一種近似最優(yōu)的大規(guī)模MIMO檢測算法

周 圍 陳星宇* 馬茂瓊 冉靜萱 彭 洋

1(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院 重慶 400065)2(重慶郵電大學(xué)移動通信技術(shù)重慶市重點實驗室 重慶 400065)

0 引 言

隨著移動用戶數(shù)量每年都在急劇增長，用戶渴望更快的互聯(lián)網(wǎng)接入速度以及即時訪問多媒體服務(wù)，這就需要更高效的傳輸速率、更高的頻譜效率以及更好的移動性[1]。因此，研究人員提出了5G網(wǎng)絡(luò)來解決上述問題，應(yīng)用高效的技術(shù)[2]部署在5G網(wǎng)絡(luò)中，例如設(shè)備對設(shè)備(D2D)通信、超密集網(wǎng)絡(luò)(UDNs)、頻譜共享、毫米波(mmWAVE)和大規(guī)模多輸入多輸出(MIMO)。第五代(5G)通信系統(tǒng)在6 GHz以下采用經(jīng)典的大規(guī)模MIMO技術(shù)，在無線電信道中具有散射和多徑傳播特性。由于天線的尺寸較小，較大的陣列更容易在更高的頻率實現(xiàn)和封裝[3]。因此，大規(guī)模MIMO檢測技術(shù)適合在厘米波或者毫米波系統(tǒng)中發(fā)揮作用。

最早的大規(guī)模MIMO檢測器可以追溯到2008年，Vardhan等[4]提出了一種基于似然上升搜索的大規(guī)模MIMO檢測器。使用大量天線導(dǎo)致的直接問題是涉及高復(fù)雜度計算量，在接下來的幾年里，一些研究者提出使用局部搜索和置信傳播算法來實現(xiàn)接近ML的性能。

近年來，大規(guī)模MIMO[5]漸漸進入研究者們的視線中。文獻[6]表明，在發(fā)射天線數(shù)量較多的情況下，可以利用信道硬化現(xiàn)象來抵消小尺度衰落特性，當接收天線數(shù)N遠大于發(fā)射天線數(shù)K時，信道的每一列漸近正交，信道矩陣逐漸變?yōu)閷钦純?yōu)矩陣，信道硬化現(xiàn)象占主導(dǎo)地位。因此，一些傳統(tǒng)的算法如ML、MMSE又成為研究熱點[7]，ML算法是具備理論性最優(yōu)性能的算法，但其窮盡搜索的方式應(yīng)用在大規(guī)模矩陣時復(fù)雜度會隨著天線數(shù)增加而劇增，而MMSE線性檢測涉及到高維度的矩陣求逆運算。近些年來，針對如何避免MMSE檢測涉及到的矩陣求逆方案分為三類。

第一類為梯度搜索的方法，如共軛梯度[8]等，這類利用每一層進行梯度搜索的方法，優(yōu)點是性能較好，但每一次迭代需要計算相應(yīng)的梯度，極大地增加了計算量。第二類是多項式展開逼近近似解的方法，如諾伊曼級數(shù)展開[9]，利用諾伊曼級數(shù)展開項近似逆矩陣，此類方法當級數(shù)展開(i>2)時，算法的復(fù)雜度仍然很高。第三類是通過迭代的方式一步步逼近近似解的方法，如牛頓迭代[10]、高斯-賽德爾迭代[11]、超松弛迭代[12]等。牛頓迭代的方法在滿足文獻[10]的條件時，能實現(xiàn)快速的收斂，但在初始估計時需要更多的計算。高斯-賽德爾迭代的方法在基站與用戶單天線數(shù)比值為1時，依然具有良好的性能，但由于算法內(nèi)部順序迭代結(jié)構(gòu)，很難并行實現(xiàn)。超松弛迭代的方法復(fù)雜度低，在基站天線數(shù)與用戶數(shù)為較大比例時依然具備最優(yōu)性能，缺點與高斯-賽德爾相似，很難并行實現(xiàn)，并且有一個不確定的松弛參數(shù)。

本文提出了一種近似最優(yōu)MMSE線性檢測算法，不需要進行復(fù)雜的矩陣求逆運算，與高斯-賽德爾和超松弛檢測不同，提出的加權(quán)兩階段信號檢測由兩個半迭代組成，然后通過加權(quán)系數(shù)將兩個半迭代合并在一起，得到迭代解，從而降低了算法的復(fù)雜度，并通過SD算法良好的搜索性，優(yōu)化WTS方案的收斂速度，有效地減少了多用戶干擾。數(shù)值結(jié)果表明，優(yōu)化后的WTS方案在誤碼率以及收斂速度上都優(yōu)于傳統(tǒng)的高斯賽德爾和超松弛類算法。此外，通過少量的迭代可以獲得最佳的性能。

1 系統(tǒng)模型

假設(shè)大規(guī)模MIMO基站(BS)端服務(wù)于K個單天線用戶。BS處設(shè)置N根接收天線，K個用戶與N根BS處天線之間的信道增益構(gòu)成矩陣Hc∈CN×K，該矩陣為平坦瑞利信道，滿足獨立同分布。對K個用戶的信息位進行編碼，sc=[s1,s2,s3,…,sK]T為從用戶端發(fā)送K×1維的符號向量，其中sk∈Q是第k個用戶發(fā)送的符號向量，Q是調(diào)制符號集。令Hc∈CN×K為獨立且同分布的信道矩陣，因此BS處收到的N×1維信號矢量表示為：

yc=Hsc+nc

(1)

式中：nc為加性白噪聲向量，其項滿足高斯分布均值為0，方差為σ2IN。本文的重點在上行鏈路檢測，將復(fù)信道矩陣轉(zhuǎn)化為相同的實信道矩陣得到：

y=Hs+n

(2)

2N×1維的實數(shù)接收、發(fā)送、噪聲矢量分別為y=[{yc}T,{yc}T]T、x=[{xc}T,{xc}T]T、n=[{nc}T,{nc}T]T，H表示2N×2K維的等效信道增益矩陣：

(3)

MMSE檢測的主要思想是最小化傳輸?shù)姆杝與估計信號HHy之間的均方誤差，信號檢測的目的是在BS處對信號矢量y無差錯地經(jīng)過判決恢復(fù)出發(fā)送信號矢量s，實驗證明，用MMSE檢測算法對所有K個單天線用戶的發(fā)射信號向量進行估計，效果是最優(yōu)的。表達式如下：

(4)

W-1=(G+σ2IK)-1

(5)

式中：G=HHH為gram矩陣。將接收到的信號向量代入式(2)，得到第i個用戶發(fā)送的估計符號為：

(6)

(7)

2 方案設(shè)計

2.1 WTS方案

在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，信道矩陣H的列是漸近正交的，因此W為正定的Hermite矩陣[13]。為了避免復(fù)雜的矩陣求逆，加快收斂速度，本文提出了一種WTS信號檢測方案，采用兩個半迭代，并將兩個半迭代與一個加權(quán)系數(shù)相結(jié)合，迭代求解如下：

1) 由于W是嚴格對角占優(yōu)的Hermite矩陣，并且W的對角占優(yōu)程度越高，收斂速度越快，我們將W分解為W=D+L+LH，其中L和D分別為嚴格的下三角矩陣和對角矩陣。為了加快迭代收斂性，本文首先提出兩個不含松弛參數(shù)的對稱半迭代：

(8)

(9)

前半段迭代可寫為：

(10)

后半段迭代可寫為：

(11)

D+LH和D+L是針對三角矩陣求逆變換，比直接求逆更簡單。

2) 為了減少近似誤差，提高收斂性能，將式(10)、式(11)合并，得到：

(12)

式中：θ為加權(quán)系數(shù)，通過數(shù)次模擬實驗，本文將θ設(shè)置為θ=(K/M)2；i為方案迭代次數(shù)；s(0)為K×1維的初始解。

本文提出WTS的信號檢測方案可以迭代地逼近MMSE所需復(fù)雜矩陣求逆，優(yōu)點是更快的收斂速度以及更低的復(fù)雜度?，F(xiàn)有的GS迭代、NS展開、SOR迭代利用類似的方法避免矩陣求逆，然而本文提出的WTS方案與現(xiàn)有的一些迭代法不同，相互對稱的迭代矩陣中不需要松弛參數(shù)，這說明該方案在實際應(yīng)用中更具備魯棒性。此外，與GS和SOR算法相比，WTS方案更具備靈活性，當加權(quán)系數(shù)θ=0時，為SOR迭代，當加權(quán)系數(shù)θ=1時，為GS迭代。

2.2 改進的WTS方案

最速下降搜索[14]作為一種梯度搜索的方法，優(yōu)點是在迭代初期會有很好的逼近解的趨勢，作為優(yōu)化算法對低復(fù)雜度的WTS方案進行優(yōu)化處理，在不增加復(fù)雜度的背景下對本文所提方案進一步加快收斂速度，并且實現(xiàn)逼近MMSE誤碼率曲線的性能，改進的WTS方案如下所示：

步驟1設(shè)置初始解，根據(jù)矩陣的對角近似原理，W為正定Hermite矩陣，隨著天線數(shù)的增加，呈逐漸對角占優(yōu)趨勢，因此設(shè)置初始解為：

(13)

因為D-1為對角矩陣求逆，所以矩陣求逆復(fù)雜度降低，把s(0)作為最速下降法的初始解。

步驟2將本文提出WTS方案第二次的前半次迭代用SD算法來表示，第二次WTS前半次表示為：

s(1)+(D+L)-1r(1)

(14)

r(0)-μp(0)

(15)

s(3/2)=s(0)+μr(0)+(D+L)-1(r(0)-μp(0))

(16)

接下來將優(yōu)化后的前半次迭代的解代入后半次迭代：

(17)

步驟3進行(i-1)次WTS方案，此處可以根據(jù)實際情況設(shè)置不同的i，如下所示：

(18)

(19)

(20)

2.3 近似對數(shù)似然比的計算

優(yōu)化后的WTS方案通過迭代得到最優(yōu)解向量，代替MMSE直接求逆運算，實現(xiàn)了復(fù)雜度從O(K3)下降到O(K2)的變化。為了解碼得到精確值，可以通過在信道譯碼時使用LLR軟信息。通過式(6)不難發(fā)現(xiàn)，第一步為了算出SINR，須對矩陣W進行求逆，復(fù)雜度又一次提高，下一步是降低求逆帶來的計算量。因為信道發(fā)生硬化，利用矩陣主對角線占優(yōu)的特性，用W-1化簡為D-1來做下一步運算，信道增益以及方差可以表示為：

(21)

(22)

3 復(fù)雜度與仿真結(jié)果分析

3.1 復(fù)雜度分析

(1) 初始解與第一次迭代。初始解需要2K次實乘運算，首次迭代分別計算r(0)、p(0)、μ需要4K2、4K2、4K次實乘運算，結(jié)合式(16)及式(17)，初始解與首次迭代合計需8K2+10K的實乘運算。

改進的WTS方案所有實乘次數(shù)由以上三部分組成，共需(12K2+12K)+(i-1)(2K2+4K)次乘法。 因此，提出的改進的WTS方案的總復(fù)雜度為O(K2)。

3.2 仿真結(jié)果分析

為了進一步證明提出方案的性能以及可行性，以直接矩陣和對角元素求逆的MMSE檢測誤碼率性能為比較基準，在MATLAB R2016b軟件上進行了仿真實驗。假設(shè)CSI已知，表1為仿真背景。

表1 仿真背景

圖1為本文提出WTS檢測方案與Neumann級數(shù)展開檢測、MMSE檢測、Gauss-Seidel檢測之間的復(fù)雜度比較?？梢园l(fā)現(xiàn)，當i=2時，WTS方案的復(fù)雜度明顯低于MMSE檢測算法，略低于Gauss-Seidel檢測算法。當i=4時，WTS方案的復(fù)雜度與Gauss-Seidel檢測基本相同，并且明顯優(yōu)于Neumann級數(shù)展開法與MMSE檢測。

圖1 算法之間復(fù)雜度對比

圖2設(shè)置收發(fā)天線數(shù)為128×16規(guī)模的陣列，下圖為差錯性能BER(Bit Error Rate)曲線，對比了Neumann級數(shù)展開檢測、Gauss-Seidel檢測、MMSE精準求逆和本文提出的WTS方案在軟判決中的性能?？梢钥闯?，本文所提方案不僅收斂快，BER性能同樣優(yōu)于Gauss-Seidel檢測以及Neumann級數(shù)展開檢測，當i=2時，逼近MMSE最優(yōu)性能。

圖2 WTS方案與不同算法軟輸出BER比較

圖3中仿真規(guī)模同樣設(shè)置為128×16根天線，列舉了各種方案與MMSE算法的BER比較，并在信道譯碼中采用軟判決。采用優(yōu)化后的WTS方案與傳統(tǒng)的檢測算法做比較，如圖3所示，當?shù)螖?shù)增加，基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測器、基于Gauss-Seidel的信號檢測器以及優(yōu)化后的WTS方案的誤碼率性能都有所提升，并且提出的方案性能明顯優(yōu)于其余算法。當SNR=6 dB且i=1時，優(yōu)化后WTS方案的BER能達到2.6×10-5，從圖2可知，未優(yōu)化的WTS方案在相同仿真背景下BER僅能達到3.6×10-3左右，優(yōu)化后的WTS方案在性能上有極大的提升，通過一次迭代就逼近MMSE檢測曲線，與MMSE檢測BER只相差0.1×10-4左右。當i=2時，優(yōu)化后的WTS方案已經(jīng)與MMSE曲線基本重合。與圖2中的未優(yōu)化WTS相比，優(yōu)化后的WTS方案明顯收斂速度更快了。容易得出，優(yōu)化后的WTS方案不僅比WTS方案更快收斂，而且BER性能優(yōu)于Neumann級數(shù)展開法以及Gauss-Seidel迭代等傳統(tǒng)算法，不超過兩次迭代就能逼近MMSE的最優(yōu)檢測。

圖3 優(yōu)化后WTS方案與不同算法軟輸出BER比較

圖4為提出的優(yōu)化WTS方案與未經(jīng)優(yōu)化的WTS方案之間收斂性能比較，即誤比特率BER在定量分析SNR的情況下與迭代次數(shù)的關(guān)系?？梢钥闯?，當信噪比逐漸提高，本文提出的兩種方案的BER有明顯的變化，未經(jīng)優(yōu)化的WTS需要2～3次迭代達到平穩(wěn)，而優(yōu)化后的WTS方案僅僅通過1～2次迭代便接近最優(yōu)性能，收斂速度得到明顯的提升。

圖4 不同SNR的兩種方案與迭代次數(shù)的關(guān)系

4 結(jié) 語

本文首次把WTS方案應(yīng)用于大規(guī)模MIMO軟輸出信號檢測，通過加權(quán)系數(shù)將兩個半迭代合并在一起，并利用SD算法的快速收斂性對WTS算法進行進一步改進，在算法的收斂性與復(fù)雜度之間進行新的權(quán)衡，代替了MMSE算法中的直接求逆運算，復(fù)雜度從O(K3)下降到O(K2)。本文對提出WTS方案進行優(yōu)化，進一步提升了算法的收斂性，再將優(yōu)化后的WTS方案采用近似對數(shù)似然比的方法應(yīng)用在軟判決中，最后對BER性能以及收斂性能仿真，并與一些傳統(tǒng)算法作對比。結(jié)果表明，本文提出的改進的WTS方案在保持較低復(fù)雜度的前提下，僅通過少量迭代就能達到最優(yōu)的MMSE線性檢測性能。