小波變換和DGM(2,1)模型在昆明市人口預(yù)測中的應(yīng)用

宋國鵬 張述清 朱大明 阮理念

摘 要：對于昆明市人口呈不均勻的增長趨勢，傳統(tǒng)的灰色預(yù)測方法并不能取得很好的預(yù)測效果。將小波變換與DGM（2，1）模型相結(jié)合，利用小波變換去除原始序列中的噪聲，將非光滑的原始序列轉(zhuǎn)化為相對光滑的新序列，然后通過DGM（2，1）模型對新序列進(jìn)行預(yù)測，可以得到較為滿意的預(yù)測效果。以2006—2014年的昆明市人口數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，預(yù)測2015—2019年5年昆明市人口數(shù)據(jù)，并和傳統(tǒng)GM（1，1）模型、DGM（2，1）模型進(jìn)行對比。結(jié)果表明：小波DGM（2，1）模型的平均絕對百分比誤差為0.15%，DGM（2，1）模型為0.79%， GM（1，1）模型為0.96%，小波DGM（2，1）模型精度高于DGM（2，1）模型和GM（1，1）模型;小波DGM（2，1）模型的均方根誤差與平均絕對誤差都低于GM（1，1）模型和DGM（2，1）模型。由此，以2006—2019年昆明市人口數(shù)據(jù)作為原始序列樣本，用小波DGM（2，1）模型預(yù)測2025、2035年人口為723.07萬人、766.56萬人。

關(guān)鍵詞：小波變換;DGM（2，1）;預(yù)測;人口增長

中圖分類號：N941.5;C924.24

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

人口問題一直以來都是影響城市發(fā)展與國土空間格局的關(guān)鍵因素。隨著人口數(shù)量的不斷增長，從時(shí)間序列上對大中型城市人口建立預(yù)測模型，掌握未來城市人口的變化規(guī)律，識別未來人口空間變化的基本趨勢、合理的人口結(jié)構(gòu)與空間分布是大中型城市實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的重要保障之一。同時(shí)，用來滿足國土空間規(guī)劃編制，分析2025、2035年城鎮(zhèn)體系的優(yōu)化、新型城鎮(zhèn)化發(fā)展過程、城鎮(zhèn)化格局的變化趨勢，研究人口空間變化與城鎮(zhèn)建設(shè)的關(guān)系，對于調(diào)控各類空間資源和城鎮(zhèn)體系結(jié)構(gòu)都發(fā)揮著重要的作用。

關(guān)于人口的預(yù)測問題，近些年來，國內(nèi)學(xué)者利用不同的方法和模型進(jìn)行研究。戴濤明等[1]基于灰色GM（1，1）模型法自身的特點(diǎn)，模型不需要大量的樣本數(shù)據(jù)即可進(jìn)行小樣本數(shù)據(jù)的短期人口預(yù)測，非常適合于小樣本，信息不充分，具有模糊性的系統(tǒng)。黃秋生等[2]采用Leslie矩陣預(yù)測模型，在預(yù)測人口精度較好的同時(shí)預(yù)測變量更加規(guī)范。石賢賢[3] 認(rèn)為Logistic人口增長模型比較適用于樣本量非常大的情況，模型沒有考慮年齡結(jié)構(gòu)，預(yù)測效果不佳，且人口出現(xiàn)負(fù)增長不能預(yù)測。王英偉等[4]認(rèn)為差分自回歸移動平均（autoregressive integrated moving average，ARIMA）模型通常以靈活和簡單被應(yīng)用在時(shí)間序列預(yù)測，但傳統(tǒng)的時(shí)間序列預(yù)測是線性模型，現(xiàn)實(shí)中的時(shí)間序列預(yù)測通常是非線性，因此存在一定的局限性。張姝瑋等[5]利用ARIMA模型不依賴外部變量，能夠在一定程度上克服因考慮因素不全面而影響模型精度不足的問題。張浩等[6]基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有逼近復(fù)雜函數(shù)的良好能力，建立的模型在產(chǎn)量預(yù)測方面得到廣泛的應(yīng)用?？傮w來看，這些模型和方法各有優(yōu)勢，同時(shí)也存在相應(yīng)的不足。

小波變換（wavelet transform，WT）是一種新的變換分析方法[7]，從本質(zhì)上來說，是用小波函數(shù)通過一定的數(shù)學(xué)方法近似地表達(dá)某一信號。它繼承了傅里葉變換的優(yōu)點(diǎn)并克服了其缺點(diǎn)，具有多分辨率的特性，可對信號的頻域和時(shí)域進(jìn)行局部化分析[8]，在濾波方向?qū)π盘柕奶幚硪材馨l(fā)揮出一定的作用，應(yīng)用于諸多領(lǐng)域。

灰色模型（grey model，GM）最初由鄧聚龍教授提出，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展出很多模型[9-11]。其中，由于 GM（1，1）模型對單調(diào)曲線的擬合具有一定的局限性，由此通過一定數(shù)學(xué)方法的改進(jìn)生成GM（2，1），能動態(tài)反映單調(diào)的、非單調(diào)的等多種復(fù)雜情形。同時(shí)，GM （2，1）模型還考慮了原始時(shí)間序列的導(dǎo)數(shù)變化對其影響，因此特別適合變化趨勢不太規(guī)律的時(shí)間序列的預(yù)測[12]。DGM（2，1） 模型是其離散形式，對于處理原始信號的動蕩性效果更好。

本文針對連續(xù)時(shí)間序列的人口數(shù)據(jù)，采用小波DGM（2，1）模型，使用去噪后新的時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù)，通過DGM（2，1）模型預(yù)測2015—2019年5年人口數(shù)據(jù)，提高了預(yù)測的精度，最后預(yù)測了2020—2035年昆明市人口數(shù)據(jù)。

1 小波DGM（2，1）模型

小波DGM（2，1）模型的基本思想就是將小波變換與DGM（2，1）模型組合[12]。通過對非平穩(wěn)的原始序列分解與重構(gòu)，生成新的時(shí)間序列樣本，使非平穩(wěn)的時(shí)間序列變得相對平穩(wěn)。以重構(gòu)的新時(shí)間序列數(shù)據(jù)為建模的基礎(chǔ)，利用DGM（2，1）模型對原始時(shí)間序列樣本做出預(yù)測，從而達(dá)到提高預(yù)測精度的目的。

1.1 小波變換與去噪原理

小波變換是一種能夠提供一個(gè)隨頻率改變的時(shí)域窗口和頻域窗口，具備了局部分析與細(xì)化的能力[8，13]，其中一個(gè)主要優(yōu)勢是窗口的大小不隨頻率變化而變化。它的基本思路可以理解為通過濾波器運(yùn)用卷積的數(shù)學(xué)方法將原始序列分解為兩種分量，即高頻信號（細(xì)節(jié)部分）與低頻信號（逼近部分）。設(shè)原始信號f（t）分解為逼近部分a1和細(xì)節(jié)部分d1，對逼近部分進(jìn)行再一次分解，a1分解為a2和d2，ai分解為ai+1和di+1，同理，an-1分解為an和dn，則原始信號為

f（t）=a1+a2+…+an+d1+d2+…+dn（1）

一般來說，隨著細(xì)節(jié)部分di中的i不斷降低，信號中所包含的噪聲信號也隨之增加，即層次最低的細(xì)節(jié)部分往往包含的噪聲信號最高。通過對分解信號的重構(gòu)，可以消除低層細(xì)節(jié)部分的噪聲，較好地保持原始信號特點(diǎn)。

原始信號f（t）一般可以分為連續(xù)和離散兩種?，F(xiàn)實(shí)中的原始信號f（t）多數(shù)為離散型，連續(xù)小波進(jìn)行離散化操作稱為離散小波變換，則f（t）的連續(xù)小波變換公式為

Wf（a，τ）=a-12∫+∞-∞f（t）ψt-τadt，a>0，τ∈r（2）

式中： f（a，τ）為變量函數(shù)，a為尺度因子;t為變量函數(shù)中的自變量;τ為平移因子;ψ（·）為子小波函數(shù)。

將a、τ進(jìn)行離散化，則f（t）的離散小波變換公式為

Ψj，k（t）=a-j2ψ（2-jt-k）（3）

W（j，k）=∫+∞-∞f（t）ψj，k（t）dt（4）

式中：a=2j;τ=k×2j;Ψj，k（t）為離散小波函數(shù);Wj，k為離散小波變換;ψ*（·）為ψ（·）的共軛。

小波去噪的實(shí)質(zhì)是消除原始信號中的噪聲。通過對原始信號多層分解為細(xì)節(jié)部分和逼近部分，一般來說，隨著逼近部分ai中的i不斷升高，逼近部分越接近原始信號 [12，14-15]，即最高層的近似部分最能表達(dá)原始信號。設(shè)原始信號的分解層次為n，低頻部分為a1，a2，…，an，高頻部分為d1，d2，…，dn，則重構(gòu)的信號為

f^（t）=an+di+di+1+…+dn（5）

式中di取決于原始信號去噪的精度。

1.2 DGM（2，1）模型

灰色系統(tǒng)以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本和貧信息”作為系統(tǒng)研究對象 [16-17]?；疑Ｐ褪菍ο到y(tǒng)內(nèi)部各個(gè)因素之間差異的識別，從原始序列中根據(jù)某些規(guī)則生成具有一定規(guī)律與原始序列相接近的序列，建立微分方程，預(yù)測序列的大致發(fā)展趨勢和走向，為事物的未來做出相應(yīng)的措施，發(fā)現(xiàn)事物未來的價(jià)值。

設(shè)原始非負(fù)序列為

X（0）（k）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}，k=1，2，…，n

X（0）的1-AGO序列X（0）（k）和1-IAGO序列a（1）X（0）（k）為

X（1）（k）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}

其中

X（1）=∑ki=1x（0）（i），k=1，2，…，n

a（1）X（0）（k）={a（1）x（0）（1），a（1）x（0）（2），…，a（1）x（0）（n）}，k=1，2，…，n

其中

a（1）X（0）（k）=x（0）（k）-x（0）（k-1），k=2，3，…，n

則

a（1）X（0）（k）+aX（0）（k）=b（6）

為DGM（2，1）模型[18]，式中a、b分別為發(fā)展系數(shù)和灰色作用量，其中白化方程為

d2x（1）dt2+adx（1）dt=b（7）

若A^=[a，b]T為參數(shù)列，X（0），a（1）X（0）滿足式（6）（7），則 DGM（2，1）模型中的參數(shù)a，b的最小二乘法估計(jì)滿足：

A^=[a，b]T=（BTB）-1Y（8）

其中

B=-x（0）（2）1

-x（0）（2）1

-x（0）（2）1，Y=αx（0）（2）αx（0）（3） αx（0）（n）

則白化方程的響應(yīng)式為

x^（1）（k+1）=ba2-x（0）（1）ae-ak+ba（k+1）+x（0）（1）-ba1+aa（9）

通過一次累減還原，原始序列第k+1期的預(yù)測值可以表達(dá)為

X^（0）（k+1）=X^（1）（k+1）-X^（1）（k），k=1，2，…，n（10）

2 昆明市人口的預(yù)測

2006—2019年昆明市人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)（數(shù)據(jù)來源為云南省統(tǒng)計(jì)局）見表1。由表1可見：昆明市人口數(shù)量整體逐漸上升，呈現(xiàn)不均勻波動增長態(tài)勢，因此運(yùn)用小波DGM（2，1）模型比較適合。

本文采用平均絕對百分比誤差（mean absolute percentage error，MAPE）、均方根誤差（root mean square error，RMSE）和平均絕對誤差（mean absolute eror，MAE） 3個(gè)性能度量指標(biāo)對模型的預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)行評估[15，18]。評價(jià)指標(biāo)為實(shí)際值與預(yù)測值之間的偏差，偏差值越小說明預(yù)測值精度越高。

2.1 GM（1，1）模型預(yù)測

設(shè)原始人口數(shù)量序列為X（0）（k），對X（0）（k）通過一定的數(shù)學(xué)方法變換獲得X（1）（k），以X（1）（k）建立GM（1，1）模型，得到參數(shù)發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b的估計(jì)值為

A^=a^=-0.010 2

b^=609.949 0

則白化方程的響應(yīng)式為

x^（1）（k+1）=60 414.121 569e0.001 02k-59 798.921 569

以2006—2014年人口數(shù)據(jù)建模，對序列做一次累減，通過GM（1，1）模型預(yù)測2015—2019年的人口數(shù)量。

2.2 DGM（2，1）模型

原理同2.1節(jié)，建立DGM（2，1）模型，得到參數(shù)a和b的估計(jì)值為

A^=a^=-0.021 9

b^=-8.129 8

則白化方程的響應(yīng)式為

x^（1）（k+1）=371.223 744（k+1）+11 140.468 3e0.021 9k-10 896.492 04

以2006—2014年人口數(shù)據(jù)建模，對序列做一次累減，通過DGM（2，1）模型預(yù)測2015—2019年的人口數(shù)量。

2.3 小波DGM（2，1）模型

采用db小波，運(yùn)用Mallat算法，進(jìn)行5層分解，消失矩為6，得到各層的高頻細(xì)節(jié)部分為d1， d2， d3， d4， d5;各層的低頻逼近部分為a1， a2， a3， a4， a5。高頻信號分解結(jié)果如圖1所示。

從圖1可以看出，小波系數(shù)d1和 d2的曲線波動幅度比較大，說明細(xì)節(jié)部分d1和 d2存在噪聲。對于信號的重構(gòu)，細(xì)節(jié)部分d1， d2所包含的噪聲所占比例最高，需要去除;一般情況來說，逼近部分a5與原始信號最為接近，最能表達(dá)原始信號，因此選用a5和d3， d4， d5作為重構(gòu)信號。重構(gòu)信號的公式為

x^（0）（k）=a5+d3+d4+d5（11）

重建信號的結(jié)果為

X^（0）（k）={614.431 5，618.128 1，624.909 0，632.693 3，640.722 3，647.213 8，652.457 0，657.850 8，661.741 3}

小波去噪的信號與原始信號對比結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出，原始信號波動起伏比較明顯，運(yùn)用DGM（2，1）模型去噪之后的信號較為光滑，說明去噪效果較好。

以x^（0）（k）作為新的原始時(shí)間序列，利用DGM（2，1）模型進(jìn)行預(yù)測，得到參數(shù)估計(jì)值發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b為

A^=a^=0.019 8

b^=18.616 6

則白化方程的響應(yīng)式為

x^（1）（k）=940.232 323 2（k+1）+16 454.587 03e0.019 8k-16 780.387 86

以2006—2014年人口為建模數(shù)據(jù)，小波分析去除噪聲，然后進(jìn)行一次累減，預(yù)測2015—2019年的人口數(shù)量。3種模型2015—2019 年的人口預(yù)測值及3種誤差評價(jià)指標(biāo)，分別如表 2、3、4所示。

從表2可知，小波DGM（2，1）模型的平均絕對百分比誤差為0.15%，GM（1，1）模型為0.96%，DGM（2，1）模型為0.79%。由此可知，小波DGM（2，1）模型的誤差指標(biāo)經(jīng)對比分析低于其他兩種模型，說明模型組合的精度相比其他兩種模型得到了提高。從表3可以看出，小波DGM（2，1）模型的均方根誤差為2.80，低于GM（1，1）模型的6.67和DGM（2，1）模型的5.50。從表4也可以看出，小波DGM（2，1）模型的平均絕對誤差為2.62，低于GM（1，1）模型的6.52和DGM（2，1）模型的5.35。從3項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)對比可以看出，小波DGM（2，1）模型的預(yù)測誤差均優(yōu)于GM（1，1）模型和DGM（2，1）模型，表明小波DGM（2，1）模型的有效性優(yōu)于另外兩種模型。利用軟件繪制3種模型的預(yù)測人口曲線，如圖3所示。由圖3可以看出，小波DGM（2，1）模型的人口預(yù)測值曲線比GM（1，1）模型、DGM（2，1）模型更接近真實(shí)人口數(shù)據(jù)曲線。

2.4 魯棒性分析

為了檢驗(yàn)不同地區(qū)的人口數(shù)量變化對小波DGM（2，1）模型魯棒性的影響，驗(yàn)證小波DGM（2，1）模型在不同地區(qū)仍然能夠具有較高的預(yù)測精度，本文選取上海市2006—2019年人口數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證數(shù)據(jù)集。表5為上海市人口數(shù)據(jù)在3種模型上的預(yù)測誤差。從表5可以看出：小波DGM（2，1）模型的平均絕對百分比誤差為0.07%，低于GM（1，1）模型和DGM（2，1）模型的0.74%、0.15%;就均方根誤差而言，小波DGM（2，1）模型為3.04萬人，低于另外兩種模型的11.40萬人和4.02萬人;小波DGM（2，1）模型的平均絕對誤差為2.74萬人，低于另外兩種模型的10.74萬人和3.48萬人。因此，3種模型在預(yù)測昆明市和上海市人口中，小波DGM（2，1）模型的評估指標(biāo)均低于傳統(tǒng)的GM（1，1）模型和DGM（2，1）模型，其能夠較好地預(yù)測城市人口的變化，在魯棒性上也有不錯的表現(xiàn)，具有較好的穩(wěn)定性。

本文以2006—2019年共14年昆明市人口原始序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用小波DGM（2，1）模型預(yù)測2020—2035年昆明市的人口數(shù)量，其中，2025、2035年的人口數(shù)量分別為723.07萬、766.56萬，見表6。

3 結(jié)語

針對昆明市時(shí)間序列人口數(shù)據(jù)呈不均勻增長趨勢，傳統(tǒng)的GM（1，1）模型及DGM（2，1）模型對不均勻增長趨勢的人口序列預(yù)測效果并不明顯，而小波變換消除原始信號中的無用噪聲可使其更加光滑，本文將小波變換與DGM（2，1）模型相結(jié)合，預(yù)測昆明市人口數(shù)量。通過和GM（1，1）模型、DGM（2，1）模型對比，小波DGM（2，1）模型的去噪效果、魯棒性均優(yōu)于GM（1，1）模型和DGM（2，1）模型，在昆明市人口數(shù)量預(yù)測中取得較好的效果。人口規(guī)模是各類總體規(guī)劃編制的核心問題之一，因此，小波DGM（2，1）模型不但可以預(yù)測未來人口數(shù)量的變化趨勢，而且從人口規(guī)模的時(shí)間演變研究與城鎮(zhèn)建設(shè)的關(guān)系出發(fā)，還可以為國土空間規(guī)劃編制中的城鎮(zhèn)體系、新型城鎮(zhèn)化與城鎮(zhèn)演變格局提供積極的作用。

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（責(zé)任編輯：周曉南）

Application of Wavelet Transform and DGM （2，1） Model

in Population Prediction of Kunming City

SONG Guopeng1， ZHANG Shuqing*1，2， ZHU Daming1， RUAN Linian1

（1.School of Land and Resources Engineering， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650093， China; 2.Yunnan Institute of Land and Resources Planning and Design， Kunming 650216， China）

Abstract：

For the uneven growth trend of Kunming population， the traditional grey prediction method can not achieve good prediction results. The method of combining wavelet transform with DGM （2，1）model can get a satisfactory prediction result. The noise in the original sequence is removed by wavelet transform， and the non-smooth original sequence is transformed into a relatively smooth new sequence. Then the new sequence of removing noise by wavelet transform is predicted by DGM （2，1） model. Based on the population data of Kunming from 2006 to 2014， the population data of Kunming from 2015 to 2019 are predicted and compared with grey GM （1，1） model and DGM （2，1） model.The results show that the average absolute percentage error of wavelet DGM （2，1） model is 0.15%， DGM （2，1） model is 0.79%， GM （1，1） model is 0.96%， the accuracy of wavelet DGM （2，1） model is higher than that of DGM （2，1） model and GM （1，1） model; The root mean square error and average absolute error of the wavelet DGM （2，1） model are lower than those of the grey GM （1，1） model and DGM （2，1） model. Taking the population of Kunming from 2006 to 2019 as the original sequence sample， the wavelet DGM （2，1） model is used to predict the population of 7.230 7 million and 7.665 6 million in 2025 and 2035.

Key words：

wavelet transform; DGM（2，1）; prediction; population growth

1428500520255