以操作過程觀照學(xué)生的概念理解水平

毛艷津

【編者按】數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)學(xué)生個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。在當(dāng)前書面測評仍是評估學(xué)生學(xué)業(yè)水平的主要方式的情況下，為適應(yīng)學(xué)生未來發(fā)展的需要，教師如何以學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展為導(dǎo)向，對傳統(tǒng)測評方式做出創(chuàng)新設(shè)計，如何優(yōu)化考查內(nèi)容并有效利用反饋數(shù)據(jù)，成為亟待解決的問題，本期話題一起來探討。

概念本質(zhì)特征的建構(gòu)水平，一般表現(xiàn)在學(xué)生對相關(guān)概念的理解與應(yīng)用中。對概念理解水平的考查，有時候不能用一些簡單的客觀題加以實(shí)現(xiàn)，而是需要通過一些有過程性材料呈現(xiàn)的測評才能作較為深入的分析與了解。比如說對“圓概念”的理解，只是設(shè)計一些諸如“一個圓的直徑是3厘米，那么這個圓的半徑是（? ）厘米”這樣的習(xí)題，還不能全面考查學(xué)生對圓概念的理解水平，而且通過此類習(xí)題最終獲得的測評數(shù)據(jù)也只能反映學(xué)生對相關(guān)概念單一層面的了解，而無法從能力與素養(yǎng)維度了解學(xué)生的整體理解水平和學(xué)習(xí)狀況，因此這樣的監(jiān)測結(jié)果對實(shí)際的教學(xué)指導(dǎo)與改進(jìn)缺少足夠的支持。唯有設(shè)計有過程視角的，反映學(xué)生能力與素養(yǎng)水平的測評題，才能從更加全面的角度了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，找到學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的問題所在，從而提出更有針對性的教學(xué)建議。

本文以某校小學(xué)六年級（第一學(xué)期）數(shù)學(xué)“能力素養(yǎng)”監(jiān)測卷中的一道關(guān)于“圓的認(rèn)識”的操作題為例，談一談基于學(xué)科素養(yǎng)立意測評題的設(shè)計、數(shù)據(jù)分析，以及改進(jìn)“圓的認(rèn)識”一課教學(xué)的建議，以供一線教師參考。

原題：王老師想從一張邊長為20厘米的正方形紙片中剪一個最大的圓。請在右圖中畫出這個最大的圓，并將畫的過程記錄下來。

我們先來看此題的測評意圖。從知識層面分析，本題檢測學(xué)生對“圓的特征”的理解水平，體現(xiàn)為兩個層次：層次一，概念的認(rèn)識，即對“圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小”的認(rèn)識;層次二，簡單應(yīng)用，即能夠應(yīng)用概念特征解決問題。再來看素養(yǎng)層面，本題測評中還有“將畫的過程記錄下來”的要求。顯然，我們不僅想看到結(jié)果，還想通過看到學(xué)生完成任務(wù)的過程印記，了解學(xué)生在畫圓過程中表現(xiàn)出來的不同能力水平與素養(yǎng)差異。

從測評結(jié)果來看，本題的正確率為58%，有超過一半的學(xué)生，能夠在此正方形中正確畫出圓，且過程印記也比較清晰、合理。而有42%的學(xué)生，作答過程存在著不同程度的缺陷。再對作答錯誤的情況進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯誤作答（包括不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模┑那闆r主要表現(xiàn)為三類：一類是完全錯誤（包括沒做），占錯誤人數(shù)的11%;一類是憑感覺在正方形內(nèi)作圖且接近正確答案的，占錯誤人數(shù)的13%;還有一類位置、大小兩個維度只考慮其中一種情況的，占錯誤人數(shù)的76%。

具體可以用以下表格加以呈現(xiàn)。

結(jié)合上表，我們再將知識、能力、素養(yǎng)等綜合起來對錯誤（或不完善）的答案反映出來的學(xué)生的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行深入剖析。

如果將“概念認(rèn)識與應(yīng)用割裂”作為概念理解的一級水平，那么這個水平層次的學(xué)生，雖然記住了概念，如“圓有圓心、半徑”等要素，知道“半徑能夠確定圓的大小”等概念，卻不能結(jié)合情境加以簡單應(yīng)用。筆者認(rèn)為，這樣的學(xué)習(xí)仍然屬于機(jī)械性的，尚未實(shí)現(xiàn)知識與能力的轉(zhuǎn)換，更沒達(dá)到信息加工與回饋應(yīng)用的素養(yǎng)水平。

我們可以將“對圖形間關(guān)系的把握能力不足”作為概念理解的二級水平進(jìn)行解讀，處于此水平層次的學(xué)生，對圓的相關(guān)要素特征是理解的，比如“同一圓內(nèi)，直徑與半徑間的2倍關(guān)系”等，但缺少與其他圖形的聯(lián)系與溝通，造成其在解決簡單的整合問題時，概念知識的綜合應(yīng)用力不足，綜合分析與知識提取的學(xué)科素養(yǎng)水平不高。

“整體把握圖形特征的能力不足”反映的是學(xué)生動手操作解決問題的能力水平，與上一種“對圖形間關(guān)系的把握能力不足”問題的不同之處在于，學(xué)生就圓概念的理解已經(jīng)比較到位了，但在操作應(yīng)用時思考問題不夠完善，造成某一方面存在問題。從概念知識的應(yīng)用與問題解決的狀態(tài)來看，可以認(rèn)為學(xué)生對圓概念的理解基本達(dá)成，但在借助操作工具呈現(xiàn)結(jié)果時，整體把控能力還有待提升。

通過對以上監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析，筆者思考：在教學(xué)“圓的認(rèn)識”時，針對學(xué)生對圓概念的深度理解不足，綜合分析與解決問題的素養(yǎng)不強(qiáng)的問題，是否可以將問題解決作為載體，引導(dǎo)學(xué)生從整體上認(rèn)識圓的特征，理解圓中各要素間的關(guān)系，從而達(dá)到在幫助學(xué)生深度理解圓概念的同時，發(fā)展學(xué)生綜合素養(yǎng)的目的。

一、從解釋生活現(xiàn)象入手，引導(dǎo)學(xué)生對“圓的特征”的探索

圓在生活中有著廣泛的應(yīng)用，它到底有什么特征和奧秘？為什么生活中那么多物體的外形都要做成圓的？從生活中常見的圓引入，喚起學(xué)生對圓的認(rèn)識的生活經(jīng)驗，并以“車輪為什么要做成圓的”這個值得探究的問題引發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)入到學(xué)習(xí)的狀態(tài)。教學(xué)時，可分成兩個層次。

（一）層次一：借問題引發(fā)學(xué)生對圓的特征的思考

師：我們在生活中見到的車輪都是圓的，可是車輪為什么要做成圓的呢？

1. 想象：我們用圓、正方形、橢圓代替車輪來滾一滾，想象一下會是怎樣的呢？（用正方形、橢圓做車輪，物體在運(yùn)動時會不平穩(wěn)，沒有辦法滾動）

師：這都是同學(xué)們的推測，到底真實(shí)的原因是什么？圓有什么特征呢？

2. 觀察：課件演示滾動的過程。

師：請你仔細(xì)看，它是怎么動的，和你想的一樣嗎？

比一比：你發(fā)現(xiàn)了什么？（圓的滾動軌跡是一條直線）

3. 思考：為什么滾動時圓的中心是在一條直線上呢？

結(jié)合視頻，初步感知“圓，一中同長”的本質(zhì)特征，即所有在圓上的點(diǎn)到圓心的距離是一樣長的。

選擇“車輪為什么做成圓的”這一問題進(jìn)行實(shí)踐探究：一是喚起學(xué)生對身邊常見事物的思考，激活探究事物的好奇心;二是能夠?qū)⒕唧w活動與生活實(shí)例結(jié)合起來，更貼近學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn);三是借助問題思考與解釋的過程認(rèn)識圓的特征，增加了綜合分析與思考的要求，利于發(fā)展學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

（二）層次二：從具體的事物，遷移到數(shù)學(xué)幾何圖形

師：同學(xué)們，在模擬車輪滾動的實(shí)驗中，我們發(fā)現(xiàn)中心點(diǎn)運(yùn)動的痕跡就是中心點(diǎn)到地面距離的變化軌跡。拿出學(xué)習(xí)單，自己動手畫一畫，觀察不同圖形的中心點(diǎn)到它邊上的距離，有什么不同？

1. 畫一畫：拿出學(xué)習(xí)單，試著動手畫一畫。

2. 比一比：你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

發(fā)現(xiàn)：圓的中心點(diǎn)到圖的邊上的距離都相等。

3. 理一理：通過剛才的實(shí)驗，我們發(fā)現(xiàn)車輪做成圓的是運(yùn)用了圓的什么特征呢？

在這個過程中，學(xué)生通過探究橢圓、正方形、圓三種不同圖形的中心點(diǎn)到邊上的距離，在教師設(shè)計的畫一畫、比一比、理一理等系列活動中積累探究圖形特征的活動經(jīng)驗，一步步引導(dǎo)學(xué)生在操作、觀察與思考中發(fā)現(xiàn)，車輪做成圓的真正原因在于應(yīng)用了圓的本質(zhì)特征，即圓心到圓上的距離都相等。顯然，在整體學(xué)習(xí)探索的過程中，因為有結(jié)合具體學(xué)習(xí)材料的操作、比較與討論，對學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累與綜合學(xué)力的培養(yǎng)均相當(dāng)有利。

二、結(jié)合有層次的練習(xí)，強(qiáng)化對“圓，一中同長”本質(zhì)特征的理解

作為圓本質(zhì)特征“一中同長”的兩個核心要素：圓心和半徑，其一決定了圓的位置，其二決定了圓的大小。只要有了圓心和半徑，就決定了這個圓，也就決定了圓的周長與面積。因此圓心和半徑對圓來說是最關(guān)鍵的，我們要讓學(xué)生對此有深刻的認(rèn)識，讓他們在對圓的實(shí)際應(yīng)用中能首先想到尋找圓心和半徑。

例如，設(shè)計一組練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生對圓心和半徑的理解。

1. 畫規(guī)定大小的圓，r=1 cm。

2. 按要求畫圓。

（1）以點(diǎn)O為圓心，畫兩個大小不同的圓。

（2）分別以O(shè)1、O2為圓心，畫出半徑都是1 cm的圓。

（3）請你在正方形里用圓規(guī)畫一個最大的圓。

我發(fā)現(xiàn)：圓心決定圓的（? ），半徑?jīng)Q定圓的（? ）。

此組練習(xí)，有圓的知識技能訓(xùn)練，也有結(jié)合其他圖形的問題解決，從單一知識的鞏固到綜合性的簡單應(yīng)用，很好地幫助學(xué)生回歸到以圖形整體視角來認(rèn)識圓，理解圓的一些特征。同時，“練”不是目的，“練中悟”“練中構(gòu)”才是此組練習(xí)的目的，即希望通過此組練習(xí)，學(xué)生不但能鞏固對圓特征的認(rèn)識，還能夠在比較、分析與發(fā)現(xiàn)、歸納等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法層面有所得、有所悟。

三、拓展練習(xí)應(yīng)用空間，豐富“圓的特征”的認(rèn)識經(jīng)驗

當(dāng)學(xué)生對圓的特征“一中同長”有一定的理解后，教師可以設(shè)計一些實(shí)踐活動作為拓展練習(xí)，從而積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用知識解決實(shí)際問題的能力。

1. 用學(xué)過的知識解釋生活現(xiàn)象。

呈現(xiàn)課堂交流時出現(xiàn)的圓桌、井蓋等圖片，請學(xué)生再來解釋“為什么要把它們做成圓的”。

2. 在操場上畫圓。

提出問題：活動課上，同學(xué)們要在操場上做游戲，需要畫一個半徑是2米的圓，你有什么辦法嗎？

學(xué)生分組自主活動，借助皮尺、標(biāo)志桿、繩子等物品畫圓。

在數(shù)理層面上，學(xué)生理解了“一中同長”，并能夠利用圓心和半徑畫圓。當(dāng)然，我們不能簡單地將學(xué)生引向“畫圓只要用圓規(guī)就好了”的結(jié)果思維和操作技能上來，而是更希望通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，能夠深刻理解“圓內(nèi)各要素間的關(guān)系”，并能以所學(xué)知識解釋或解決一些實(shí)際問題，類似于前文要求學(xué)生“能用圓的特征解釋生活中的實(shí)際現(xiàn)象”或“能不用圓規(guī)畫一個圓”等。唯有通過此類問題的解答過程，才能最大限度地引導(dǎo)學(xué)生積累起“圓的認(rèn)知”經(jīng)驗，逐漸發(fā)展“圖形認(rèn)識”的能力素養(yǎng)。

最后想強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)立意的測評，需要結(jié)合學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)知識內(nèi)容過程中能力水平的解構(gòu)與素養(yǎng)特征的描述，教師才能設(shè)計出有針對性的測評工具，從而獲取相應(yīng)的測評數(shù)據(jù)。比如，學(xué)生對“圓概念”的理解水平，教師至少要能夠結(jié)合課程目標(biāo)、學(xué)習(xí)目標(biāo)梳理出兩至三個水平層次，如前文中的測評意圖分析。唯如此，能力立意、素養(yǎng)立意測評才會體現(xiàn)其不僅能診斷學(xué)生基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)水平，還能了解學(xué)生能力水平與素養(yǎng)水平，從而實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生綜合素養(yǎng)的意義。

（作者單位：浙江省嘉興市輔成教育集團(tuán)）

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