基于離散模塊梁單元水彈性理論的復(fù)雜連接處建模方法

陳永強(qiáng)，張宇，張顯濤*,2

1 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240

2 上海交通大學(xué) 三亞崖州灣深海科技研究院，海南 三亞 572024

0 引 言

布置于海上的超大型浮體具有多種用途，可作為浮式機(jī)場、浮橋和海洋可再生能源的浮式基礎(chǔ)等[1]。由于超大型浮體的水平尺寸與波長相當(dāng)，且遠(yuǎn)大于垂向尺寸，在波浪激勵(lì)下浮體的變形影響不可忽略。因此，計(jì)及流體與結(jié)構(gòu)變形耦合影響的水彈性方法被用于分析在波浪作用下超大型浮體動(dòng)力響應(yīng)[2]。傳統(tǒng)的水彈性分析方法通常分為直接法和模態(tài)疊加法。其中，直接法是直接針對浮體濕表面建立流體壓力和浮體變形的耦合方程[3]，而模態(tài)疊加法通常將水彈性問題分為3個(gè)步驟處理：1) 確定浮式結(jié)構(gòu)的固有彈性振動(dòng)模態(tài)；2）針對每個(gè)模態(tài)建立輻射和繞射問題；3）將所有模態(tài)疊加并最終求解問題。

很多研究人員已應(yīng)用模態(tài)疊加法來處理超大型浮體在不同場景下的水彈性響應(yīng)問題[4-6]。Lu等[7]提出基于離散模塊?梁單元（discrete-module-beam，DMB）的水彈性分析方法，在頻域范圍內(nèi)處理波浪與連續(xù)彈性浮體的相互作用。在DMB水彈性理論（以下也稱DMB理論或方法）框架下，將連續(xù)彈性浮體離散成若干個(gè)剛性子模塊來模擬等效水動(dòng)力性能，并假設(shè)這些剛性子模塊由等效梁單元連接，以此達(dá)到近似模擬結(jié)構(gòu)變形的目的。與傳統(tǒng)的三維水彈性方法相比，DMB方法不需要預(yù)先確定結(jié)構(gòu)的彈性模態(tài)，更適于處理一些連接形式復(fù)雜的超大型浮體動(dòng)力響應(yīng)問題，其原因在于，這種連接形式復(fù)雜的結(jié)構(gòu)整體變形與連接處的強(qiáng)耦合使得彈性模態(tài)的確定變得比較困難。研究表明，DMB方法計(jì)算得到的水彈性響應(yīng)結(jié)果與實(shí)際測量和模態(tài)疊加法計(jì)算得到的結(jié)果吻合較好。鑒此，很多研究人員將DMB方法推廣應(yīng)用于兩模塊鉸接超大型浮體[8]和幾何形狀復(fù)雜的連續(xù)超大型浮體[9]結(jié)構(gòu)的彈性分析。例如，Zhang等[10]和Wei等[11]發(fā)展了時(shí)域DMB方法，分別應(yīng)用于研究超大型浮體在非穩(wěn)態(tài)的外部載荷和非均勻海洋環(huán)境下的動(dòng)力響應(yīng)，Jin等[12]進(jìn)一步考慮系泊系統(tǒng)并應(yīng)用DMB方法分析了浮體?連接件?系泊系統(tǒng)耦合動(dòng)力響應(yīng)特性。

對于超大型浮體，更傾向于采用多模塊連接的設(shè)計(jì)方案。在采用模態(tài)疊加法對其進(jìn)行分析時(shí)，一般首先基于有限元方法來確定包含連接形式的浮體彈性振動(dòng)模態(tài)，然后建立水彈性運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解[13]，而在采用DMB方法進(jìn)行分析時(shí)，其處理連接處的方式與模態(tài)疊加法有所不同。首先，DMB方法無需顯式求解連接多個(gè)浮體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)；其次，DMB方法是在離散子模塊重心處建立運(yùn)動(dòng)方程，故對于連接處的建模，該方法的核心是將連接處引起的位移限制和力整合到浮體運(yùn)動(dòng)方程中。文獻(xiàn)[8]假設(shè)連接處及其相鄰的兩個(gè)離散子模塊重心處的結(jié)構(gòu)滿足剛性條件，先通過限制矩陣法將鉸接處的力等效到相鄰的兩個(gè)子模塊重心上，再建立運(yùn)動(dòng)方程求解；文獻(xiàn)[10]則先在模塊連接處兩端引入兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，建立節(jié)點(diǎn)力與位移的關(guān)系式，得到對應(yīng)于連接處的剛度矩陣，并將該剛度矩陣整合到結(jié)構(gòu)總剛度陣中，再建立運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解。結(jié)果表明，在DMB理論框架下，上述兩種連接處建模方法得到的結(jié)果與傳統(tǒng)的三維水彈性計(jì)算結(jié)果吻合較好[13]。

然而，關(guān)于DMB理論框架下浮體連接處的建模有一些問題仍有待進(jìn)一步分析，原因是：1）目前針對不同方式連接處的建模方法缺乏系統(tǒng)的比較；2）現(xiàn)有的連接處建模方法均會增加運(yùn)動(dòng)方程的變量和系數(shù)矩陣維數(shù)。因此，尋求不改變變量和系數(shù)矩陣維數(shù)的連接處建模方法也有一定的意義，尤其是針對多模塊超大型浮體連接處的動(dòng)力響應(yīng)分析。

綜上，本文將在DMB理論框架下討論多模塊超大型浮體連接處的建模方法及其適用性，新提出虛擬剛度法和子結(jié)構(gòu)法這兩種新的建模方法，詳述兩種新方法及已有的限制矩陣法和全節(jié)點(diǎn)法， 并對這4種方法進(jìn)行系統(tǒng)的對比分析。

1 基于DMB水彈性分析方法簡介

1.1 子模塊重心處的位移與受力求解

本節(jié)將簡述文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[10]提出的DMB水彈性分析方法。如圖1所示，以某個(gè)連續(xù)的彈性浮體結(jié)構(gòu)為例，采用DMB方法將此浮體離散成多個(gè)剛性子模塊（旨在用于近似考慮水動(dòng)力），而這些剛性子模塊則通過梁單元（旨在用于近似考慮結(jié)構(gòu)變形）連接。關(guān)于DMB方法的控制方程和邊界條件可詳見文獻(xiàn)[10]。

圖1 在DMB理論框架下的連續(xù)型彈性浮體建模原理圖Fig.1 Modelling of a continuous elastic floating structure in the framework of DMB hydroelasticity theory

具體而言，在DMB理論框架下，一個(gè)連續(xù)的彈性浮體可被離散成N個(gè)子模塊，其中N的值取決于收斂性分析。首先，假設(shè)這些子模塊滿足剛性條件且可自由漂浮于水面，此時(shí)可運(yùn)用多剛體水動(dòng)力學(xué)理論求解所有子模塊的水動(dòng)力參數(shù)，包括：波浪激勵(lì)力矩陣FE、附加質(zhì)量力（和力矩）FA=ω2A(ω)ξ 、輻射阻尼力FRd=iωB(ω)ξ（其中：ω為波浪頻率；ξ為所有子模塊重心處的位移，其維度為 6N×1；A(ω)為所有子模塊的附加質(zhì)量矩陣，其維度為 6N×6N；B(ω)為所有子模塊的輻射阻尼矩陣，其維度為 6N×6N）、所有子模塊受到的靜水回復(fù)力FHS=?Cξ （其中C為靜水回復(fù)力系數(shù)矩陣，維度為 6N×6N）、所有子模塊的慣性力FIn=ω2Mξ （ 其中M為 質(zhì)量矩陣，其維度為6N×6N）。

上述所有力都假設(shè)作用在子模塊重心處，故所有子模塊被簡化成集中質(zhì)量，其受力表示為

然后，假設(shè)相鄰的集中質(zhì)量通過梁單元連接，基于歐拉?伯努利梁和圣維南扭曲理論來考慮彈性浮體的變形影響。因彈性浮體的質(zhì)量都集中于集中質(zhì)量上，故假設(shè)梁單元的質(zhì)量為0。另外，梁單元的結(jié)構(gòu)屬性與真實(shí)的彈性浮體的屬性保持一致。對于某個(gè)梁單元，其兩端的位移和結(jié)構(gòu)力通過梁單元的剛度矩陣KE建 立聯(lián)系，KE的表達(dá)式可詳見文獻(xiàn)[10]。

基于有限元理論的標(biāo)準(zhǔn)方法組裝梁單元?jiǎng)偠汝?，可得到總的結(jié)構(gòu)剛度矩陣KSt（其維度為6N×6N），進(jìn)而可建立作用于集中質(zhì)量上的總的結(jié)構(gòu)力FSt與集中質(zhì)量（或子模塊重心處）位移ξ的關(guān)系，即FSt=?KStξ。

根據(jù)集中質(zhì)量處的合力為0的原則，可得到：

式（1）可進(jìn)一步表示如下運(yùn)動(dòng)方程：

定 義 初 始 的 剛 度 矩 陣Kˉo=?ω2(M+A(ω))?iωB(ω)+C+KSt，式（2）可重寫為

通過求解式（2）或式（3），所有子模塊重心處（或集中質(zhì)量）的位移都可求解得到。

1.2 VLFS任意位置的位移和結(jié)構(gòu)力求解

對于DMB方法，考慮鉸接的影響，求解式（2）或式（3），可得到集中質(zhì)量（或每個(gè)子模塊重心處）的位移，即圖2中ξp和 ξq。而對于因結(jié)構(gòu)變形所引起的梁單元兩端的結(jié)構(gòu)力，即和，則可通過式（4）計(jì)算。

圖2 梁單元e與子單元f示意圖Fig.2 Schematic of a beam element e and a sub-element f

式中，KE,e為梁單元的剛度矩陣。

對于梁單元 上的任意一點(diǎn)，其與梁單元左端 之間構(gòu)成了子單元，且剛度矩陣為 ，則點(diǎn)處的位移 和結(jié)構(gòu)力 滿足如下關(guān)系式：er pfKE,f rξr

式中，,K,K和為剛度矩陣KE,f的子矩陣。

進(jìn)而，可求得點(diǎn)r處的位移ξr和結(jié)構(gòu)力：

在線性假設(shè)的框架下，式（7）計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)力和力矩僅在每個(gè)子模塊的端面處是“準(zhǔn)確”的，這是因?yàn)榛贒MB水彈性方法將子模塊受到的分布力等效集中在了子模塊重心處，而這種等效操作僅對子模塊端面處的力沒有影響。在得到各個(gè)子模塊端面處的“準(zhǔn)確”的結(jié)構(gòu)力和力矩之后，可利用插值法得到彈性浮體任意位置的結(jié)構(gòu)力和力矩，具體可詳見文獻(xiàn)[8]。

2 多模塊彈性浮體連接處建模方法

本節(jié)將詳述基于DMB水彈性分析方法的4種針對多模塊彈性連接的浮體連接處的建模方法。浮體的連接方式既可是剛性連接、也可是彈性連接或鉸接等。本文將以鉸接連接方式作為研究對象，期望研究結(jié)果可很方便地推廣到其他多模塊超大型浮體及其他連接方式的浮體研究之中。

如圖3所示，整個(gè)浮體被離散成N個(gè)子模塊，連接處位于第j和j+1個(gè)子模塊之間。定義大地坐標(biāo)系的原點(diǎn)在浮體的最左側(cè)，xoy平面在靜水面上，x軸沿浮體的縱向方向，z軸垂直向上為正。在討論的4種不同建模方法中，限制矩陣法和全節(jié)點(diǎn)法由文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[10]分別提出，虛擬剛度法和子結(jié)構(gòu)法則為本文新提出的方法。

圖3 在DMB理論框架下的兩模塊超大型浮體連接處建模原理圖Fig.3 Schematic of modelling interface of a two-modulesinterconnected VLFS in the framework of DMB hydroelasticity theory

2.1 虛擬剛度法

圖4所示為基于DMB水彈性分析方法的兩模塊超大型浮體鉸接處及其附近的集中質(zhì)量示意圖。對于虛擬剛度法，浮體的鉸接處由如下剛度矩陣Kcv表示。

圖4 在DMB理論框架下的兩模塊彈性連接處及其附近的集中質(zhì)量[10]Fig.4 Schematic of the interface of elastically-interconnected modules and its two adjacent lumped masses in the framework of DMB hydroelasticity theory[10]

式中，kncv（n=1，2,···,6）分別為6個(gè)自由度方向的剛度。對于鉸接連接方式而言，應(yīng)賦予kncv很大的值，以使鉸接近似于對應(yīng)自由度的剛性條件。在鉸接處，因浮體可圍繞平行于y軸的軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，k5cv=0 ，故可將其從矩陣Kcv中去除。

關(guān)于第j和j+1個(gè)集中質(zhì)量的位移，可分別定義如下：uj,vj,wjxj,yj,zjαj,βj,θjxj,yj,zj

式中： 分別為沿圖中 軸的線位移；分別為繞 軸的角位移。鉸接處在其相鄰的兩個(gè)局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別表示為：

若忽略連接處與其相鄰的集中質(zhì)量之間的結(jié)構(gòu)變形影響，則鉸接處兩側(cè)的位移可用其相鄰的集中質(zhì)量的位移來表示，即

式中，L為轉(zhuǎn)換矩陣（或限制矩陣[8]），其表達(dá)式如下：

通過補(bǔ)加0元素，轉(zhuǎn)換矩陣L可 從維度5×12拓展為維度 5×6N，即得到新的矩陣：

鉸接處的受力表示為，其中 分別是沿 軸的受力；分別是繞 軸的力矩。其中， 可通過如下等式計(jì)算。Fh=[Fh1,Fh2,Fh3,Fh4,Fh6]TFhk(k=1,2,3)x,y,z Fhk(k=4,6)x,zFh

鉸接處的受力 還可轉(zhuǎn)換為相鄰的兩個(gè)集中質(zhì)量上的受力 ，即FhFhl

將由鉸接引起的集中質(zhì)量的受力 加入到浮體運(yùn)動(dòng)方程(1)中，可得到兩模塊鉸接彈性浮體的運(yùn)動(dòng)方程：Fhl

值得一提的是：虛擬剛度法忽略了連接處及其附近的集中質(zhì)量之間的結(jié)構(gòu)變形，即采用剛性假設(shè)；另外，相比于連續(xù)彈性浮體的運(yùn)動(dòng)方程，該方法在對連接處建模時(shí)并不增加運(yùn)動(dòng)方程的維數(shù)。

2.2 限制矩陣法

文獻(xiàn)[8]提出采用限制矩陣法分析兩模塊鉸接超大型浮體的動(dòng)力響應(yīng)，此方法忽略了兩模塊連接處與其相鄰的兩個(gè)集中質(zhì)量之間的結(jié)構(gòu)變形。鉸接處的位移ξ滿足如下限制條件：

作用在兩個(gè)模塊鉸接處的受力Fh可等效為作用在其相鄰的兩個(gè)集中質(zhì)量上的受力Fhl，即

聯(lián)立等式（3），式（15）和式（16），可得到如下所示兩模塊鉸接超大型浮體的運(yùn)動(dòng)方程：

通過求解等式（17），可得到所有集中質(zhì)量的位移和鉸接處的受力。

2.3 子結(jié)構(gòu)法

圖5為在DMB水彈性分析方法框架內(nèi)用于多模塊鉸接浮體連接處建模的子結(jié)構(gòu)法示意圖。對于子結(jié)構(gòu)法，連接處是通過其兩側(cè)的節(jié)點(diǎn)（即C1和C2）來表示的，這也與文獻(xiàn)[10]提出的全節(jié)點(diǎn)法類似。在介紹該方法之前，這里先給出一些基本定義。如圖5所示，上標(biāo) 1 代表節(jié)點(diǎn)處的力來源于其左側(cè)的梁單元（或連接處）的變形，上標(biāo)2 代表節(jié)點(diǎn)處的力來源于其右側(cè)的梁單元（或連接處）的變形，F(xiàn)為 作用于節(jié)點(diǎn)C1上因左側(cè)梁單元變形引起的力，F(xiàn)為 作用于節(jié)點(diǎn)C1上因右側(cè)連接處引起的力，F(xiàn)和 F的 含義與F和 F類似。例如，第 j 個(gè)節(jié)點(diǎn)處的力 FSt,j由兩個(gè)分量組成，即

圖 5 在DMB理論框架下多模塊鉸接處建模的子結(jié)構(gòu)法原理圖Fig.5 Schematic of modelling the hinged interconnection by substructure approach in the framework of DMB hydroelasticity theory

子結(jié)構(gòu)法的核心思想是將連接處及其附近的梁單元（即eC1和 eC2）視為一個(gè)整體結(jié)構(gòu)，以下介紹其數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。

首先，結(jié)構(gòu)變形引起的力和連接處的力與對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移有如下關(guān)系：

式 中， KeC1和 KeC2分 別 為 梁 單 元eC1和 eC2的 剛 度 矩陣，其維度是1 2×12（具體表達(dá)式可詳見文獻(xiàn)[10]中的附錄A），其中上標(biāo)(1,1)，(1,2)，(2,1)和(2,2)代表了一個(gè)矩陣的子矩陣；KC為對角矩陣。

式（18）可調(diào)整為,

式（22）在推導(dǎo)過程中采用了 F?2=0。這是合理的，這是因?yàn)樵阢q接處兩側(cè)的節(jié)點(diǎn)C1和C2上沒有受到外力作用的影響。圖5描述了式（22）建立的“子結(jié)構(gòu)”兩端的位移及與其受力的關(guān)系，而式（22）中K??（ 其維度為1 2×12）則代表了該“子結(jié)構(gòu)”的等效單元?jiǎng)偠取０凑沼邢拊碚摰膭偠染仃嚨臉?biāo)準(zhǔn)組裝方法，將K??置 入總的結(jié)構(gòu)剛度陣KSt（式（2））中，可求得所有集中質(zhì)量的位移，而鉸接處兩側(cè)的節(jié)點(diǎn)位移也可通過式（19）進(jìn)行求解。

2.4 全節(jié)點(diǎn)法

文獻(xiàn)[10]采用全節(jié)點(diǎn)法考慮連接處的建模。全節(jié)點(diǎn)法有別于限制矩陣法，其將鉸接處的力等效到相鄰的集中質(zhì)量上，在連接處兩側(cè)引入兩個(gè)額外的節(jié)點(diǎn)來直接考慮連接處的力和位移。如圖5 所示，連接處通過兩個(gè)節(jié)點(diǎn) C1和 C2來表示，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處的位移分別定義為 ξC1和 ξC2。因連接處存在的限制條件，將節(jié)點(diǎn) C1和 C2產(chǎn)生的力定義為 FC1和 FC2。節(jié)點(diǎn)處的力與位移有如下關(guān)系，

式中，對角矩陣 KC的 維度為 6 ×6，并定義為

對于 KC對角矩陣中的不同元素的取值（即knc(n=1,2,···,6)）取決于連接處的具體形式。例如，對于鉸接連接的方式，只允許圍繞平行于 y軸的某一軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí) k5c=0 且 knc應(yīng)該賦予很大的值來近似剛性條件。

采用全節(jié)點(diǎn)法對連接處進(jìn)行建模，兩模塊連接的彈性浮體與連續(xù)彈性浮體的唯一區(qū)別在于新增加了鉸接處兩端的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。因此，連續(xù)彈性浮體承受的結(jié)構(gòu)變形引起的力 FSt（見式（1）），其維度是 6N×1）可推廣到鉸接的兩模塊彈性浮體，如下所示。

式 中： FSt,j和 ξj(j=1,2,3,···,N)分 別 為 第 j個(gè) 節(jié) 點(diǎn)（或集中質(zhì)量）的受力和位移； F?St， ξ? 和 K?St分別為考慮了鉸接的新的結(jié)構(gòu)力、位移和剛度矩陣，其維度分別是 (6N+12)×1， (6N+12)×1和 (6N+12)×(6N+12)； K?St為 按 照有 限元 理 論 的 總 結(jié) 構(gòu) 剛 度矩陣標(biāo)準(zhǔn)組裝程序?qū)⒘簡卧獎(jiǎng)偠染仃?KE和連接處剛度矩陣 KˉC組裝得到的矩陣。

同樣的，其他矩陣如 M ， A(ω)， B(ω)， C 和 FE也可通過補(bǔ)充0 元素?cái)U(kuò)展到考慮鉸接的情況，與此對應(yīng)的新的矩陣分別為 M? ， A?(ω)， B?(ω) ， C? 和 F?E（具體表達(dá)式可詳見文獻(xiàn)[13]的附錄C）。因此，采用全節(jié)點(diǎn)法可建立如下兩模塊連接的超大型浮體運(yùn)動(dòng)方程：

通過求解式（26），所有集中質(zhì)量和連接處兩側(cè)節(jié)點(diǎn)的位移都可求得?？梢钥闯?，對于全節(jié)點(diǎn)法，兩模塊連接的超大型浮體的運(yùn)動(dòng)方程（即式（26））與連續(xù)超大型浮體的運(yùn)動(dòng)方程（即式（2））形式上基本一樣，唯一的區(qū)別是前者的矩陣維度更大。另外，全節(jié)點(diǎn)法還考慮了連接處及其附近的集中質(zhì)量之間的結(jié)構(gòu)變形。

2.5 4 種不同的連接處建模方法簡要總結(jié)

表1 給出了在DMB 水彈性分析方法框架下的4 種不同連接處的建模方法。首先，相對于連續(xù)彈性浮體的運(yùn)動(dòng)方程而言，限制矩陣法和全節(jié)點(diǎn)法都增加了運(yùn)動(dòng)方程的系數(shù)矩陣的維度，但本文新提出的虛擬剛度法和子結(jié)構(gòu)法并未增加運(yùn)動(dòng)方程系數(shù)矩陣的維度。在這4 種方法中，全節(jié)點(diǎn)法運(yùn)動(dòng)方程系數(shù)矩陣維度最高，限制矩陣法和虛擬剛度法針對連接處及其附近的集中質(zhì)量之間的結(jié)構(gòu)都采用了剛性假設(shè)，子結(jié)構(gòu)法和全節(jié)點(diǎn)法考慮的是結(jié)構(gòu)變形的影響?？傮w上，子結(jié)構(gòu)法和全節(jié)點(diǎn)法相比限制矩陣法和虛擬剛度法更“準(zhǔn)確”。

表 1 4 種不同的連接處建模方法比較Table 1 Comparison of modelling the interconnections by different approaches

此外，限制矩陣法可以被認(rèn)為是虛擬剛度法在其元素取較大值的一個(gè)特例，而虛擬剛度法還可用于分析除鉸接形式以外的其他連接方式。本文新提出的子結(jié)構(gòu)法則是在全節(jié)點(diǎn)法的基礎(chǔ)上利用靜力凝聚方法推導(dǎo)得到。而且，因其不需要如全節(jié)點(diǎn)法一樣在系數(shù)矩陣中補(bǔ)0 元素，所以子結(jié)構(gòu)法的運(yùn)動(dòng)方程系數(shù)矩陣是滿秩的，可方便用于基于Cummins 方程的時(shí)域問題求解。

3 結(jié)果和討論

3.1 連接處的不同建模方法驗(yàn)證分析

圖6所示為文獻(xiàn)[13]建立的兩模塊鉸接超大型浮體模型。圖中，紅線表示鉸接，其位置在x=L/2=150 m處，在此處超大型浮體被分為左、右兩個(gè)模塊。本文將對建模方法進(jìn)行驗(yàn)證分析。表2給出了該模型的系數(shù)和波浪參數(shù)。對于基于DMB水彈性分析方法，圖6所示超大型浮體的左、右模塊都被離散成4個(gè)子模塊，其結(jié)果已收斂。

表2 兩模塊鉸接超大型浮體的尺度及波浪參數(shù) [13]Table 2 Parameters of waves and two-modules-hinged VLFS [13]

本文將4種方法得到的兩模塊鉸接的超大型浮體位移和彎矩與文獻(xiàn)[13]基于模態(tài)疊加法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比，如圖7所示。由圖7可見，不同方法計(jì)算得到的結(jié)果總體上吻合得較好，這證實(shí)了4種方法在基于DMB水彈性分析方法下處理連接處建模的有效性。圖中，w為超大型浮體垂向位移（其值利用入射波幅A進(jìn)行了無量綱化處理），λ為波長，My為彎矩。

3.2 連接處的不同建模方法的對比分析

子結(jié)構(gòu)法和全節(jié)點(diǎn)法這兩種方法考慮了鉸接處及其附近的集中質(zhì)量之間的結(jié)構(gòu)變形，虛擬剛度法和限制矩陣法忽略了鉸接處附近的結(jié)構(gòu)變形。但是，從圖7可看出，4種方法計(jì)算得到的鉸接的浮體位移和結(jié)構(gòu)力誤差很小，這可能是由于超大型浮體的剛度相對較大，導(dǎo)致鉸接處及其附近的集中質(zhì)量之間的結(jié)構(gòu)彈性變形受到的影響相對較小所致。

圖7 不同方法計(jì)算得到的結(jié)果對比Fig.7 Comparison of calculated results by different methods

為了驗(yàn)證上述解釋，本文選取一組不同的彎曲剛度k·EI（k=0.01, 0.06, 0.1, 0.6, 1.0, 1.6），且保持其他參數(shù)不變，重新計(jì)算了兩模塊超大型浮體的動(dòng)力響應(yīng)，結(jié)果如圖8所示。圖中，黑色虛線表示8個(gè)子模塊重心位置，選取的超大型浮體的尺度參數(shù)中除了彎曲剛度0.01改為4.77×109N·m2外，其他不變（具體見表2）。

由于限制矩陣法和全節(jié)點(diǎn)法的結(jié)果與虛擬剛度法和子結(jié)構(gòu)法的結(jié)果非常接近，為保持圖線清晰，本節(jié)僅展示了虛擬剛度法和子結(jié)構(gòu)法的結(jié)果。從圖8可看出，虛擬剛度法和子結(jié)構(gòu)法這兩種方法計(jì)算得到的位移和彎矩在鉸接處附近有明顯的差異，且該差異隨著彎曲剛度的增加而減小。

圖8 不同彎曲剛度下超大型浮體垂向位移和彎矩分布Fig.8 Distribution of vertical displacement and bending moment along the hinged VLFS under different bending stiffnesses

此外，從1.2節(jié)還可知，計(jì)算超大型浮體任意一個(gè)位置處動(dòng)力響應(yīng)的源頭在于每個(gè)子模塊重心處的位移與受力，所以無論采取剛性還是彈性的假設(shè)，本質(zhì)上，這4種方法都是對鉸接位置所在的桿件剛度矩陣和受力矩陣進(jìn)行修正，以及尋找新的力與位移的關(guān)系。因此，虛擬剛度法與子結(jié)構(gòu)法計(jì)算結(jié)果間的差異其根源在于鉸接處相鄰的兩個(gè)子模塊重心位置的動(dòng)力響應(yīng)，而各子模塊重心位置的動(dòng)力響應(yīng)是經(jīng)過求解矩陣方程式（2）得到的，在采用不同方法計(jì)算得到的方程存在差異的情況下，很難使用理論推導(dǎo)給出公式中存在的差異。盡管如此，仍可探究在彎曲剛度發(fā)生變化時(shí)虛擬剛度法和子結(jié)構(gòu)法兩者的計(jì)算結(jié)果在子模塊重心位置的差值。

圖9所示為彎曲剛度在0.01～2.0變化時(shí)，兩種方法計(jì)算得到的鉸接處相鄰子模塊重心的動(dòng)力響應(yīng)之間的差值。從圖9可明顯看出，各差值隨著彎曲剛度的增加逐漸趨于0?？梢?，當(dāng)超大型浮體的彎曲剛度較大時(shí)，鉸接處可近似作為剛體處理而不至于產(chǎn)生大的誤差，但若彎曲剛度較小，鉸接處附近的變形便不可忽略。

圖9 鉸接處相鄰子模塊重心處的垂向位移、剪力和彎矩之間的差值隨彎曲剛度的變化曲線Fig.9 Variation of the D-values between two adjacent sub-modules gravity center's vertical displacement, shear force and bending moment

如圖8（c）和圖8（d）所示，對于相對較小的彎曲剛度，虛擬剛度法得到的在鉸接處附近的彎矩相比子結(jié)構(gòu)法的結(jié)果偏大，若離鉸接處有一定的的距離，兩者的差別基本可忽略。對上述現(xiàn)象的解釋如下：

如圖10所示，鉸接處左端的彎矩由兩個(gè)因素決定，即鉸接處的力Fh3和 分布載荷q(x1)，其中x1是 與鉸接處的距離；如式（2）所示，q(x1)可能包括慣性力、靜水力和水動(dòng)力等。在鉸接處附近，彈性浮體的彎矩主要受到鉸接處的力的影響。

圖10 鉸接連接處的結(jié)構(gòu)受力示意圖Fig.10 Schematic of the loads near the structure at the hinged position

這里，以彎曲剛度0.01EI的情況為例，分別采用虛擬剛度法和子結(jié)構(gòu)法計(jì)算鉸接處的力，結(jié)果如圖11所示。由圖11可見，在鉸接處位置x=150 m，采用虛擬剛度法計(jì)算得到剪力結(jié)果（800 kN）大于子結(jié)構(gòu)法計(jì)算的結(jié)果（約265 kN），這就造成了虛擬剛度法計(jì)算得到的鉸接處附近的彎矩大于子結(jié)構(gòu)法計(jì)算的結(jié)果。但是，若在遠(yuǎn)離鉸接處的位置，兩種方法計(jì)算得到的子模塊端面處的結(jié)構(gòu)力（用于插值求得任意位置的彎矩）基本相同，這也就解釋了在遠(yuǎn)離鉸接處不同方法計(jì)算得到的彎矩差別很小的原因。

4 結(jié) 語

在DMB水彈性理論框架下，本文提出了模擬連接形式復(fù)雜的超大型浮體連接處的虛擬剛度法和子結(jié)構(gòu)法，并與已有的限制矩陣法和全節(jié)點(diǎn)法進(jìn)行了對比分析。結(jié)果表明，本文新提出的方法并沒有增加運(yùn)動(dòng)方程的系數(shù)矩陣的維度，計(jì)算也更方便。當(dāng)彈性浮體的彎曲剛度相對較小時(shí)，因?yàn)樽咏Y(jié)構(gòu)法和全節(jié)點(diǎn)法考慮了鉸接處附近的結(jié)構(gòu)變形，所以更適合該情況下的動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算。

對于多鉸接或具有斷裂位置等的非連續(xù)超大型浮體，研究者只需要定義連接處的剛度陣，就可按照本文所述步驟構(gòu)建新的力與位移的關(guān)系，然后進(jìn)行水彈性分析。

最后，值得一提的是本文結(jié)果并沒有采用合適的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與其進(jìn)行對比，因此，在未來的研究中，將針對不同的建模方法開展實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并考慮在更復(fù)雜的應(yīng)用場景（例如非均勻海洋環(huán)境、非均勻海底以及有越浪）下的適用性。