摩擦生熱問題的深度剖析

徐華兵

[摘 要]摩擦生熱問題是高中物理的難點(diǎn)問題，不少學(xué)生在解決此類問題時(shí)沒有頭緒，邏輯混亂。為了讓學(xué)生厘清摩擦生熱的本質(zhì)，掌握摩擦生熱問題的解決方法，教師從常見的皮帶傳輸問題出發(fā)，深入剖析摩擦生熱的微觀本質(zhì)和宏觀表現(xiàn)，并從做功角度和能量守恒角度分別介紹摩擦生熱問題中的熱量計(jì)算方法。

[關(guān)鍵詞]摩擦生熱;功;能量守恒;滑動(dòng)摩擦力

[中圖分類號(hào)]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）02-0035-04

日常生活中有很多實(shí)例與摩擦生熱有關(guān)，如兩個(gè)手掌相互摩擦?xí)r手掌發(fā)熱等，且相關(guān)問題常涉及摩擦生熱的計(jì)算。分析近幾年的高考物理試題發(fā)現(xiàn)，摩擦生熱問題備受命題者青睞。因此，摩擦生熱問題是中學(xué)階段的熱點(diǎn)問題。摩擦生熱與摩擦力做功息息相關(guān)，但它又不與摩擦力做功一一對(duì)應(yīng)，所以一些學(xué)生在辨析摩擦生熱與摩擦力做功間的關(guān)系時(shí)思路不清、邏輯混亂，而在解決摩擦生熱問題時(shí)更是無從下手。筆者在講授摩擦生熱問題時(shí)常有學(xué)生不甚理解，提出諸多疑惑，這讓筆者深感有必要深入分析摩擦生熱問題，厘清摩擦生熱與摩擦力做功間的關(guān)系及歸納總結(jié)摩擦生熱問題中的熱量計(jì)算方法。

一、問題提出

題目：如圖1所示，傳送帶與水平面的夾角[θ=30°]，傳送帶兩端[A]、[B]間的距離[L=5 m]，傳送帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下以[v=1 m/s]的速度沿順時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將一質(zhì)量[m=10 kg]的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）輕放在傳送帶上的[A]點(diǎn)，已知小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)[μ=32]，[g]取10 m/s2，在傳送帶將小物塊從[A]點(diǎn)傳送到[B]點(diǎn)的過程中。求：（1）小物塊與傳送帶間因摩擦所產(chǎn)生的熱量[Q];（2）傳送帶對(duì)物塊做的功[W]。

分析求解：（1）對(duì)小物塊進(jìn)行受力分析可知，小物塊先在傳送帶上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度與傳送帶的速度相等后，與傳送帶間保持相對(duì)靜止運(yùn)動(dòng)到[B]點(diǎn)。小物塊在傳送帶上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，受滑動(dòng)摩擦力作用產(chǎn)生熱量[Q=μmg?cos 30°?x相=15 J]。（2）傳送帶對(duì)小物塊做的功，即傳送帶對(duì)小物塊的摩擦力所做的功[W=Wf 1+Wf 2=12mv2+mgL?sin 30°=255 J]，即小物塊從[A]點(diǎn)傳送到[B]點(diǎn)的過程中，小物塊增加的機(jī)械能。

筆者在講授完這道題后，有一位學(xué)生提出了這樣一個(gè)問題：傳送帶施加給小物塊的摩擦力對(duì)小物塊做的功為什么等于小物塊機(jī)械能的增加量，而不等于小物塊機(jī)械能和熱能的總和，即總能量的增加量[W=12mv2+mgL·sin30°+Q=255 J+15 J=270 J ]？ 筆者覺得這個(gè)問題提得很好，就立即將它拋給了全班學(xué)生，詢問他們這是為什么，又該如何解釋。筆者詢問了很多學(xué)生，他們都不知道是為什么。從學(xué)生對(duì)這個(gè)問題的反應(yīng)看，筆者覺得他們并沒有理解摩擦生熱的本質(zhì)。下面筆者對(duì)摩擦生熱問題做進(jìn)一步闡述。

二、摩擦生熱的微觀本質(zhì)

兩物體相互摩擦的實(shí)質(zhì)是相互摩擦的物體表面分子相互碰撞。假定一個(gè)物體靜止，另一個(gè)物體在其表面相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則在此過程中靜止物體中的分子被撞擊，獲得了運(yùn)動(dòng)物體分子的部分或全部定向動(dòng)能，獲得此定向動(dòng)能的分子又會(huì)與周圍的其他分子相互碰撞。分子間的碰撞極為頻繁，而撞擊的方向又是隨機(jī)的，因此，原本的定向動(dòng)能最終轉(zhuǎn)變?yōu)闊o規(guī)則運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，即熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能增大，進(jìn)而導(dǎo)致相互摩擦的物體表面在宏觀上表現(xiàn)為內(nèi)能增大、溫度升高。

獲得由定向動(dòng)能轉(zhuǎn)變而來的額外熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的表面附近分子在物體內(nèi)無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，有可能會(huì)跑到物體內(nèi)部與物體內(nèi)部分子碰撞，以使物體內(nèi)部分子的熱運(yùn)動(dòng)加劇，進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)物體變“熱”。運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，因此，相互摩擦的物體實(shí)際上溫度是同時(shí)升高的。宏觀上看，相互摩擦的兩個(gè)物體的溫度都升高了，內(nèi)能增大了，即相互摩擦的兩個(gè)物體間產(chǎn)生了熱量[Q]。結(jié)合摩擦生熱的微觀機(jī)理可以看出，兩個(gè)物體相互摩擦產(chǎn)生的熱量[Q]并不是其中某一個(gè)物體單獨(dú)具有的，而是兩個(gè)物體系統(tǒng)共同具有的。

三、摩擦生熱的宏觀表現(xiàn)

上述內(nèi)容從微觀角度闡述了摩擦生熱的機(jī)理，通過摩擦生熱的微觀機(jī)理知道因相互摩擦而產(chǎn)生的熱量應(yīng)該是兩個(gè)物體共同具有的。因摩擦所產(chǎn)生的熱量[Q]在兩物體間如何分配取決于兩物體各自的質(zhì)量和溫度差。相互摩擦的兩個(gè)物體經(jīng)一段時(shí)間后溫度應(yīng)相同，即兩物體間再不會(huì)發(fā)生熱量傳遞。下面，筆者從摩擦生熱與摩擦力做功間的關(guān)系和摩擦生熱熱量計(jì)算的角度進(jìn)一步闡述摩擦生熱的宏觀表現(xiàn)。

（一）摩擦生熱與摩擦力做功間的關(guān)系

摩擦力做功是指相互摩擦的兩個(gè)物體間的摩擦力對(duì)其中某一個(gè)物體做功，該摩擦力做功的大小取決于摩擦力的大小和該物體在摩擦力作用下發(fā)生的位移，即[Wf=f x]，[x]一般都是物體相對(duì)地面的位移。摩擦力對(duì)物體做功的結(jié)果是改變了物體的機(jī)械能?！吧鸁帷钡谋举|(zhì)是相互摩擦物體的機(jī)械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化，若相互摩擦的兩個(gè)物體間有熱量產(chǎn)生，那么相互作用的物體系統(tǒng)的機(jī)械能一定會(huì)發(fā)生變化。摩擦生熱的大小與一對(duì)相互作用的摩擦力所做功的代數(shù)和有關(guān)。為了進(jìn)一步闡述摩擦力做功和摩擦生熱間的關(guān)系，現(xiàn)通過一個(gè)常見模型予以分析。

常見模型：頂端粗糙且質(zhì)量為[m]的小車靜止放在光滑的水平面上，質(zhì)量也為[m]的小木塊以速度[v0]由小車左端滑上小車，如圖2所示。當(dāng)小木塊與小車相對(duì)靜止時(shí)，小木塊相對(duì)小車的位移為d，小車相對(duì)地面的位移為[s]，小木塊和小車間的滑動(dòng)摩擦力為[f]。試分析：

（1）摩擦力對(duì)小木塊做的功;（2）摩擦力對(duì)小車做的功;（3）小木塊與小車間因摩擦而產(chǎn)生的熱量[Q];（4）摩擦力做功與摩擦產(chǎn)生的熱量間的關(guān)系。

分析求解：小木塊滑上小車后因摩擦力而做減速運(yùn)動(dòng)，小車因摩擦力而做加速運(yùn)動(dòng);當(dāng)它們相對(duì)靜止后以共同速度運(yùn)動(dòng)，易求得[v共=v02]。

（1）對(duì)小木塊應(yīng)用動(dòng)能定理有：

[Wf=-f（d+s）=12mv2共-12mv20=-38mv20]

（2）對(duì)小車應(yīng)用動(dòng)能定理有：

[Wf'=f·s=12mv2共-0=18mv20]

（3）對(duì)小木塊和小車組成的系統(tǒng)應(yīng)用能量守恒定律，知因摩擦而產(chǎn)生的熱量為：

[Q=12mv20-12?2m?v2共=14mv20]

（4）通過前面的計(jì)算結(jié)果易看出[Q=Wf+W'f=f d=14mv20]，即摩擦產(chǎn)生的熱量等于一對(duì)相互作用的摩擦力做功之和的絕對(duì)值，也等于摩擦力乘以它們間的相對(duì)位移。

從上述模型求解中可以看出，摩擦力對(duì)某一個(gè)物體做的功改變的是該物體的動(dòng)能，即改變的是該物體的機(jī)械能，起到傳遞機(jī)械能的作用;而一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功之和的絕對(duì)值與摩擦產(chǎn)生的熱量對(duì)應(yīng)，即[Q=Wf+W'f=f x相]。

（二）摩擦生熱的計(jì)算

通過對(duì)上述摩擦生熱常見模型的分析求解可知，兩個(gè)相互摩擦的物體產(chǎn)生的熱量等于相互摩擦系統(tǒng)機(jī)械能的減少量，即[Q=E1機(jī)-E2機(jī)=-ΔE機(jī)]，也等于相互摩擦的兩個(gè)物體間一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功之和的絕對(duì)值，即[Q=Wf+W'f=f x相]。這也提供了兩種摩擦生熱問題的解決方法——能量法和摩擦力做功法。

應(yīng)用能量法解決摩擦生熱問題需要先求出相互摩擦系統(tǒng)的初始機(jī)械能和終了機(jī)械能，然后計(jì)算出系統(tǒng)機(jī)械能的減少量，此減少量即為系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱量。應(yīng)用摩擦力做功法解決摩擦生熱問題可先求出相互作用的一對(duì)滑動(dòng)摩擦力分別對(duì)兩個(gè)物體所做的功，再求和取絕對(duì)值。因?yàn)橄嗷プ饔玫囊粚?duì)滑動(dòng)摩擦力做功之和等于摩擦力與相對(duì)位移乘積的負(fù)值，即[Wf+Wf'=-f x相]，所以只需求出相對(duì)滑動(dòng)的物體間相對(duì)位移即可快速算出一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功之和。

相對(duì)位移的相關(guān)問題可選在地面參考系中求解，也可選在其他運(yùn)動(dòng)的參考系中求解。若選擇在地面參考系中求解，要先分別計(jì)算出地面參考系中兩物體的位移[x1]和[x2]，再計(jì)算出它們間的相對(duì)位移[x]。當(dāng)個(gè)兩物體同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)位移[x=x1-x2];當(dāng)兩個(gè)物體反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)位移[x=x1+x2]。若選兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體中的一個(gè)物體為參考系，相對(duì)位移的求解較為簡(jiǎn)單，即[x=v2相2a]。因?yàn)閮蓚€(gè)相對(duì)滑動(dòng)的物體間相對(duì)位移的大小與參考系的選取無關(guān)，所以在任意一個(gè)參考系中求出的相對(duì)位移[x]都相同。

[例1]如圖3所示，一水平方向的傳送帶以恒定的速度[v=2 m/s]沿順時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，傳送帶右端固定著一光滑的四分之一圓弧面軌道，并與弧面下端相切。一質(zhì)量為[m=1 kg]的物塊自圓弧面軌道的最高點(diǎn)由靜止滑下，圓弧面軌道的半徑[R=0.45 m]，物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為[μ=0.2]，不計(jì)物塊滑過曲面與傳送帶交接處時(shí)的能量損失，且傳送帶足夠長，[g=10 m/s2]。求：（1）物塊第一次從滑上傳送帶到離開傳送帶所經(jīng)歷的時(shí)間;（2）物塊第一次從滑上傳送帶到離開傳送帶的過程中，傳送帶對(duì)物塊做的功;（3）物塊與傳送帶間由于摩擦而產(chǎn)生的熱量。

分析求解：（1）物塊從圓弧面滑下后，向左滑上傳送帶，物塊先向左做減速運(yùn)動(dòng)，后向右做加速運(yùn)動(dòng)，加速到速度和傳送帶速度相等后勻速運(yùn)動(dòng)。

物塊在圓弧面運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)用動(dòng)能定理有[mgR=12mv02-0]，解得[v0=2gR=3 m/s]。

向左勻減速運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間和位移為：[t1=v0a=v0μg=32 s]，[x1=v022μg=94 m];向右加速運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間和位移為：[t2=va=vμg=1 s]，[x2=v22μg=1 m];勻速運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間為：[t3=x1-x2v=58 s]。因此，物塊從滑上傳送帶到離開傳送帶運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為[t=t1+t2+t3=258 s]。

（2）傳送帶對(duì)物塊做的功即為傳送帶施加給物塊的摩擦力對(duì)物塊所做的功，即等于物塊動(dòng)能的變化量[W=Wf=12mv2-12mv20=-52J]。

（3）物塊與傳送帶在相對(duì)靜止階段無相對(duì)位移并不產(chǎn)生熱量，只有在相對(duì)滑動(dòng)階段才產(chǎn)生熱量。

相對(duì)滑動(dòng)階段一開始為同向運(yùn)動(dòng)，后來為反向運(yùn)動(dòng)。計(jì)算摩擦產(chǎn)生的熱量時(shí)，關(guān)鍵是要算出物塊與傳送帶間的相對(duì)位移。若在地面參考系中計(jì)算相對(duì)位移需分為兩個(gè)子過程，反向運(yùn)動(dòng)階段相對(duì)位移[x′1=x1+vt1=214m]，同向運(yùn)動(dòng)階段相對(duì)位移[x′2=vt2-x2=1 m]，全過程物塊與傳送帶間的相對(duì)位移[x=x′1+x′2=254? m]。若在傳送帶參考系中計(jì)算相對(duì)位移則較為簡(jiǎn)單，即[x=v2相2a]。物塊相對(duì)傳送帶的初速度[v相=v+v0=5 m/s]，代入公式得[x相=v2相2 μg=（v+v0）2-02 μg=254 m]，所以物塊和傳送帶間因摩擦而產(chǎn)生的熱量[Q=μmg?x相=252J]。

點(diǎn)評(píng)：本題是典型的摩擦生熱問題，熱量的計(jì)算選用的是摩擦力乘以相對(duì)位移的處理方法。因?yàn)橐?jì)算物塊和傳送帶間的相對(duì)位移，而物塊相對(duì)傳送帶先向左運(yùn)動(dòng)，后向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷兩個(gè)子過程，在地面參考系中求解需分子過程，而在傳送帶參考系中可直接求解，所以在計(jì)算熱量求解相對(duì)位移時(shí)應(yīng)靈活選用參考系。

[例2]一質(zhì)量為[M=2 kg]的物塊隨足夠長的水平傳送帶一起運(yùn)動(dòng)，被一水平向左飛來的子彈擊中并從物塊中穿過，如圖4所示。地面觀察者記錄了物塊被擊穿后的速度隨時(shí)間的變化關(guān)系，如圖5所示（圖中取向右運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较颍?，已知傳送帶的速度保持不變，g取10 m/s2。（1）簡(jiǎn)述物塊被擊穿后的運(yùn)動(dòng)過程，指出傳送帶的速度[v]的方向及大小。（2）計(jì)算物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦系數(shù)。（3）傳送帶對(duì)物塊總共做了多少功？（4）系統(tǒng)有多少能量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能？

分析求解：（1）從圖5的[v-t]圖像可看出，物塊先向左減速到[v=0]，后向右加速到[v=2 m/s]，所以傳送帶的速度方向?yàn)橄蛴?，其速度的大小為[v=2 m/s]。

（2）由圖線可知物塊的加速度[a=ΔvΔt=2 m/s2]，由牛頓第二定律有[a=μ MgM=μg]，解得[μ=0.2]。

（3）傳送帶對(duì)物塊做的功，即傳送帶施加給物塊的摩擦力對(duì)物塊做的功，可應(yīng)用功的計(jì)算公式[W=Fx]求解，也可從能量的角度求解，即[Wf=-f x物=12Mv22-12Mv21=-12 J]。

（4）系統(tǒng)減少的能量轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，即產(chǎn)生熱量[Q]，系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱量可從能量守恒的角度求得，也可用一對(duì)相互作用滑動(dòng)摩擦力做功（即[Q=f x相]）求得。由于物塊先與傳送帶反向運(yùn)動(dòng)再同向運(yùn)動(dòng)，以地面為參考系計(jì)算相對(duì)位移時(shí)分解為兩個(gè)子過程求解比較麻煩，若在傳送帶參考系中計(jì)算相對(duì)位移則較為簡(jiǎn)單，即[x相=v2相2 μg=622×2? m=9 m]，代入公式即得系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱量[Q=μ Mg?x相=36 J]。

點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)，可從題目所給圖線中獲取物塊與傳送帶相對(duì)滑動(dòng)前的初速度、傳送帶的速度。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)物塊在傳送帶上經(jīng)歷了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程——反向運(yùn)動(dòng)過程和同向運(yùn)動(dòng)過程，用相對(duì)運(yùn)動(dòng)（換參考系）求解相對(duì)位移，再由[Q=f x相]求解熱量較為方便。

兩個(gè)物體系統(tǒng)在相對(duì)滑動(dòng)的過程中，功能關(guān)系和能量守恒是永遠(yuǎn)遵循的規(guī)律。對(duì)其中任何一個(gè)物體而言，其能量的轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化都是通過相應(yīng)的力做功來實(shí)現(xiàn)的。滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體做的功改變的是物體的機(jī)械能，對(duì)應(yīng)的是機(jī)械能的傳遞。摩擦生熱則是通過一對(duì)相互作用的滑動(dòng)摩擦力做功來實(shí)現(xiàn)的，通過這一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功實(shí)現(xiàn)相互作用系統(tǒng)的機(jī)械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化，所以可從系統(tǒng)能量守恒的角度求得內(nèi)能，即摩擦產(chǎn)生的熱量。同時(shí)，根據(jù)一對(duì)相互作用滑動(dòng)摩擦力做功的特點(diǎn)，可應(yīng)用一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功之和的絕對(duì)值計(jì)算摩擦產(chǎn)生的熱量。

同時(shí)，在相互作用的物體系統(tǒng)內(nèi)必定存在能量的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移，須知在能量轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的過程中，能量的總量是保持不變的，某種形式的能增加，必然會(huì)有相應(yīng)形式的能減少，能的增加量和減少量必定相等。因此，從能量轉(zhuǎn)化與能量守恒定律的角度分析，許多看似糾結(jié)的問題就會(huì)迎刃而解。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 季鐘，姜?jiǎng)?，吳菊?關(guān)于摩擦力做功與“摩擦生熱”問題的討論[J].中學(xué)物理，2015（15）：40-41.

[2]? 張紅燕，亞森江·吾甫爾.關(guān)于摩擦力做功與摩擦生熱的分析[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2012（16）：60.

（責(zé)任編輯 易志毅）

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