的邏輯關(guān)系擺在明面上，幫助學(xué)生梳理整式運算的知識體系，讓學(xué)生可以充分直白地理解運用相關(guān)知識，不僅提高了學(xué)生整體的學(xué)習(xí)效率，還拉快了教學(xué)課堂的開展進度。比如，在教師講解北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊中，需要計算一個緊挨著墻角的長方體木箱的外露表面積，讓學(xué)生進行回答可以得到公式[ac+bc+ab]，教師對這個公式再進一步分析，可以將其化為[ab+c+bc]，化為這個公式的前提可以知道是[b+c]都具有公因子[a]，教師把這層邏輯關(guān)系表明給學(xué)生，并讓其探索化成其他公式，得到[ac+bb+c]和[ab+b+c]，從而讓學(xué)生深刻理解通過明晰公式之間的邏輯關(guān)系，可以幫助理解日后關(guān)于整式運算的解題過程。最后，教師還可以布置典型具有強烈關(guān)聯(lián)性的例題作為學(xué)生的課后練習(xí)，加固本次課堂教學(xué)內(nèi)容，加深學(xué)生對各要素在整式運算中邏輯運算的理解。

（3）為樹立學(xué)生正確的學(xué)習(xí)態(tài)度和調(diào)動其學(xué)習(xí)積極性

在學(xué)習(xí)初中課程時，往往出現(xiàn)因?qū)W習(xí)強度的突然加大而產(chǎn)生消極逃避學(xué)習(xí)的學(xué)生，這就需要教師對其重點關(guān)注，了解其在學(xué)習(xí)出現(xiàn)的問題成因，并根據(jù)其學(xué)習(xí)能力可以設(shè)置一個互助學(xué)習(xí)小組，幫助其走出學(xué)習(xí)困境。教師應(yīng)從簡單的題目開始指導(dǎo)，首先構(gòu)筑學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，從而一步步引領(lǐng)其感受學(xué)習(xí)過程中的快樂，解決難題后的自豪，帶領(lǐng)其逐漸步入正軌。而有學(xué)習(xí)能力較弱的同學(xué)出現(xiàn)的情況下，也會存在學(xué)習(xí)能力強但過于自傲的同學(xué)，因馬虎應(yīng)付數(shù)學(xué)課堂中的學(xué)習(xí)任務(wù)，認為整式運算這項知識沒有難度，從而在考試中造成了許多不應(yīng)該出現(xiàn)的低級錯誤，教師這時候則應(yīng)對其展開思想教育，使其樹立正確的學(xué)習(xí)態(tài)度，養(yǎng)成虛心細心的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，腳踏實地地往更深層次學(xué)習(xí)，避免浪費其自身的學(xué)習(xí)天賦。比如，教師可以通過舉辦數(shù)學(xué)競賽的辦法，增加一定的比賽難度，讓這部分學(xué)生明白學(xué)習(xí)是永無止境的，人無完人，需要認真低調(diào)的做好自身學(xué)業(yè)并且需要不斷進修，才能走向更遠的地方。

（4）引領(lǐng)學(xué)生進行總結(jié)歸納，進一步鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容

在教學(xué)過程中，單靠刷題是可以加強學(xué)生對題目的應(yīng)激性和記憶度，但對于學(xué)生對整式運算的知識內(nèi)容的理解運用卻毫無益處。所以在日常布置學(xué)生做題和考試后，教師需要引領(lǐng)學(xué)生養(yǎng)成定期進行題目總結(jié)和知識點歸納的良好習(xí)慣。比如，教師可以開設(shè)專項復(fù)習(xí)課，講解學(xué)生常出現(xiàn)的錯誤知識點，并解決學(xué)生提出的疑問，要求學(xué)生將常出現(xiàn)的錯誤題型歸納到一個本子上，并用紅筆標注出題目的考驗知識點，在課后對此知識點再重新進行新一輪鞏固復(fù)習(xí)，以此達到反思錯誤、加深知識理解的作用。

（5）給予一定空間使學(xué)生進行自我探索和自行糾錯

現(xiàn)如今，教學(xué)課堂的主人應(yīng)該交于學(xué)生的手上，這樣才能以最大程度激發(fā)學(xué)生身上的潛能和鍛煉其思考能力、拓寬其發(fā)展空間。但由于學(xué)生剛步入初中階段，尚未適應(yīng)在短時間內(nèi)改變的學(xué)習(xí)環(huán)境，復(fù)雜的整式運算知識仍然需要教師的詳細解析。但教師的教學(xué)并不是一味的空口憑說，而是結(jié)合學(xué)生的參與互動，帶動課堂的展開。比如，在教師講解完一個知識點的含義和一個經(jīng)典例題后，教師可以再出一道同類型題目于黑板上，讓學(xué)生自行上講臺答題并說出解題思路，教師可以找出其問題并幫助解決，讓學(xué)生更好地對這個知識點的理解，還可以從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍的解題思路走向，為日后的教學(xué)方案的設(shè)計增加多一方面的參考內(nèi)容。

總之，共通的問題在初中生運用整式運算中，常有的是對負號的忽視、乘法法則的理解不足等等，教師需要對這些問題出一套專項訓(xùn)練，展開針對性教學(xué)加強學(xué)生對自身不理解、不熟練的知識方面的實踐訓(xùn)練，達到下筆了然于心的教學(xué)目的，幫助學(xué)生早日發(fā)現(xiàn)錯誤并及時拔除毒瘤，增強對整式運算專項內(nèi)容的知識把握度，提升學(xué)習(xí)自豪感，確保日后考試學(xué)習(xí)中關(guān)于整式運算的計算正確度的提高。總的來說，關(guān)于如何解決初中生在整式運算中出現(xiàn)的共通錯誤，不僅需要加固學(xué)生對運算中的去括號、加平方等要素的認識和重視，還要改善教師的教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，結(jié)課堂實際和學(xué)生學(xué)習(xí)狀況，及時調(diào)整教學(xué)方案，適時融入新興教學(xué)模式，提升學(xué)生的主動學(xué)習(xí)的積極性和自行探索解決問題的高度熱情。

參考文獻

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