基于問題驅動的初中數(shù)學深度學習課例研究

許科挺 毛孟杰

【摘 要】 在一個信息社會中，社會對人的素質提出較高的要求，而較高素質的培養(yǎng)，需要教師創(chuàng)導有利于學生主動的、積極的“深度學習”.文章通過對鄭瑄老師執(zhí)教的“神奇的黃金分割”新授課教學過程的分析，提出關于初中數(shù)學的深度學習的內涵、開展深度學習的途徑、深度學習與數(shù)學核心素養(yǎng)的關系的三點思考.

【關鍵詞】 問題驅動;深度學習;課例研究

0 引言

信息爆炸、專業(yè)分工細化的時代，社會對人的素質提出越來越高的要求，那種由被動的、孤立的、機械的“淺層學習”習得的零碎的知識，已經(jīng)不能滿足社會的需求.當下普遍存在的缺乏“深度學習”嚴重制約學生后續(xù)非義務教育的學習，“深度學習”已然成為初中數(shù)學教育界關注的焦點.

我們認為，數(shù)學深度學習是在教師的引領下，學生圍繞具有趣味性、挑戰(zhàn)性的數(shù)學學習主題，全身心積極參與，獲得發(fā)展的有意義的學習過程.它除了要求學生學會理解數(shù)學知識的本質，關注數(shù)學知識之間的聯(lián)系，更多地注重應用、分析、創(chuàng)造等高階思維活動.它的最終目標指向是發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)[1].

開展數(shù)學深度學習有很多途徑，其中，“問題驅動”是數(shù)學深度學習的一個重要途徑.“問題驅動”是以“問題”為載體，通過“發(fā)現(xiàn)問題”“提出問題”“分析問題”和“解決問題”的一系列教學過程讓學生深刻理解知識的本質，走進學生的情感與思維深處，發(fā)展他們的核心素養(yǎng).本文是筆者對浙江省特級教師、正高級教師鄭瑄老師在寧波惠貞書院執(zhí)教的一節(jié)“神奇的黃金分割”新授課教學過程片段，進行個案分析，撰寫成文，供讀者研究.

1 教學片段1.1 創(chuàng)設情景，發(fā)現(xiàn)問題

教師：同學們，在初一我們學習了線段的中點.

如圖1，若P是線段AB的中點，則有APBP=1，

并且AP=BP=12AB，它體現(xiàn)出線段的均衡、對稱與和諧之美.那么，當時怎么找線段的中點呢？

學生1：有對折法、測量法和尺規(guī)作圖法三種方法.

教師：很好，因為線段是對稱圖形，所以可用對折法找中點;由于線段可度量，所以可用測量法畫中點;也可用尺規(guī)通過作線段AB的中垂線作出它的中點.下面，我們自然會想：中點P把線段AB分割成兩條線段AP和BP，BPAP與APAB會不會相等？

學生2：BPAP=1，APAB=12，它們是不相等的.

教師：對，BPAP≠APAB，這說明中點在線段中并不是很完美的.那么，在線段上有沒有這樣一個特殊點P，使得BPAP=APAB呢？

評注 我們知道，教師要引出“黃金分割”“黃金分割點”和“黃金比”等新知識，應該找出新知識的生長點，不能簡單地把新知識拋給學生，讓學生硬性地、機械地接受.

在本案例中，鄭老師以初一已學過的“線段中點”作為新知識的萌芽點，通過“線段中點”雖有在線段中的均衡、對稱與和諧之美，但比例不夠完美，讓學生自然而然去思考一個問題：在線段上有沒有這樣一個特殊點P，使得BPAP=APAB呢？.筆者認為，鄭老師這種通過設置相關學習情景的深度學習，已經(jīng)不是表面的讓學生簡單的“算一算”“量一量”“猜一猜”等淺層的指令性的學習.這種帶有挑戰(zhàn)性的問題情境的深度學習能讓學生主動地、興趣盎然地發(fā)現(xiàn)問題，它不但可以提高學生對數(shù)學學科的興趣和好奇心，而且會讓學生養(yǎng)成運用數(shù)學的思維方式進行思考的習慣，而這種數(shù)學的思維方式無疑是學生形成數(shù)學核心素養(yǎng)（抽象、推理、運算等）的基礎[2].

1.2 類比探究，提出問題

教師：如圖2，點P把線段AB分成兩條線段AP（較大）和PB（較?。笲PAP=APAB，那么稱AB被點P黃金分割，點P叫做線段AB的黃金分割點，線段AP與AB的比叫做黃金比.同學們，與學習“線段中點”相比，你們對今天的“黃金分割”會提出哪些感興趣的問題呢？

學生3：黃金比會等于多少？

學生4：怎樣找線段的黃金分割點呢？

學生5：黃金分割有什么應用？

教師：很好，同學們提出一個又一個有價值的問題，說明我們已經(jīng)有問題意識、探究的能力，這往往比純粹解決問題重要的多.

評注

讓學生獨立地、多角度提出問題的深度學習，可以讓學生敏捷地、深刻地把握新知識的本質.事實上，讓學生獨立的、多角度的思考和提出深層次的問題比只習得新知識、新技能重要得多，因為那是在“授人以漁”，是在培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

本案例中，鄭老師給出“黃金分割”的有關概念后，給學生留出思考的時間，讓學生針對“黃金分割”提出自己感興趣的問題，這樣設計，有利于提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的能力.然后讓學生圍繞著三個問題：“黃金比等于多少？”“如何找線段的黃金分割點”和“黃金分割有哪些應用”，這與引入環(huán)節(jié)中的回顧線段中點的兩個問題“中點有哪些性質”和“中點如何找”前后呼應.她如此精細的設計的根據(jù)是：“一個好的教學應該遵循學生的數(shù)學現(xiàn)實，教師要努力尋找學生的最近發(fā)展區(qū)，尋找新知識的生長點.”只有做到了這一些，才能驅動學生思維的齒輪，撥動學生心中的激昂琴弦.

1.3 合作交流，分析問題

問題1 如圖2，若BPAP=APAB，求APAB（或BPAP）的值.

學生各自思考、計算，然后把自己的做法與同桌進行討論、交流.過一段時間，相繼有4位學生板演.

學生6（方法1）：設AB=1，AP=x，則BP=1-x.于是，1-xx=x1，得到x2+x-1=0.解得，x1，2=-1±52.因為x﹥0，所以x=5-12，即APAB=5-12.

學生7（方法2）：設APAB=x，則AP=x·AB，BP=（1-x）AB.于是，（1-x）·ABx·AB=x·ABAB，即1-xx=x1…

學生8（方法3）：設AP=1，BP=y.于是，y1=1y+1，得到y(tǒng)2+y-1=0.解得y=5-12（負值舍去），所以APAB=BPAP=5-12.

學生9（方法4）：設AP=a，BP=b，則AB=a+b.于是，ba=aa+b，得到ba2+ba-1=0.解得ba=5-12（負值舍去），所以APAB=BPAP=5-12.

教師：很好，我們比較一下這四種方法的思路異同.

學生10：它們的基本思路都是用方程思想處理幾何問題;不同之處：（1）方法1把整條線段AB設為單位“1”，而方法3把線段AP設為單位“1”.（2）方法2是直接設未知數(shù)，另外三種方法則是間接設未知數(shù)，通過求線段比得出黃金比.

問題2 如何找線段的黃金分割點.

教師：對折一條線段能實現(xiàn)嗎？為什么？

學生11：不能，因為黃金比是5-12，而對折n次只能得到含有它的12n整數(shù)倍線段.

教師：能用測量法近似找到線段的黃金分割點嗎？如果能找到的話，這樣的點有幾個？

學生12：能，因為黃金比是5-12≈0.618，因此，如圖3，我只要用刻度尺在線段AB上量出AP=0.618·AB或BP′=0.618·AB即可，這樣的點有2個.

教師：能用尺規(guī)作出線段的黃金分割點嗎？

學生陷入沉思之中，很多學生處于惘然，略待片刻，教師緩緩提示：關鍵是作出5.學生陸續(xù)完成作圖，教師選擇2位同學呈現(xiàn)他們的作圖過程.

學生13：如圖4，作CB⊥AB于點B，使CB=2AB，

連結AC，截AD=AB，則CD=（5-1）AB，作CD的中垂線，

垂足為E，截AP=CE，則點P即為線段AB的黃金分割點.

學生14：如圖5，作CB⊥AB于點B，使CB=12AB，

連結AC，得AC=52AB.截CD=CB，則AD=5-12AB，

再截AP=AD，于是，點P即為線段AB的黃金分割點.

教師：很好！這兩位同學構造直角三角形解決“黃金比”中的5.在圖5中，如果把用圓規(guī)截取CD=CB和AP=AD看作圖形的折疊，可得到2012年施恩州的一道中考題.

（2012年施恩）如圖6，用紙折出黃金分割點：裁一張正方形的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點B的新位置B′，因而EB′=EB.類似地，在AB上折出點B″，使AB″=AB′.這是B″就是AB的黃金分割點.請你證明這個結論.

學生15：設正方形ABCD的邊長為2，因為E為BC的中點，

所以BE=1，所以AE=AB2+BE2=5.

又因為B′E=BE=1，所以AB″=AB′=AE-B′E=5-1，

所以AB″AB=5-12，即點B″是線段AB的黃金分割點.

……

評注 鄭老師圍繞著“黃金分割”的主題，引導學生自主探索“黃金比是多少”和“怎么找線段的黃金分割點”兩個子問題，然后通過師生互動交流，展現(xiàn)各自的思維成果.在探究“黃金比是多少”的問題中，鄭老師先讓學生獨立思考，在合作交流中，讓學生展現(xiàn)自己的思維方式和解決問題的獨特方法，在多樣的解法中，引導學生概括解法的異同.在探究“如何找線段的黃金分割點”時，鄭老師通過類比“中點”的找法，讓學生自然地從“對折”“測量”和“尺規(guī)作圖”三個角度進行思考，然后把“尺規(guī)作圖”與施恩州的一道“四次折疊找黃金分割點”的中考題聯(lián)系起來.

顯然，這種圍繞問題的深度學習的教學方法能夠使學生真正觸及到底層知識，掌握新知識的本質，而且也有利于學生分析、綜合等高階思維的培養(yǎng).

1.4 生活應用，解決問題

問題3 黃金分割的應用.

教師：黃金分割具有藝術性與和諧性，蘊含著豐富的美學元素.請同學們欣賞神奇的黃金比值0.618，展現(xiàn)PPT：

名畫《蒙娜麗莎》、維納斯女神、帕特農神廟、埃及的金字塔、大自然中蝴蝶、攝影作品中，“主體”在橫向和縱向兩個維度上基本處于黃金分割點;小提琴在弦的黃金分割點上彈奏，會發(fā)出動聽、悅耳、和諧的聲音.

在公元前6世紀，古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯線段分割狀態(tài)下存在一種和諧美，后來古希臘美學家柏拉圖正式稱之為黃金分割，并一直被稱為最佳比例……

此刻，學生迷戀于對黃金分割的欣賞之中，充滿對數(shù)學美的無限遐想……

評注 我們知道，從問題探究中獲得的新知識，最終都需要把新知識回歸到在學科或在生活上的應用，只有這樣才能體現(xiàn)新知識的價值，才能增強學生的應用意識.

在本案例中，探究“黃金分割”的應用，鄭老師站在數(shù)學文化的維度上，讓學生充分感受到“黃金分割”與“藝術之美”“自然之美”的內在聯(lián)系，讓數(shù)學洗滌學生的靈魂，使學生感受到數(shù)學的魅力[3].在整個探究過程，始終關注學生的思維和情感，樸實無華，自然天成.鄭老師將“黃金分割”“黃金比”和“黃金分割點”等新知識與自然、藝術結合起來，讓學生潛移默化地養(yǎng)成用“數(shù)學的眼光認識生活的環(huán)境與生活”的習慣，這才是問題解決的終極目標，同時也提高了深度學習中的應用與評價的高階思維.

2 三點思考

2.1 初中數(shù)學的深度學習是什么

什么是初中數(shù)學深度學習？很多老師可能認為只要能使學生理解數(shù)學基礎知識，并且會在實際問題情景下應用這些知識，再有點數(shù)學思想方法，這種學習就是初中數(shù)學的深度學習.筆者則認為，初中數(shù)學的基礎知識、基本的數(shù)學思想方法的學習固然重要，但更重要的是學生批判性、創(chuàng)造性學習能力的培養(yǎng).因為只有學生當具備一定的批判性、創(chuàng)造性的學習能力時，他們就會對數(shù)學本身產生濃厚的興趣，充滿欲罷不能的好奇心，才會對后續(xù)的非義務教育的數(shù)學學習提供源源不竭的動力.而這種學習能力的認知基礎，應該是分析、應用、評價和創(chuàng)造等高階思維活動，而在數(shù)學教學過程中的應用、評價和創(chuàng)造等高階思維的培養(yǎng)是數(shù)學深度學習的基本內涵.

2.2 初中數(shù)學的深度學習如何開展

初中數(shù)學深度學習的開展有很多途徑，問題驅動是其中的一個較為有效的方法.因為問題是數(shù)學的心臟，是思維的源頭和動力.以“問題為中心”的教學，是通過引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題等一系列的學習過程，幫助學生理解知識的來龍去脈，幫助學生構建較為完整的知識體系，形成批判性、創(chuàng)造性的學習能力，逐漸培養(yǎng)成良好的思維方式.在這個過程中，教師的主導作用就體現(xiàn)在如何設置一個有挑戰(zhàn)性、層次性的問題系列，通過問題系列充分調動學生的好奇心和求知欲，讓學生在問題解決的過程中，知識理解不斷地深入，思維不斷地得到優(yōu)化，創(chuàng)造力不斷得到提升，情感得到培育.

2.3 初中數(shù)學的深度學習與數(shù)學核心素養(yǎng)的關系

中小學數(shù)學教育的終極目標在于，會用數(shù)學的眼光觀察世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.數(shù)學眼光更多地指向數(shù)學抽象、直觀想象，數(shù)學思維更多表現(xiàn)在邏輯推理和數(shù)學運算，數(shù)學語言更多地體現(xiàn)為數(shù)學模型、數(shù)據(jù)分析.因此，數(shù)學核心素養(yǎng)應該包括數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學模型和數(shù)據(jù)分析等成分，這是當今信息社會的“學會學習”在數(shù)學方面的必備素質.而這些數(shù)學核心素養(yǎng)并不是學生數(shù)學學習的必然產物，因為大多數(shù)學生學習數(shù)學采用的是死記硬背、題海戰(zhàn)役的方式，他們習得的知識大多是片面的、不正確的，伴隨認知過程所產生的情感大多是負面的、消極的，以至于一些優(yōu)秀生也常有“數(shù)學枯燥無味”的感覺.但是，如果我們的教學是促進學生進行主動、有意義的“深度學習”，是基于理解的基礎上把促進學生的高階思維和實際問題的解決作為我們追求目標，那么，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)目標就會逐步達成.

3 結束語

綜上所述，深度學習是與淺層學習相對的學習方式，它更關注學生知識的整合和批判性、創(chuàng)造性思維的培育.深度學習是一種過程性的學習，它著眼于學生的高階思維的發(fā)展和終身學習能力的培養(yǎng).初中數(shù)學的深度學習，有助于學生在獲得數(shù)學核心素養(yǎng)的同時，也有助于他們的創(chuàng)新意識的養(yǎng)成和實踐能力的提高.

參考文獻

[1]孫學東，周建勛.數(shù)學深度學習是什么？常態(tài)課堂如何可為？[J].中學數(shù)學教學參考，2017（7）：57-60.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[3]鄭瑄.數(shù)學課[M].上海：華東師范大學出版社，2009.

作者簡介 許科挺（1982—），男，浙江寧波人，中學高級教師;主要研究中學數(shù)學教育.

毛孟杰（1968—），男，浙江寧波人，中學高級教師;主要研究中學數(shù)學教育.

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