探求附條件多元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)

揭 勛

(廣東文理職業(yè)學(xué)院，廣東 廉江 524400)

“多元連續(xù)函數(shù)的條件極值”是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)，該問題的解決在實(shí)際應(yīng)用上具有重大意義.現(xiàn)行高職院校數(shù)學(xué)教材在介紹的拉格朗日乘數(shù)法時(shí)[1-2]，僅通過建立拉格朗日函數(shù)，求出其駐點(diǎn)，認(rèn)為其駐點(diǎn)就是附條件多元連續(xù)函數(shù)的可能極值點(diǎn)，而對(duì)于拉格朗日函數(shù)的建立理由、其駐點(diǎn)為何是可能極值點(diǎn)、如何判斷這些可能極值點(diǎn)是否為必然的極值點(diǎn)、除了這些駐點(diǎn)外是否還存在其他可能極值點(diǎn)(比如拉格朗日函數(shù)的不可微點(diǎn))等問題，并沒有作系統(tǒng)性的介紹，這容易影響學(xué)生對(duì)該類問題的全面掌握.

本文在充分參考拉格朗日乘數(shù)法求多元連續(xù)函數(shù)條件極值[3-4]的基礎(chǔ)上，探索利用有效的方法，把所有可能的極值點(diǎn)探求出來，并從中判斷出必然的極值點(diǎn)，從而全面地解決附條件多元連續(xù)函數(shù)的極值求解問題.

1 探求附條件多元連續(xù)函數(shù)極值點(diǎn)的思路導(dǎo)入

設(shè)f(x1,x2,…,xn)是在所附條件為φk(x1,x2,…,xn)=0 (k=1,2,…,m；其中m

一般地，當(dāng)n=2時(shí)，在空間直角坐標(biāo)系下，二元連續(xù)函數(shù)u=f(x1,x2)在所附條件φ(x1,x2)=0下的圖像是某一連續(xù)的曲線；當(dāng)n≥3時(shí)，在n+1維空間中，附條件n元連續(xù)函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)的圖像已經(jīng)沒有直觀的幾何意義了，但根據(jù)多元函數(shù)的定義以及多元連續(xù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義，對(duì)應(yīng)于函數(shù)值的那一維度(或者坐標(biāo)軸)向上翹突起來的點(diǎn)或者向下陷落的點(diǎn)，便分別是附條件多元連續(xù)函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).

附條件n元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)必是該附條件n元連續(xù)函數(shù)的駐點(diǎn)或者不可微點(diǎn)，附條件n元連續(xù)函數(shù)的駐點(diǎn)或者不可微點(diǎn)不一定是該附條件n元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)[5].

2 關(guān)于附條件多元連續(xù)函數(shù)的駐點(diǎn)

利用前述n+1維向量空間中向量之間的關(guān)系，從幾何的角度入手，探求并得出拉格朗日乘數(shù)法中由拉格朗日函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)組成的方程組[7]，從而求出附條件多元連續(xù)函數(shù)的其中一類可能極值點(diǎn)(駐點(diǎn)).這個(gè)方法比拉格朗日乘數(shù)法的證明過程較為形象易懂，教學(xué)上易為學(xué)生所理解.

3 關(guān)于附條件多元連續(xù)函數(shù)的尖點(diǎn)

利用n元連續(xù)函數(shù)f(x1,x2,…,xn)及φk(x1,x2,…,xn)的偏導(dǎo)數(shù)，可以求出n元連續(xù)函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)的不可微點(diǎn)中，滿足所附條件φk(x1,x2,…,xn)=0(k=1,2,…,m；其中m

4 判斷附條件多元連續(xù)函數(shù)的駐點(diǎn)和尖點(diǎn)是否極值點(diǎn)

求出附條件n元連續(xù)函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)的每個(gè)可能極值點(diǎn)后(包括駐點(diǎn)和尖點(diǎn))，再利用附條件n元連續(xù)函數(shù)極值點(diǎn)處的函數(shù)圖像特征，可以判斷每個(gè)可能極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并求出每個(gè)極值，方法如下：

例1求二元函數(shù)z=f(x，,y)=6x2-xy+19y2在所附條件為φ(x,y)=x+y-56=0下的極值.

解先求該二元連續(xù)函數(shù)在所附條件為φ(x,y)=x+y-56=0下的駐點(diǎn).

其中，兩個(gè)累次極限分別為：

=|12x-y+λ|

=|-x+38y+λ|

故，點(diǎn)(42,14)是該二元連續(xù)函數(shù)在所附條件下的一個(gè)駐點(diǎn)，也是一個(gè)可能極值點(diǎn)(注：這個(gè)駐點(diǎn)也可以采用拉格朗日乘數(shù)法求得，求出的結(jié)果是相同的).

下面分析(42,14)這個(gè)駐點(diǎn)是不是該二元連續(xù)函數(shù)在所附條件下的必然的極值點(diǎn)：

故，駐點(diǎn)(42,14)是該二元連續(xù)函數(shù)在所附條件下的一個(gè)極小值點(diǎn)，其極小值為13 720.

在點(diǎn)(0,0,…,0,9)處,由于

5 結(jié)語

在高等數(shù)學(xué)微積分學(xué)知識(shí)板塊中，多元連續(xù)函數(shù)的極值問題與經(jīng)濟(jì)應(yīng)用、社會(huì)應(yīng)用中的最優(yōu)化策劃問題關(guān)聯(lián)密切[9]，是實(shí)際應(yīng)用最廣泛的課題之一.本文利用n維向量空間中，向量之間的相互關(guān)系，通過構(gòu)建可能極值點(diǎn)處的相關(guān)數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過有效的分析論證，運(yùn)用重極限和累次極限的計(jì)算等途徑，全面系統(tǒng)地探索附條件多元連續(xù)函數(shù)的全部可能極值點(diǎn)，并對(duì)求解出來的每個(gè)可能極值點(diǎn)是否必然的極值點(diǎn)，提出了行之有效的判斷方法，為全面解決附條件多元連續(xù)函數(shù)的極值問題提出一種可行的思路.