含放大機(jī)構(gòu)的三要素型動力吸振器的H∞優(yōu)化

周子博, 申永軍,2, 楊紹普,2

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，石家莊 050043)

在被動減振領(lǐng)域中，自1909年Frahm[1]發(fā)明無阻尼動力吸振器(dynamic vibration absorber，DVA)距今已有100多年。經(jīng)過不斷優(yōu)化改進(jìn)，相繼出現(xiàn)半主動控制系統(tǒng)、主動控制系統(tǒng)等。由于被動減振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單且可靠性高，應(yīng)用范圍廣，目前依舊是研究熱點。然而Frahm所發(fā)明的動力吸振器只考慮了在單自由度主系統(tǒng)上附加無阻尼動力吸振器的情況。1928年Ormondroyd等[2]發(fā)現(xiàn)在無阻尼動力吸振器中加入適當(dāng)?shù)淖枘釙貙拕恿ξ衿鞯臏p振頻率。現(xiàn)在該模型通常被稱為Voigt型動力吸振器，而且已經(jīng)被視為動力吸振器的經(jīng)典模型。1932年Hahnkamm[3]根據(jù)該理論得到了吸振器最優(yōu)調(diào)諧比；隨后在1946年，Brock[4]得到了最優(yōu)阻尼比。目前根據(jù)固定點理論得到的結(jié)果已經(jīng)成為國內(nèi)外振動工程教科書[5-6]中的經(jīng)典結(jié)論。進(jìn)入21世紀(jì)，Ren[7]提出了一種新型的接地式動力吸振器，研究發(fā)現(xiàn)該吸振器仍然存在固定點，并且通過調(diào)整接地阻尼可以改善振動控制效果。Liu等[8-9]對該模型采用另一種方法進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，并在2010年對主系統(tǒng)含阻尼的情況通過存在近似固定點的假設(shè)得到了近似最優(yōu)參數(shù)。Asami等[10-11]提出了含黏彈性器件的三要素動力吸振器模型并對其進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，發(fā)現(xiàn)在相同質(zhì)量比情況下，該模型具有更好的減振效果。趙艷影等[12]分析了時滯對動力吸振器的影響，并提出利用時滯可以提高減振效果的思想。Almazan等[13]提出了一種由摩擦阻尼代替黏性阻尼的簡單雙向減振機(jī)構(gòu)，并控制25層混凝土建筑在地震載荷下的振動。此外Agathoklis等[14-15]發(fā)現(xiàn)將動力吸振器應(yīng)用到建筑及橋梁領(lǐng)域可以有效降低風(fēng)致振動的危害。為了提高懸臂管道輸送的穩(wěn)定性，安裝不同類型的DVA[16-19]可以抑制管道結(jié)構(gòu)的振蕩，在石油管道、機(jī)車制動系統(tǒng)、混凝土泵車等管道設(shè)備中具有實際意義。研究發(fā)現(xiàn)，DVA被認(rèn)為是一種有效的振動控制裝置且在車輛懸架中[20-24]可以成功抑制車體垂向振動。而文獻(xiàn)[25]建立的一種雙振子結(jié)構(gòu)的復(fù)合動力吸振器，可以同時吸收車體垂向及俯仰振動，進(jìn)一步提高乘坐舒適性。在文獻(xiàn)[26-29]中均表明含有慣容器的DVA可以控制共振頻率的大小，拓寬有效頻帶，并發(fā)現(xiàn)慣容器具有表觀質(zhì)量遠(yuǎn)大于其物理質(zhì)量的優(yōu)勢。文獻(xiàn)[30]推導(dǎo)了加入接地負(fù)剛度彈簧的Voigt式DVA的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)，并通過對比得出優(yōu)異的減振性能，此外，文獻(xiàn)[31-33]深入研究了負(fù)剛度特性，結(jié)果均表明具有負(fù)剛度的DVA具有良好的控制性能，減振效果比較明顯?？偠灾?，動力吸振器廣泛應(yīng)用于交通運(yùn)輸、工業(yè)機(jī)械、建筑橋梁等工程實踐中，并成為振動控制領(lǐng)域最重要的設(shè)備之一。

力放大機(jī)構(gòu)也已經(jīng)用于減振和隔振領(lǐng)域，可以在振動系統(tǒng)中抑制振動的幅度，具有良好的工程應(yīng)用前景。以杠桿元件為例，F(xiàn)lannelly[34]為適應(yīng)航空航天工業(yè)中對隔振器剛度和質(zhì)量的嚴(yán)格限制，提出含有杠桿元件的動力反共振隔振器(dynamic anti-resonant vibration isolation, DAVI)。由于杠桿的引入，有效質(zhì)量將會增加，使隔振器能夠在較低的頻率范圍內(nèi)工作，此裝置已經(jīng)應(yīng)用于直升機(jī)上[35-36]。為了提高杠桿效率，Halwes等[37]設(shè)計了液壓式DAVI，隔振器質(zhì)量將進(jìn)一步降低。Liu等[38]采用在水下航行器的軸向推力軸承上并聯(lián)DAVI，有效降低了螺旋槳傳遞到船體的振動。汪正興等[39]利用杠桿放大作用設(shè)計了斜拉索杠桿質(zhì)量阻尼器并在實橋中實驗，通過有效附加阻尼抑制斜拉索的振動。Zang等[40]提出的非線性DVA，引入杠桿后比傳統(tǒng)吸振器有更好的減振性能，并研究了支點位置對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[41]提出基于杠桿放大原理的鉛黏彈性阻尼器具有耗能效果明顯的優(yōu)勢。文獻(xiàn)[42]將杠桿放大機(jī)構(gòu)與負(fù)剛度彈簧加入DVA中，通過固定點理論和H∞優(yōu)化得到最優(yōu)方案，具有很好的減振效果。

工程機(jī)械中多見諧波激勵，如旋轉(zhuǎn)機(jī)械、運(yùn)載工具、偏心質(zhì)量和支撐運(yùn)動等引起的強(qiáng)迫運(yùn)動。當(dāng)系統(tǒng)受到諧波激勵時，通常采用H∞優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，即使得主系統(tǒng)的最大振幅放大因子(稱為H∞范數(shù))最小化，從而可以有效控制振動幅值。本文通過在三要素型動力吸振器中附加放大機(jī)構(gòu)得到了一種新的動力吸振器模型，研究系統(tǒng)受到諧波激勵的情況，應(yīng)用H∞優(yōu)化方法對該動力吸振器進(jìn)行動力學(xué)分析和參數(shù)優(yōu)化，得到了最優(yōu)調(diào)諧比、最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比的設(shè)計公式，并通過分析比較驗證了該吸振器的振動控制效果。

1 基本模型及解析解研究

由于空氣彈簧、金屬橡膠等很多振動控制器件具有黏彈性特征，而Maxwell三要素模型是描述黏彈性特征的一種典型模型，因此本文提出了如圖1所示的含放大機(jī)構(gòu)的三要素型動力吸振器。該模型是在Asami等的三要素模型基礎(chǔ)上附加一個固定在支點位置的杠桿，通過滑塊將杠桿與主系統(tǒng)、DVA連接在一起。其中m1代表主系統(tǒng)質(zhì)量，m2代表動力吸振器質(zhì)量，杠桿的阻力臂與動力臂分別為r1與r2，k1和k2分別代表主系統(tǒng)和動力吸振器的剛度，k3和c分別是串聯(lián)黏彈性Maxwell模型[43]的剛度和阻尼，F(xiàn)0和ω分別表示激振力振幅和頻率，x1、x2、x3分別表示主系統(tǒng)、動力吸振器以及串聯(lián)彈簧和阻尼分割點的位移。

圖1 動力吸振器模型

根據(jù)相似三角形定理可知，系統(tǒng)在振動時r2與r1的比值恒定，定義杠桿的放大比為L=r2/r1，阻力臂受到的力為動力臂的L倍，動力臂處的位移為阻力臂處的L倍。為了簡化模型，忽略滑塊質(zhì)量、杠桿質(zhì)量及運(yùn)動過程中的摩擦損失，根據(jù)牛頓第二定律，建立以下動力學(xué)方程

(1)

引入以下參數(shù)

則式(1)可以化為

(2)

將響應(yīng)和正弦激勵寫為如下形式

(3)

并代入式(3)中，得出無量綱運(yùn)動規(guī)律

(4)

式中，j為虛數(shù)單位。其它參數(shù)如下

B1=α(Lω-ω2)(Lω+ω2)ω2

(5)

(6)

其中

A2=2[(1+α)υ2λ-L2λ3]

B2=υα(υ2-L2λ2)

C2=2{L2λ3(λ2-1)-

(1+α)[λ2(1+L2μ)-1]υ2λ}

D2=υα[(λ2-1)υ2+L2λ2(1-λ2+υ2μ)]

(7)

2 參數(shù)優(yōu)化

2.1 最優(yōu)調(diào)諧比和最優(yōu)剛度比

固定點理論是DVA參數(shù)優(yōu)化的經(jīng)典手段，通過H∞優(yōu)化可以得到最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比等參數(shù)。由式(6)通過簡單推導(dǎo)，可以證明其歸一化幅頻曲線都將通過三個獨(dú)立于阻尼比的點，這三個點稱為該動力吸振器的固定點。為了直觀說明該結(jié)論圖2給出了阻尼比為0、1和+∞時的歸一化幅頻曲線。從圖中可以清楚地看出曲線均通過獨(dú)立于阻尼比的P、Q和R三點。根據(jù)此特性，則有

(8)

圖2 不同阻尼比下歸一化幅頻響應(yīng)曲線

化簡得到

n1λ6+n2λ4+n3λ2+n4=0

(9)

其中

n1=L4

n2=-0.5L2{2υ2(2+α)+L2[2+(2+α)υ2μ]}

n3=υ4(1+α)+L2υ2[2+α+(1+α)υ2μ]

n4=-υ4(1+α)

(10)

由于固定點與阻尼比無關(guān)，因此當(dāng)ζ=0時滿足

(11)

當(dāng)ξ=∞時滿足

(12)

進(jìn)而得到

(13)

當(dāng)把三個固定點的縱坐標(biāo)調(diào)到同一高度，就可以得到最優(yōu)調(diào)諧比。這個調(diào)整需要兩步完成。第一步把P點和R點的縱坐標(biāo)調(diào)到同一高度，可以得到

(15)

把式(15)代入到式(9)可以得到

(L4+L6μ)λ6-(3L4+2L6μ)λ4-

{υ4+2L2υ2(υ2μ-1)+L4[υ2μ(υ2μ-2)-2]}λ2+

L2υ2(υ2μ-2)+υ4=0

(16)

由式(16)解得三固定點的橫坐標(biāo)

(17)

由式(14)整理得到

(18)

第二步，把P或R點與Q點的縱坐標(biāo)調(diào)整到同一高度，可以得到最優(yōu)調(diào)諧比

υopt=

(19)

把式(19)代入到式(15)得到最優(yōu)剛度比

(20)

此時

(21)

圖3給出了固定點處的響應(yīng)與放大比和質(zhì)量比的關(guān)系。由圖3可以看出，固定點處的響應(yīng)與質(zhì)量比μ和放大比L有關(guān)。在質(zhì)量比μ一定時，可以通過增大放大比L，使固定點處的響應(yīng)減小。

圖3 不同放大比下固定點位置和質(zhì)量比的關(guān)系曲線

2.2 最優(yōu)阻尼比

當(dāng)把三個固定點調(diào)整到同一高度后，如圖4所示。此時改變阻尼比，可以改變共振峰的高度。最優(yōu)阻尼比可以通過調(diào)整兩個共振峰為同一高度時實現(xiàn)。

為了得到最優(yōu)阻尼比，需要知道在兩個共振峰處的橫坐標(biāo)，即λ1,2。令

(22)

圖4 不同阻尼比下幅頻曲線

由式(22)可以得到ζ1和ζ2的值，然后得到ζopt=(ζ1+ζ2)/2，但是這樣很難得到解析結(jié)果。

由圖4我們可以清晰地觀察到，當(dāng)兩個共振峰在同一高度時，Q點的附近正好是幅頻曲線斜率為零的區(qū)域，Q點的橫坐標(biāo)已經(jīng)求出，可以根據(jù)Q點的橫坐標(biāo)得出近似的最優(yōu)阻尼比。

根據(jù)

(23)

從而得到近似最優(yōu)阻尼比

(24)

其中

a=(1+L2μ){Ω+2L2μ(3+4L2μ)[3Ω+L2+

μL2(6L2+9L4μ+4L6μ2+4Ω)]}

b=2L6μ2(1+L2μ){6Ω+L2(1+L2μ)[1+

32μΩ+2μL2(3+4L2μ)2]}

c=-L8μ2(Ω+2L2μ(3+4μ)[3Ω+L2+

4L2μΩ+L4μ(6+9L2μ+4L4μ2)]

(25)

圖5給出了根據(jù)前述優(yōu)化結(jié)果得到的幅頻曲線，可以發(fā)現(xiàn)達(dá)到了優(yōu)化目的。圖6給出了不同杠桿放大比時的系統(tǒng)幅頻曲線，可以看出隨著杠桿放大比的增大，兩共振峰間距拉大，幅值越低。

圖6 不同放大比時的幅頻曲線

3 數(shù)值驗證

為了驗證無量綱參數(shù)優(yōu)化的正確性，這里選取質(zhì)量比μ=0.1，杠桿放大比L=2.5，根據(jù)前述解析結(jié)果得到α=3.265，υ=1.209，ζ=1.218。取激勵幅值F0=800 N，利用四階龍格庫塔法，選取計算時間為100倍的激勵周期，可以得到在給定簡諧激勵下主系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解。忽略瞬態(tài)響應(yīng)，選取穩(wěn)態(tài)解的最大值為響應(yīng)幅值并進(jìn)行歸一化處理，得到幅頻響應(yīng)曲線并與解析解對比。圖7顯示了解析解與數(shù)值解所得結(jié)果完全吻合(實線為系統(tǒng)的解析解)，驗證了本文求解過程和結(jié)果的正確性。

圖7 μ=0.1時數(shù)值解與解析解對比

4 模型對比

4.1 簡諧激勵下的響應(yīng)對比

為了驗證含放大機(jī)構(gòu)的三要素動力吸振器的減振性能，與其它經(jīng)典DVA在H∞優(yōu)化準(zhǔn)則下的結(jié)果進(jìn)行了對比。對比過程中均選取質(zhì)量比μ=0.1，慣質(zhì)比δ=0.2，杠桿元件的慣性效應(yīng)可以提高系統(tǒng)有效質(zhì)量，因此它不需要很大的質(zhì)量來達(dá)到滿意的效果，擬采取杠桿放大比L=3。這里采用的其它經(jīng)典減振模型為文獻(xiàn)[2]、[7]、[10]、[19]、[21]中的模型(后文簡稱Den式、Ren式、Asami式、Li式、Peng式)，每一種模型的最優(yōu)參數(shù)如表1所示。所得的歸一化幅頻曲線，如圖8所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果

圖8 與其它形式動力吸振器模型對比

從圖8中可以看出，在相同質(zhì)量比且忽略空間限制的情況下，本文模型相對于傳統(tǒng)的動力吸振器，能夠更大幅度降低共振區(qū)的振幅，兩峰值的間距拉大，拓寬了減振頻帶，在主系統(tǒng)減振方面有更好的效果。

4.2 隨機(jī)激勵下的響應(yīng)對比

為了更真實地模擬工程實際，構(gòu)建了50 s均值為0方差為1的隨機(jī)激勵，其時間歷程如圖9所示。選取主系統(tǒng)質(zhì)量m1=1 kg、主系統(tǒng)剛度k1=100 N/m，并根據(jù)本文推導(dǎo)及表1中的最優(yōu)參數(shù)。主系統(tǒng)附加6種不同的DVA后的響應(yīng)分別如圖10～15所示。

圖9 隨機(jī)激勵時間歷程

圖10 附加Den式DVA的主系統(tǒng)時間歷程

圖11 附加Ren式DVA的主系統(tǒng)時間歷程

圖12 附加Asami式DVA的主系統(tǒng)時間歷程

圖13 附加Li式DVA的主系統(tǒng)時間歷程

圖14 附加Peng式DVA的主系統(tǒng)時間歷程

圖15 附加含放大機(jī)構(gòu)的三要素型DVA的主系統(tǒng)時間歷程

從圖9～圖15可以看出，本文模型和已有模型的最優(yōu)參數(shù)雖然均是在簡諧激勵下按照H∞優(yōu)化準(zhǔn)則得到的最優(yōu)參數(shù)，但是在隨機(jī)激勵下本文模型仍然有更好的減振性能，可以更好地降低主系統(tǒng)受到隨機(jī)激勵時的統(tǒng)計能量。

5 結(jié) 論

本文將三要素型黏彈性模型與放大機(jī)構(gòu)引入動力吸振器中，并以其為研究對象根據(jù)固定點理論得到了系統(tǒng)取得最優(yōu)減振效果時的動力吸振器參數(shù)，通過數(shù)值解驗證了所得結(jié)果的正確性。并通過與經(jīng)典動力吸振器的對比證明了含放大機(jī)構(gòu)的三要素型動力吸振器有較好的吸振效果。進(jìn)一步的研究表明，放大比越大，動力吸振器模型的減振性能越好；通過適當(dāng)增大放大比，可以降低系統(tǒng)總質(zhì)量以提高減振效果。如果工程應(yīng)用中不存在空間制約因素或者制約因素不大時，本文模型具有明顯的優(yōu)勢。