基于壓縮感知的正交偶極子陣列信號參數(shù)估計(jì)

王煒彤，楊健，郭曉冉，劉魯濤

1 哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001

2 先進(jìn)船舶通信與信息技術(shù)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 黑龍江 哈爾濱 150001

3 北京遙感設(shè)備研究所, 北京 100854

4 中國人民解放軍32181部隊(duì), 河北 石家莊 050000

0 引 言

陣列信號處理主要是利用信號的空域特性來增強(qiáng)信號及有效提取信號空域信息[1-2]。極化敏感陣列本質(zhì)上是一種矢量天線陣列[3-4]，它不僅可以利用信號源的空域信息，還能夠獲取信號源的極化域信息，這種多維參數(shù)的獲取能力為提高陣列信號處理的整體性能奠定了物理基礎(chǔ)[5-6]。然而，增加的信息量也導(dǎo)致了運(yùn)算復(fù)雜度和硬件成本的提高。根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知，全電磁矢量傳感器由3個(gè)電偶極子和3個(gè)磁環(huán)共點(diǎn)正交而成，其能夠感知完整的電磁矢量信息。而在實(shí)際應(yīng)用中，為降低硬件和計(jì)算的復(fù)雜度，可以去除全電磁矢量傳感器中的某些電磁感應(yīng)單元，得到殘缺的低維電磁矢量天線，例如，三極子天線和由同點(diǎn)配置且相互正交的一對偶極子天線所組成的正交偶極子陣列。近年來，針對基于偶極子組成的極化敏感陣列的研究備受關(guān)注，其中囊括了由若干個(gè)極化選擇特性不盡相同的天線單元組成的極化敏感陣列[8]。文獻(xiàn)[9]提出了基于正交偶極子L形陣列的二維波達(dá)方向（direction of arrival, DOA）和極化參數(shù)聯(lián)合估計(jì)方法，并采用降維多重信號分類（multiple signal classification，MUSIC）算法顯著降低了計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[10]通過交叉偶極子組成的稀疏平面陣有效實(shí)現(xiàn)了信號的二維DOA估計(jì)，在保證估計(jì)精度的條件下，兼具了低互耦的優(yōu)勢。

傳統(tǒng)的信號處理過程中除需要解決信號多維參數(shù)的獲取問題外，通常還需要面臨奈奎斯特采樣（Nyquist sampling）定律的限制。而壓縮感知（也稱壓縮采樣）（compressive sensing, CS）技術(shù)使得低于奈奎斯特采樣速率的信號恢復(fù)成為可能，故也逐漸被應(yīng)用于DOA估計(jì)和許多相關(guān)系統(tǒng)中[11-12]?；趬嚎s感知技術(shù)的DOA估計(jì)結(jié)構(gòu)可以在保證估計(jì)精度的同時(shí)降低系統(tǒng)復(fù)雜度，所以具備節(jié)約硬件成本的優(yōu)點(diǎn)。壓縮感知的核心思想就是通過在接收信號處理前端鏈路系統(tǒng)中插入組合網(wǎng)絡(luò)，引入一個(gè)用于線性運(yùn)算的壓縮感知矩陣，以此壓縮待處理數(shù)據(jù)的維度，從而降低系統(tǒng)復(fù)雜度和硬件成本。其中，壓縮矩陣中的各項(xiàng)通常是從獨(dú)立同分布（independently identically distribution）的參數(shù)中隨機(jī)選取的。因此，為了盡可能避免維度壓縮帶來的信息損失，文獻(xiàn)[12-15]提到了利用多種方法優(yōu)化壓縮矩陣。近年來，壓縮感知技術(shù)在單比特量化[16]、調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器[17]和多輸入多輸出（multiple-input multiple-output, MIMO）雷達(dá)[18]中得到了廣泛應(yīng)用。

然而，不論是由何種極化選擇特性的天線組成的極化敏感陣列，在使接收信息多元化的同時(shí)，也會導(dǎo)致接收數(shù)據(jù)的維度復(fù)雜化，這無疑增加了很多運(yùn)算量。現(xiàn)有的理論研究大多是利用降維方法（例如MUSIC算法[19]及相關(guān)優(yōu)化算法[20]）將DOA參數(shù)與極化參數(shù)進(jìn)行剝離處理，這種方法在標(biāo)量信號處理中展現(xiàn)出了較好的估計(jì)性能。

針對矢量陣列信號處理領(lǐng)域的問題，本文將提出一種可壓縮的正交偶極子陣列結(jié)構(gòu)模型，基于此模型，分析估計(jì)降維參數(shù)的方法。該方法的核心原理是在天線輸出端插入由移相器和累加器組成的組合網(wǎng)絡(luò)來壓縮接收信號的維度，利用降維的MUSIC算法對信號參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)，以進(jìn)一步降低算法復(fù)雜度，實(shí)現(xiàn)高精度的DOA和極化參數(shù)的估計(jì)。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)對本文所提方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 陣列模型

1.1 極化敏感陣列接收模型

如圖1所示，考慮分布于y軸上的L陣元均勻線陣，陣元為內(nèi)部分量均指向所在坐標(biāo)軸正方向的正交偶極子陣列（由十字交叉粗線表示）。圖中，θ和φ分別為信號方位角及俯仰角，L表示陣元數(shù)量，l=1,2,···,L。

圖1 正交偶極子均勻線陣Fig.1 Orthogonal dipole uniform linear array

假設(shè)存在K個(gè)遠(yuǎn)場入射窄帶完全極化的信號由箭頭方向入射，令第k個(gè)入射信號的DOA分別為θk和φk（其中，θk為信號方 位角，φk為信號俯仰角），極化參數(shù)（極化輔助角和極化相位差）分別為γk∈[0,π/2]和ηk∈[0,2π]。為便于分析和推導(dǎo)，假設(shè)入射信號與均勻線陣同在yOz平面內(nèi)。令陣元噪聲均為高斯白噪聲，且與各入射信號均統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，令Lo=2L，表示接收數(shù)據(jù)矢量維度，其中下標(biāo)o代表正交矢量矩陣，則接收數(shù)據(jù)矢量x(t)表示為

式中：sK(t)表 示K個(gè)信號 的 復(fù) 包 絡(luò)；s(t)為發(fā)射信

式中： [·]T表示向量轉(zhuǎn)置；uk,l為 第l個(gè)陣元處的第k個(gè)入射信號的空間相位因子；d為陣元間距；λ為入射信號波長；hγk,ηk為信號的極化矢量，且

當(dāng)傳感器陣元為正交偶極子時(shí)，矩陣 Ξθk,φk表示為

式（5）矩陣中，各項(xiàng)元素只與每個(gè)信號的DOA有關(guān)，與物理陣元的位置無關(guān)。

1.2 基于壓縮感知的極化敏感陣列接收模型

本文提出的壓縮陣列結(jié)構(gòu)是在空間域中應(yīng)用壓縮感知思想，將陣元數(shù)較多的陣列壓縮或轉(zhuǎn)換成通道數(shù)少得多的陣列，從而可以極大地降低硬件的復(fù)雜度（即減少前端鏈路數(shù)量）和軟件復(fù)雜度（即降低DOA估計(jì)算法中的計(jì)算量），同時(shí)仍保持較高的估計(jì)性能。如圖2所示，表示L維（微波通道數(shù)）的信號矢量[z1(t),z2(t),···,zL(t)]經(jīng)過組合網(wǎng)絡(luò)后被壓縮為M維（壓縮通道數(shù)）的信號矢量[z?1(t),z?2(t),···,z?M(t)]，φ11,···,φML分 別 為 壓 縮 過 程中產(chǎn)生的相移。

圖2 數(shù)據(jù)壓縮結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of data compression structure

利用數(shù)據(jù)壓縮結(jié)構(gòu)的模型實(shí)現(xiàn)方法如下：

在極化敏感陣列接收部分的射頻前端插入一個(gè)組合模塊，對Lo維的接收信號矢量進(jìn)行維度壓縮，令前端鏈路壓縮通道數(shù)為M，且滿足M

定義壓縮感知矩陣 Φ∈CM×Lo，用于表征組合模塊的壓縮性能， CM×Lo表 示矩陣維度為M×Lo。因Φ將同時(shí)作用于接收信號的信號分量和噪聲分量，故假設(shè)Φ滿足行正交矩陣的條件，即ΦΦH=IM， （ [·]H代 表矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，IM表 示M×M的單位陣），以避免噪聲子空間擴(kuò)散到信號子空間[21]，并進(jìn)一步假設(shè)壓縮過程中未引入額外噪聲。值得注意的是，這種數(shù)據(jù)壓縮操作會導(dǎo)致費(fèi)希爾信息矩陣（Fisher information matrix, FIM）損失，當(dāng)接收陣列為均勻線陣時(shí)，這種信息損失可以用(L?M)/L來量化。為了盡可能避免此類信息的丟失，文獻(xiàn)[13-14]提出采用多種基于均勻接收陣列的壓縮矩陣進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論和思想，但因本文旨在提出的是基于壓縮感知的正交偶極子陣列結(jié)構(gòu)，并研究基于此結(jié)構(gòu)的DOA及極化參數(shù)估計(jì)方法，故對于上述理論和思想在此不作贅述。圖3所示為本文提出的基于壓縮感知的極化敏感陣列結(jié)構(gòu)示意圖。

圖3 基于壓縮感知的正交偶極子陣列結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of data compression based on orthogonal dipole array structure

圖3中，K個(gè)完全極化信號分別由s1(t),s2(t),···,sK(t)表示，L個(gè)正交偶極子陣元的接收信號分別表示為x1(t),x2(t),···,xLo(t)，則y1(t),y2(t),···,yM(t)表示經(jīng)過壓縮后得到的M個(gè)通道的信號。如圖3所示，當(dāng)正交偶極子分別指向x，y軸正方向時(shí)，對于擺放在y軸上的正交偶極子均勻線陣，其陣列接收模型可以表示如下：

式中：n(t)=Φnˉ(t)，為壓縮后的噪聲矩陣。經(jīng)維度壓縮后的M維陣列輸出協(xié)方差矩陣Ryy可以表示為：

式中：Rss為 信號協(xié)方差矩陣；σ2n為噪聲方差；IL為L維單位陣。

在實(shí)際應(yīng)用中，需要計(jì)算陣列的樣本協(xié)方差矩陣如下：

式中，y(t)為 獨(dú)立快拍數(shù)T下的樣本信號矢量，當(dāng)T趨近于∞時(shí)，R?yy與Ryy的誤差趨近于0。

2 降維MUSIC算法

2.1 信號DOA估計(jì)

對陣列輸出協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，得到

式中：Λs和 Λn分 別為對角線元素為K個(gè)大特征值和M?K個(gè)小特征值的對角陣；與之對應(yīng)，Us和Un為由特征值和小特征值對應(yīng)的特征矢量分別張成的子空間（即Us為 信號子空間，Un為噪聲子空間）。已知，Us與接收信號的導(dǎo)向矢量張成的空間可視為同一空間，而Un與信號子空間相互正交。利用子空間的正交特性，則有

為便于表示與計(jì)算，令DΦHUnUΦDθk,φk?H(θk,φk)， 進(jìn)一步簡化表示為Hθk,φk，從而推導(dǎo)出存在如下關(guān)系：

將極化MUSIC空間譜表示為

由此，可得到極化信號的DOA估計(jì)值。

2.2 極化參數(shù)估計(jì)

由式(9)所示關(guān)系發(fā)現(xiàn)，可以通過解決以下優(yōu)化問題實(shí)現(xiàn)信號的極化參數(shù)估計(jì)。

根據(jù)2.1節(jié)所述，因已完成信號的DOA估計(jì)，則對極化參數(shù)的估計(jì)問題可轉(zhuǎn)化為求解固定的 θ和φ ， 即能夠使目標(biāo)函數(shù)J(θ,φ,γ,η)達(dá)到最小值的γ和η分別為多少。進(jìn)一步地，由式(3)可知hHγ,ηhγ,η=1， 則上述問題又可化簡為在hhγ,η=1條件約束下MUSIC譜函數(shù)的最小值對應(yīng)的點(diǎn)，即求解hHγ,ηH(θ,φ)hγ,η的最小值。最終，上述問題被歸納為一個(gè)約束最優(yōu)化的問題。下面利用拉格朗日乘數(shù)法降維。

首先，構(gòu)造如下代價(jià)函數(shù)：

由此可見，在hhγ,η=1的 約束下，hH(θ,φ)hγ,η的最小值應(yīng)為 min(λ) ，當(dāng)λ為H(θ,φ)的最小廣義特征值

然時(shí)后，h，γ,η令 則 矩為 陣λ對束應(yīng)P的θ,φ廣={義H特(θ,征φ)向,D量。Dθ,φ}，則 對于已得到的DOA估計(jì)值，J(θ,φ,γ,η)的條件最小值為Pθ,φ的最小廣義特征值，即存在如下關(guān)系：

式中， ?min(·) 和 ??min分別為矩陣束的最小廣義特征值及其所對應(yīng)的廣義特征向量。根據(jù)信號極化矢量定義，結(jié)合式(16)，可得信號極化參數(shù)的確定公式如下：

由式（18）和式（19）不難發(fā)現(xiàn)，盡管引入了極化信息γ和η，但在信號參數(shù)的估計(jì)過程中仍然通過降維方法避免了高維度的空間譜搜索，并進(jìn)一步減少了運(yùn)算量。

3 算法仿真與分析

為便于計(jì)算和陣列結(jié)構(gòu)的對比分析，本節(jié)選取10陣元（L=10）的正交偶極子陣列為接收陣列，接收數(shù)據(jù)矢量維數(shù)Lo=2L=20。其中，陣元間距d=λ/2 ，壓縮通道數(shù)M=12。仿真中的信噪比SNR=10 dB，獨(dú)立快拍數(shù)T=1 000。

3.1 信號參數(shù)估計(jì)

鑒于線陣列無法進(jìn)行二維信號參數(shù)的估計(jì)，故不失一般性地將信號方位角設(shè)置為 θk=π/2，如此，可將信號DOA限制在yOz平面上。在設(shè)置空間中有6個(gè)遠(yuǎn)場非相干完全極化的入射信號，令各信號俯仰角φk、極化輔助角γk和極化相位差ηk分 別在 [10?,50?]， [15?,75?]和 [30?,300?]范 圍 內(nèi) 均勻分布，極化MUSIC空間譜的譜峰搜索以 0.05?為步進(jìn)。信號譜峰的搜索結(jié)果和極化參數(shù)估計(jì)結(jié)果分別如圖4(a)和圖4 (b)所示。

由圖4可知，對于非相干的極化信號，本文所提出的結(jié)構(gòu)和算法可以給出正確的信號參數(shù)估計(jì)結(jié)果，且空間譜譜峰尖銳。

圖4 信號參數(shù)聯(lián)合估計(jì)結(jié)果Fig.4 Joint estimation results of signal parameters

3.2 均方根誤差（RMSE）

為進(jìn)一步分析所提出結(jié)構(gòu)的估計(jì)精度，將其與其他結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比。設(shè)置對比陣列：

1） 將前文中設(shè)置的L=10的正交偶極子均勻線陣，Lo=2L=20 ，壓縮通道數(shù)M=12，記為本文所提結(jié)構(gòu)；

2） 將L=10 的 正交偶極子均勻線陣，Lo=2L=20，不經(jīng)過維度壓縮，記為結(jié)構(gòu)1；

3）將L=6 的正交偶極子均勻線陣，Lo=2L=12，不經(jīng)過維度壓縮，記為結(jié)構(gòu)2。

以上兩種對比結(jié)構(gòu)除均不經(jīng)過維度壓縮外，其他仿真條件與3.1節(jié)一致。經(jīng)過200次蒙特卡羅方法的實(shí)驗(yàn)，得到如圖5所示信號參數(shù)估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。

圖5 信號參數(shù)估計(jì)性能隨信噪比變化Fig.5 Variation of performance estimation of signal parameters with SNR

在快拍數(shù)保持恒定的情況下，隨著信噪比的增加，對于俯仰角φk、極化輔助角γk及 極化相位差ηk的估計(jì)誤差均呈現(xiàn)越來越小的趨勢，即估計(jì)性能隨著信噪比的增加而提高。估計(jì)精度最高的陣列結(jié)構(gòu)是結(jié)構(gòu)1，因?yàn)樗趫D中3種陣列結(jié)構(gòu)中擁有最多的通道數(shù)，同時(shí)也意味著其計(jì)算復(fù)雜度最高。雖然結(jié)構(gòu)1和本文所提結(jié)構(gòu)都具有10個(gè)正交偶極子陣列，但是，壓縮感知技術(shù)的應(yīng)用在降低了接收數(shù)據(jù)維度的同時(shí)，也不可避免地造成部分信息的丟失，從而在一定程度上導(dǎo)致了估計(jì)性能的下降。然而，當(dāng)通道數(shù)同為6時(shí)，本文所提結(jié)構(gòu)的估計(jì)精度要明顯高于結(jié)構(gòu)2，且在信噪比高于10 dB時(shí)，俯仰角的估計(jì)均方根誤差低于0.05°。這證明了在盡量降低計(jì)算復(fù)雜度的條件下，本文所提結(jié)構(gòu)確實(shí)具有較好的估計(jì)性能。

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于壓縮感知的正交偶極子極化敏感陣列結(jié)構(gòu)，基于所構(gòu)建的結(jié)構(gòu)模型，通過降維MUSIC算法，成功實(shí)現(xiàn)了對極化信號DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)。通過仿真實(shí)驗(yàn)對比，結(jié)果表明，在通道數(shù)相同的條件下，相比于未經(jīng)壓縮的正交偶極子均勻線陣結(jié)構(gòu)，本文所提結(jié)構(gòu)能夠獲得更高的參數(shù)估計(jì)精度。對于物理陣元數(shù)相同的陣列結(jié)構(gòu)而言，本文所提結(jié)構(gòu)利用了壓縮感知技術(shù)，使得通道數(shù)更少，故以犧牲一定估計(jì)精度為代價(jià)獲得了更低的運(yùn)算復(fù)雜度。