“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”研究20年：回顧與展望

張定強(qiáng) 馮敏

【摘 要】 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究具有重要的理論與實(shí)踐價(jià)值.梳理課改20年“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”研究的脈絡(luò)發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的研究路徑有緩慢起步、迅速發(fā)展、深化推進(jìn)階段;在理論上，研究者探析了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的本體、因素、過(guò)程、價(jià)值等問(wèn)題，在實(shí)踐上，研究者剖析了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)、學(xué)習(xí)、評(píng)價(jià)等問(wèn)題，未來(lái)需要在更寬廣的視域上探索數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的新空間、新主題和新方向.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決;歷程回顧;未來(lái)展望

0 引言

問(wèn)題解決是人類認(rèn)識(shí)世界、改造世界的基本活動(dòng)，也是學(xué)生獲取知識(shí)的重要途徑.自2001年拉開新課程改革的序幕，經(jīng)過(guò)20多年的課改理論與實(shí)踐探索，取得了豐碩的成果.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決隨數(shù)學(xué)課程改革的深化已經(jīng)成為重要的學(xué)術(shù)話語(yǔ)，圍繞著數(shù)學(xué)問(wèn)題解決，數(shù)學(xué)教育研究者和工作者進(jìn)行了不懈的努力和探索，成為數(shù)學(xué)課改和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的主要著力點(diǎn).為此，有必要系統(tǒng)梳理課改20年來(lái)人們?cè)跀?shù)學(xué)問(wèn)題解決方面的探索成果，以探尋數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的歷史邏輯、理論邏輯和實(shí)踐邏輯，從而站在一個(gè)新的歷史方位認(rèn)知數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的內(nèi)涵與外延、功能與價(jià)值、策略和方法，更進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)教育高質(zhì)量發(fā)展.

1 “數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”研究的歷程回顧

“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”一直都是研究者們關(guān)注的重點(diǎn)話題，在知網(wǎng)高級(jí)檢索中輸入“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”，檢索到不同學(xué)術(shù)期刊發(fā)表與此相關(guān)的論文達(dá)9300多篇，本文基于代表作的視角選定了277篇作為探究“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”研究歷程的概況.發(fā)現(xiàn)這些論文主要來(lái)源于《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》《課程·教材·教法》《心理發(fā)展與教育》等期刊上，呈現(xiàn)多期刊表征的現(xiàn)狀.從研究方法審視，主要的研究方法有思辨法、實(shí)驗(yàn)法、案例研究法、問(wèn)卷調(diào)查法，其中訪談法、文獻(xiàn)法等方法涉及較少.課改20年間，我國(guó)學(xué)者緊跟時(shí)代脈絡(luò)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的相關(guān)問(wèn)題展開了系統(tǒng)研究，大致經(jīng)歷了三個(gè)階段.

1.1 緩慢起步階段

這一時(shí)期大概在2001年到2011年間.課改開始不久，人們對(duì)“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”的認(rèn)知還處于探索階段.在早先開展“問(wèn)題解決教學(xué)”課題研究的基礎(chǔ)上，研究者結(jié)合數(shù)學(xué)課改新理念，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)課改提出了許多建議.鞏汝訓(xùn)等人提出新課程理念下數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)設(shè)計(jì)及應(yīng)注意的問(wèn)題[1];宋乃慶基于西師版數(shù)學(xué)教材中“問(wèn)題解決”的教學(xué)內(nèi)容對(duì)如何更好的實(shí)施教學(xué)提出了建議[2].與此同時(shí)，研究者從心理學(xué)角度關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程，通過(guò)對(duì)解題過(guò)程的元認(rèn)知、動(dòng)機(jī)與行為、問(wèn)題表征等分析，提出有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的相關(guān)策略，如黃光榮探討了數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)教學(xué)與問(wèn)題解決之間的關(guān)系[3];何小亞分析了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的心理過(guò)程[4];胥興春、劉電芝對(duì)問(wèn)題表征方式進(jìn)行了系列研究，肯定了元認(rèn)知對(duì)問(wèn)題解決的重要影響，并比較研究了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙兒童的表征情況[5];朱德全等以“通過(guò)問(wèn)題解決，開發(fā)學(xué)生元認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生解題能力”為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用羅增儒的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決思維模式的四步再反饋程式，選取三年級(jí)的學(xué)生對(duì)其進(jìn)行元認(rèn)知開發(fā)試驗(yàn)，在綜合分析基礎(chǔ)上給出了建議[6];俞國(guó)良對(duì)視覺—空間表征與問(wèn)題解決的關(guān)系進(jìn)行了實(shí)證和比較研究[7].概括而言，在此階段，研究者進(jìn)行了初步研究.一是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程的模型研究.喻平提出的數(shù)學(xué)解題認(rèn)知模式、認(rèn)知構(gòu)建模式以及數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)遷移的影響研究最具代表性[8];二是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決相關(guān)的學(xué)習(xí)、教學(xué)模型的具體化研究.張奠宙和戴再平研究中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”和開放題問(wèn)題解決，并提出對(duì)開放題的教學(xué)是加快“雙基數(shù)學(xué)教學(xué)”進(jìn)步的有效途徑[9];和美君、劉儒德分析了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中情境模型和問(wèn)題模型的關(guān)系[10];施光文等人對(duì)數(shù)學(xué)“情境—問(wèn)題”教學(xué)與拋錨式教學(xué)進(jìn)行比較研究[11];呂傳漢和汪秉彝提出的“情境—問(wèn)題”教學(xué)模式在西南地區(qū)開展了實(shí)驗(yàn)研究，并取得了明顯成效[12];三是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)進(jìn)行探析.尹玉枝等人對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決與創(chuàng)造力發(fā)展進(jìn)行了實(shí)證研究[13];李艷坡等對(duì)數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”教學(xué)與學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)進(jìn)行了探析[14];豁祖順利用現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的知識(shí)，對(duì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造力進(jìn)行了深入的分析，認(rèn)為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是學(xué)生具備“可持續(xù)發(fā)展”的能力[15]，周梅等人在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決與創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)中提到數(shù)學(xué)的根本任務(wù)不僅在于向?qū)W生傳授知識(shí)，更重要的是優(yōu)化學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的多種能力[16].

1.2 迅速發(fā)展階段

這一階段大概在2011年到2017年間.隨著數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究領(lǐng)域的進(jìn)一步拓廣，研究的內(nèi)容更加全面，研究的方法更加多樣.一是研究者運(yùn)用多種方法對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程、影響因素等展開深入的研究.宋廣文等人開展了問(wèn)題表征、工作記憶對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的影響研究[17];李清等人開展元認(rèn)知策略、解題策略對(duì)不同層次學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決影響的實(shí)證研究[18];王麗娜等人對(duì)課堂網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下操作情境對(duì)兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決影響進(jìn)行實(shí)證研究[19];張?jiān)伱返热嘶诒憩F(xiàn)性評(píng)定對(duì)數(shù)學(xué)自我效能與問(wèn)題解決能力關(guān)系進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究[20].二是研究者進(jìn)行了深入的相關(guān)理論和實(shí)踐研究.魏雪峰等人結(jié)合小學(xué)兒童的心理特點(diǎn)，根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)、腦科學(xué)、認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)等領(lǐng)域的研究成果，構(gòu)建了小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知模型，為進(jìn)一步分析問(wèn)題解決認(rèn)知過(guò)程奠定了基礎(chǔ)，并以小學(xué)數(shù)學(xué)中的“眾數(shù)”為例，研究小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知、模擬及其教學(xué)啟示[21];張永雪的新課改下小學(xué)生數(shù)學(xué)真實(shí)性問(wèn)題解決能力的調(diào)查研究[22];李曉梅的關(guān)于提高小學(xué)生問(wèn)題解決能力的教學(xué)和學(xué)習(xí)策略[23]等對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)提供了重要的參考.三是研究者對(duì)合作問(wèn)題解決進(jìn)行了系列研究.孔凡哲等人提出合作問(wèn)題解決（CPS）是起源于問(wèn)題解決，指向合作性，聚焦問(wèn)題解決與合作之間的動(dòng)態(tài)交融，據(jù)此用定量分析方法，分析中美小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，提出CPS立足于個(gè)人問(wèn)題解決素養(yǎng)，全程性地統(tǒng)籌團(tuán)隊(duì)智慧，通過(guò)理解、共享、情感管理，實(shí)現(xiàn)社會(huì)交互，強(qiáng)化合作認(rèn)知，對(duì)當(dāng)時(shí)修訂《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》具有重要啟示作用[24].

1.3 深化推進(jìn)階段

這一階段大概在2017年到至今.此期間隨著普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）的頒布，提出了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，研究話題也主要是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決下學(xué)生能力、素養(yǎng)提升與評(píng)價(jià)研究.一是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的培養(yǎng).曹一鳴等人基于數(shù)學(xué)問(wèn)題探討合作問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)[25];唐斌等人分析了影響小學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力發(fā)展的原因并提出對(duì)策[26];高翔等人對(duì)五至八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力進(jìn)行實(shí)證研究[27];張僑平基于數(shù)學(xué)活動(dòng)題探析了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的策略等[28].二是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決與核心素養(yǎng)的培養(yǎng).楊勇提出了在問(wèn)題解決教學(xué)中應(yīng)該注重問(wèn)題情境、重視問(wèn)題提出、關(guān)注問(wèn)題表征、加強(qiáng)問(wèn)題交流、重視問(wèn)題拓展等以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[29];王彩云基于核心素養(yǎng)視角研究了如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思維以提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力[30];杜宵豐等以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和大綱為切入點(diǎn)，以問(wèn)題解決為例，通過(guò)內(nèi)容分析法研究核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課程中的發(fā)展沿革與趨勢(shì)[31];張敏以《以常見向量的問(wèn)題解決》研討課為例，探求其生成與培育的內(nèi)在機(jī)理與邏輯[32].三是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決評(píng)價(jià)研究.鮑建生等人用PISA、TIMSS等測(cè)試項(xiàng)目研究了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決評(píng)價(jià)框架[33];曹一鳴等人用PISA2021測(cè)試法探尋數(shù)學(xué)推理問(wèn)題解決間的關(guān)系[34];王潔基于PISA2015數(shù)據(jù)庫(kù)對(duì)北京、上海、江蘇、廣東四省市15歲學(xué)生的合作問(wèn)題解決能力進(jìn)行了分析并提出了培養(yǎng)建議[35].

2 “數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”研究的理論成果

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究的理論視角主要以“問(wèn)題”為出發(fā)點(diǎn)、“解決”為過(guò)程和手段、“價(jià)值”為目的，從問(wèn)題中理解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，以問(wèn)題解決發(fā)展數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而研究問(wèn)題解決過(guò)程、影響因素等.

2.1 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的本體探析

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的本體探析就是探索數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的內(nèi)涵、本質(zhì)及其要素、關(guān)系.不同的學(xué)者對(duì)“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”的內(nèi)涵有不同的見解.喻平提出數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是指綜合地、創(chuàng)造性地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)去解決非單純練習(xí)題式問(wèn)題，包括實(shí)際問(wèn)題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)容的問(wèn)題[36];張春莉認(rèn)為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，解決問(wèn)題的最高形式就是創(chuàng)造性的解決問(wèn)題，創(chuàng)造力是問(wèn)題解決的最高表現(xiàn)[37];李勝平認(rèn)為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是一種心理活動(dòng)過(guò)程，它是利用解題者原數(shù)學(xué)信息庫(kù)中的信息，將問(wèn)題中的條件信息進(jìn)行處理、編碼、加工，采取一定的思維對(duì)策，運(yùn)用數(shù)學(xué)來(lái)改變系統(tǒng)的初始狀態(tài)，將之變?yōu)槟繕?biāo)狀態(tài)，使系統(tǒng)從不穩(wěn)定狀態(tài)向穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)化的思維過(guò)程[38].義務(wù)教育課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)稿）以及課標(biāo)（2011年版）中將解決問(wèn)題視為課程目標(biāo)及基本能力，普通高中課標(biāo)（2017年版）將其視為四能之一，在更高層面界定數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)課程的核心要素，是通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決使學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，感悟數(shù)學(xué)價(jià)值.總之?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題解決是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，與數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、思想、方法、創(chuàng)造與應(yīng)用融合在一起，通過(guò)一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)及教學(xué)活動(dòng)，成為學(xué)習(xí)者與數(shù)學(xué)的鏈接橋梁，成為數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育系統(tǒng)中的一種關(guān)系性、生成性、創(chuàng)造性存在.

2.2 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的因素分析

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是一種復(fù)雜的活動(dòng)，涉及眾多因素，包含知識(shí)、能力、素養(yǎng)等，其中研究者從問(wèn)題表征、問(wèn)題情境、元認(rèn)知等展開了分析.問(wèn)題表征是問(wèn)題解決者建構(gòu)問(wèn)題的自組織過(guò)程，調(diào)用自己內(nèi)在的知識(shí)、識(shí)別問(wèn)題的呈現(xiàn)方式與問(wèn)題情境，進(jìn)而探尋問(wèn)題解決方法.問(wèn)題表征即是對(duì)問(wèn)題理解和內(nèi)化的一種過(guò)程，也是問(wèn)題解決的一種結(jié)果，問(wèn)題表征質(zhì)量的高低直接影響問(wèn)題的解決[39]，因此表征及情境是影響問(wèn)題解決的重要因素，是問(wèn)題解決的中心環(huán)節(jié).正確的語(yǔ)言表征是理解問(wèn)題的第一步;數(shù)式表征是問(wèn)題解決的信息儲(chǔ)存和加工過(guò)程，適當(dāng)?shù)膱D式表征有助于“問(wèn)題”的形象、直觀地思考，合理地模式表征有助于簡(jiǎn)約問(wèn)題解決的思維長(zhǎng)度，問(wèn)題表征的靈活調(diào)節(jié)有助于培養(yǎng)解題思維的深刻性[40].元認(rèn)知也是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的影響因素，朱德全發(fā)現(xiàn)，基于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知模型，元認(rèn)知是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知的主要組成部分，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的各個(gè)階段起著目標(biāo)修正、策略激活、進(jìn)程監(jiān)控等作用[41];章建躍和林崇德通過(guò)實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控水平較高者對(duì)學(xué)習(xí)情景中的線索及變化情況比較敏感，對(duì)問(wèn)題中各條件及其相互關(guān)系、結(jié)論及其變形等都能較好地知覺和分析，并據(jù)此而調(diào)動(dòng)起數(shù)學(xué)思維策略，達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及時(shí)有效的調(diào)控[42].

2.3 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程研究

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，許多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、心理學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程做過(guò)深入的研究，提出了各種解決問(wèn)題的過(guò)程模式，其中影響較大的有算子理論、模式識(shí)別、信息加工模式等.我國(guó)心理學(xué)家王甦、汪安圣根據(jù)問(wèn)題解決模型與算子理論，將問(wèn)題解決概括為四個(gè)步驟：?jiǎn)栴}表征、選擇算子、運(yùn)用算子、評(píng)價(jià)當(dāng)前狀態(tài);喻平在此基礎(chǔ)上建立了數(shù)學(xué)解題認(rèn)知模式的“循環(huán)系統(tǒng)”，其過(guò)程分別為：?jiǎn)栴}表征、模式識(shí)別、解題遷移、解題監(jiān)控，并進(jìn)一步指出，學(xué)生是否識(shí)別應(yīng)用問(wèn)題的類型即模式識(shí)別是能否成功解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵;施良方把數(shù)學(xué)問(wèn)題解決分為五個(gè)階段：感覺到問(wèn)題的存在，明確問(wèn)題的各個(gè)方面、形成各種備擇的問(wèn)題解決方法、根據(jù)結(jié)果和相對(duì)收效來(lái)評(píng)價(jià)已形成的各種備擇的問(wèn)題解決方法、實(shí)施某種行為方針;何小亞提出解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的心理過(guò)程包括意識(shí)到問(wèn)題的存在是問(wèn)題解決的先決條件，表征問(wèn)題是問(wèn)題解決的中心環(huán)節(jié)，確定解決問(wèn)題的策略并嘗試決定著問(wèn)題解決的方向與成敗，評(píng)價(jià)與反思;張春莉根據(jù)信息加工理論提出了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的信息加工模式以及問(wèn)題解決的階段理論;鮑建生等把解題策略分為四個(gè)層次：一般的思維方法，如分類與抽象、觀察與實(shí)驗(yàn)、比較與概括、分析與綜合、一般與特殊;一般的探索策略，如波利亞的“怎樣解題表”以及匈菲爾德的研究;數(shù)學(xué)的思想方法，如中國(guó)的方法論研究;數(shù)學(xué)的解題技巧，如戴再平提出的枚舉法、模式識(shí)別、問(wèn)題轉(zhuǎn)化等8個(gè)解題技巧等，都在不斷促進(jìn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程的優(yōu)化.

2.4 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的價(jià)值研究

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決意識(shí)及能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要成分，也是數(shù)學(xué)教育目標(biāo)從“知識(shí)量”到“實(shí)踐力”轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵舉措.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決不僅有利于強(qiáng)化“四基”，更有利于發(fā)展“四能”.具體而言，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的價(jià)值之一是掌握數(shù)學(xué)方法、培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決幫助學(xué)生促進(jìn)知識(shí)間的整合，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)能觸發(fā)聯(lián)想，綜合運(yùn)用知識(shí)，從而找到解題的途徑.為了促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的整合，在學(xué)習(xí)中利用概念圖、結(jié)構(gòu)圖、類型題等串聯(lián)在一起進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)知識(shí)精加工、分析與把握概念間的聯(lián)系，建立問(wèn)題模型、探尋到解決問(wèn)題的方法技巧，既深化了知識(shí)的理解，又形成了穩(wěn)定的方法體系.價(jià)值之二是領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想、訓(xùn)練思維品質(zhì).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，正是數(shù)學(xué)問(wèn)題的紐帶將數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、方法、精神融為一體，特別是將數(shù)學(xué)的抽象、推理、建模思想滲透到數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決的全程，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征、轉(zhuǎn)化，將數(shù)學(xué)中的計(jì)算、推理和想象、綜合、實(shí)踐、應(yīng)用納入到數(shù)學(xué)問(wèn)題解決系統(tǒng)，成為訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的主渠道，以養(yǎng)成精確、批判、反思的數(shù)學(xué)思維方式.價(jià)值之三是發(fā)展個(gè)性心理，形成創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是一種個(gè)性化的思維過(guò)程，需要在一定的情境下進(jìn)行創(chuàng)新性思維才能解決問(wèn)題，更需要調(diào)動(dòng)一切認(rèn)知資源，去觀察、探究、想象、分析、綜合、再創(chuàng)造，這中間隨著問(wèn)題的難易程度會(huì)遇到種種挑戰(zhàn)，惟有在挑戰(zhàn)中才能促發(fā)思維品質(zhì)的提升與創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識(shí)的形成.曹一鳴等人認(rèn)為，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決既可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握水平、學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，又可以培養(yǎng)學(xué)生探索精神和創(chuàng)新能力、促進(jìn)學(xué)生形成正確的價(jià)值觀[43]，馬云鵬等人將數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的價(jià)值概括為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要標(biāo)志，解決問(wèn)題意識(shí)的提高使學(xué)生更能體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，促進(jìn)數(shù)學(xué)各領(lǐng)域內(nèi)容的理解和掌握[44].

3 “數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”研究的實(shí)踐成果

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力形成的主陣地是數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)模式，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要變革學(xué)習(xí)模式，在數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)中需要注重過(guò)程評(píng)價(jià).

3.1 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)探索

數(shù)學(xué)問(wèn)題已經(jīng)深深地嵌入到數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計(jì)、實(shí)施、評(píng)價(jià)、反思當(dāng)中.周映平提出開展數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”教學(xué)可以按照以下策略實(shí)施：動(dòng)機(jī)激發(fā)策略、層次設(shè)計(jì)策略、主體發(fā)展策略、探究創(chuàng)新策略[45].這些教學(xué)策略適切運(yùn)用，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的提高，也有利于教師盤活各種資源，助于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決價(jià)值的實(shí)現(xiàn).數(shù)學(xué)問(wèn)題解決需要開放型的教學(xué)模式，如研究者以“平行四邊形面積”為例，在教學(xué)中探究思路開放，猜想與實(shí)驗(yàn)無(wú)縫對(duì)接;探究過(guò)程開放，特例與歸納內(nèi)在關(guān)聯(lián);練習(xí)視角開放，傳統(tǒng)與創(chuàng)生有機(jī)結(jié)合，通過(guò)這樣的開放性活動(dòng)促使學(xué)生鞏固陳述性知識(shí)、發(fā)展策略性知識(shí)，形成事實(shí)性與概念性、反思性知識(shí).數(shù)學(xué)問(wèn)題解決一個(gè)重要方面是開展數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究教學(xué)，通過(guò)一些典型問(wèn)題的案例分析，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、數(shù)學(xué)問(wèn)題置于一種寬闊的素養(yǎng)視野，基于建模與探究去分析和解決問(wèn)題，才能促使學(xué)生深入地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和真理.

3.2 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)探索

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的真正受益者是學(xué)生，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，一是可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，提高閱讀審題能力.如有研究者認(rèn)為關(guān)鍵信息的提取是提高解題能力的關(guān)鍵，而這些信息要在讀中明確已知與未知的關(guān)系，在找中找到關(guān)鍵詞句，在想中想到是否隱含其他信息，在理中理清與解題無(wú)關(guān)的因素，進(jìn)而在反思中準(zhǔn)確完成解題步驟.二是可以通過(guò)知識(shí)的重組與比較，提高模式識(shí)別能力.只有清晰問(wèn)題中所蘊(yùn)藏的模式才能有效地解決問(wèn)題，在識(shí)別模式中能夠?qū)⒃搯?wèn)題歸類，使得與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某種數(shù)學(xué)模式相匹配，進(jìn)而形成問(wèn)題解決的思路并解決問(wèn)題.三是可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)靈活性培養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理能力.思維的靈活性要求學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，思路清晰，能夠根據(jù)具體問(wèn)題具體分析，能夠根據(jù)題目條件，靈活地進(jìn)行計(jì)算和推理，多角度地分析問(wèn)題，找出解決問(wèn)題的最佳方案.四是可以注重解題思維的監(jiān)控，進(jìn)行歸因分析.解題的成功與否，關(guān)鍵是思路的開通.這其中思維監(jiān)控起著“導(dǎo)航”“調(diào)節(jié)”作用，需要及時(shí)信息反饋，克服思維定勢(shì)，及時(shí)調(diào)整策略，提高解題行為的有效性與正確性，及時(shí)反思與監(jiān)控，全方位診斷分析解決過(guò)程，以使問(wèn)題解決更加科學(xué)、合理和簡(jiǎn)捷.

3.3 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的評(píng)價(jià)探索

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決不能缺失評(píng)價(jià)的因子，需要探析數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的評(píng)價(jià)工具、建構(gòu)評(píng)價(jià)框架、科學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià).顧泠沅等人在2002年借鑒國(guó)外的評(píng)價(jià)模型建立了問(wèn)題解決的綜合難度模型，區(qū)分了5個(gè)難度因素，并將每個(gè)因素劃分為若干個(gè)水平[46];段孝宇在此模型基礎(chǔ)上編制了五年級(jí)問(wèn)題解決能力測(cè)試題并進(jìn)行實(shí)測(cè)，根據(jù)測(cè)試結(jié)果提出相應(yīng)的教學(xué)建議[47].隨后不同的學(xué)者結(jié)合PISA關(guān)于問(wèn)題解決評(píng)價(jià)框架和美國(guó)學(xué)科能力表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)中問(wèn)題解決評(píng)價(jià)框架及問(wèn)題內(nèi)容的綜合程度和難度，對(duì)學(xué)業(yè)考試、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力分級(jí)分類進(jìn)行了研究，通過(guò)質(zhì)性與量化的方法，構(gòu)建了Q-C-Q數(shù)據(jù)整合分析模型，基于數(shù)學(xué)能力、思維水平、問(wèn)題解決能力之間的內(nèi)在關(guān)系，系統(tǒng)的對(duì)學(xué)生的問(wèn)題解決能力進(jìn)行評(píng)價(jià).

4 “數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”研究的未來(lái)展望

4.1 系統(tǒng)規(guī)劃，聚焦數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的理論與實(shí)踐研究

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決在數(shù)學(xué)教育中的重要地位決定著新時(shí)代將更加聚焦于理論與實(shí)踐研究.一是以數(shù)學(xué)問(wèn)題為導(dǎo)向，以創(chuàng)新為契機(jī)，推進(jìn)問(wèn)題解決關(guān)鍵環(huán)節(jié)的理論探析.諸如數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)的源與流及其形成機(jī)制，數(shù)學(xué)問(wèn)題系統(tǒng)中的源問(wèn)題與靶問(wèn)題間的關(guān)系，問(wèn)題與解之間的鏈接通道及辯證關(guān)系，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程及創(chuàng)新機(jī)制探究等.二是以診斷評(píng)價(jià)為重心，以反思為抓手，推進(jìn)問(wèn)題解決實(shí)踐路徑探討.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決要與學(xué)情、世情、人情相結(jié)合，與信息技術(shù)、情境創(chuàng)設(shè)、大腦機(jī)制相融合才能找到其價(jià)值功能發(fā)揮的實(shí)踐邏輯，諸如數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中如何精巧的設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈、教學(xué)過(guò)程中如何破解和生發(fā)問(wèn)題鏈、教學(xué)評(píng)價(jià)中如何利用問(wèn)題鏈，教學(xué)反思中如何重構(gòu)問(wèn)題鏈，其實(shí)質(zhì)就是透過(guò)問(wèn)題解決這扇窗口，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的“創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力”.

4.2 探索方向，明確數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的主題與方向趨勢(shì)

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決需要探索新的主題和方向以回應(yīng)立德樹人根本任務(wù)的訴求.一是在關(guān)注學(xué)生成長(zhǎng)上探索數(shù)學(xué)問(wèn)題解決新主題，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決伴隨著人的整全，助推著學(xué)生綜合素養(yǎng)，因此要分階段、分層次、分時(shí)空探析數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的類別、責(zé)任、權(quán)利與策略，緊跟時(shí)代脈胳，緊扣學(xué)習(xí)內(nèi)容，有目標(biāo)、有計(jì)劃選擇適宜于學(xué)生成長(zhǎng)的問(wèn)題域并讓學(xué)生在問(wèn)題解決中成長(zhǎng).二是在尊重學(xué)生主體上探索數(shù)學(xué)問(wèn)題解決新方向，只有數(shù)學(xué)問(wèn)題解決與學(xué)生主體相吻合，才能打開學(xué)生學(xué)習(xí)的視域，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，才能讓學(xué)生具身探究，并立足于主體的發(fā)展去與數(shù)學(xué)問(wèn)題接觸，啟動(dòng)思維，探尋問(wèn)題解決的路徑與方式，進(jìn)而在一些非常規(guī)的、復(fù)雜的、具有不同解決方法的、基于眾多知識(shí)和技能的、要求使用不同表征方式的、具有多重情境的問(wèn)題解決過(guò)程中提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.3 拓展空間，精確數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的綜合與滲透視域

隨著數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究的不斷深入，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的領(lǐng)域已不僅僅囿于數(shù)學(xué)世界，更關(guān)涉自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué).一是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決要基于數(shù)學(xué)世界及學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展而啟動(dòng)，不斷開創(chuàng)數(shù)學(xué)問(wèn)題探究的新空間.二是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決大多與自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)息息相關(guān)，涉及航空航天、國(guó)防安全、生物醫(yī)藥、信息、能源、海洋、人工智能、先進(jìn)制造、文化發(fā)展等領(lǐng)域，因此需要跨學(xué)科、跨領(lǐng)域去拓展數(shù)學(xué)問(wèn)題空間，在與不同學(xué)科融合與滲透中培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納、抽象、聯(lián)想、演繹推理、準(zhǔn)確計(jì)算、學(xué)習(xí)新知識(shí)、運(yùn)用新軟件等能力.因此要基于大單元、深度學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生對(duì)遇到的問(wèn)題以“數(shù)學(xué)方式”進(jìn)行理性思維，從而對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和過(guò)程進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化和量化，建立數(shù)學(xué)模型，有效提高綜合素養(yǎng).

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作者簡(jiǎn)介 張定強(qiáng)（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師;主要研究數(shù)學(xué)教育.

馮敏（1993—），女，博士研究生;主要研究數(shù)學(xué)教學(xué)論.

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