數(shù)學(xué)模型思想與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的思考

■山東省東營(yíng)市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 蓋維丹

數(shù)學(xué)模型思想在人們生產(chǎn)、生活、學(xué)習(xí)、科研等解決實(shí)際問(wèn)題中多有應(yīng)用，信息化時(shí)代，用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法優(yōu)化各種工作方案更是廣泛普及。因此小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模思想，參與建模實(shí)踐和探究活動(dòng)，對(duì)強(qiáng)化小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)具有積極作用。所謂的數(shù)學(xué)建模思想就是利用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力解決生活、工作、學(xué)習(xí)中實(shí)際問(wèn)題的一種方法理念，數(shù)學(xué)建模的方法在生物、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)、氣象、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、物理、化學(xué)、天文、工程、管理等領(lǐng)域都有應(yīng)用。小學(xué)生是祖國(guó)的未來(lái)，是將來(lái)社會(huì)的建設(shè)者和事業(yè)接班人，從小養(yǎng)成數(shù)學(xué)模型思想和思考習(xí)慣，有助于在后續(xù)的學(xué)習(xí)和工作進(jìn)一步更好地應(yīng)用。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的認(rèn)識(shí)和重要性

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的認(rèn)識(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想就是用數(shù)字符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)組成的關(guān)系式，概括、抽象事物發(fā)生、發(fā)展規(guī)律的思維方法和學(xué)習(xí)理念，通過(guò)一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，更直觀地理解掌握數(shù)量關(guān)系、空間形式及現(xiàn)實(shí)世界事物特征的表達(dá)，小學(xué)階段數(shù)字符號(hào)、運(yùn)算關(guān)系式、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的圖像表示、面積公式、應(yīng)用題類型、代數(shù)符號(hào)、代數(shù)式等，都是數(shù)學(xué)模型具體的表達(dá)；數(shù)學(xué)模型思想的實(shí)質(zhì)就是數(shù)形合一思想的表現(xiàn)，屬于最基本的數(shù)學(xué)思想，不斷地滲透數(shù)學(xué)模型思想，才能提高小學(xué)生的抽象思維能力，培養(yǎng)小學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象分析探究問(wèn)題規(guī)律的習(xí)慣，學(xué)會(huì)用科學(xué)的方法思考、解決問(wèn)題。人們?cè)诮鉀Q日常生活、工作、學(xué)習(xí)中的問(wèn)題的過(guò)程中，都喜歡利用經(jīng)驗(yàn)和事物發(fā)展變化的規(guī)律，探討尋找解決問(wèn)題的辦法，這個(gè)利用規(guī)律模式的過(guò)程就是數(shù)學(xué)模型思想的具體運(yùn)用，數(shù)學(xué)模型思想在生活實(shí)踐中的應(yīng)用，提高了解決問(wèn)題的效率，找到了解決問(wèn)題的捷徑，是數(shù)學(xué)能力在改造自然過(guò)程中生產(chǎn)生活能力的轉(zhuǎn)化提高，促進(jìn)了社會(huì)的發(fā)展。如購(gòu)物，一件日用品按正常的價(jià)格出售，獲利10元，如果采取打折的方法進(jìn)行促銷，購(gòu)買此日用品每超過(guò)100件，則打5折，這樣每天出售的日用品的數(shù)量，就會(huì)大大增加，那么，促銷活動(dòng)能不能為商家提高預(yù)期的收益呢？借助數(shù)學(xué)模型，能從理論上推算出銷量達(dá)到多少時(shí)，出售日用品獲利最高。因此，正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型思想，關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用有足夠的了解，懂得數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用方法，讓小學(xué)生從小養(yǎng)成學(xué)用數(shù)學(xué)模型的習(xí)慣，不斷創(chuàng)新解決問(wèn)題的思路、途徑和方法，發(fā)展小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的重要性

模型方法是數(shù)學(xué)方法中的骨干架構(gòu)和關(guān)鍵內(nèi)容，廣泛應(yīng)用于信息化社會(huì)和市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)模型思想的形成就是通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)和抽象，把具體事物或者現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化，發(fā)現(xiàn)事物變化或者實(shí)際問(wèn)題存在的規(guī)律性，將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力進(jìn)行科學(xué)應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)相關(guān)知識(shí)能力的轉(zhuǎn)化，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)潛移默化地滲透于邏輯思維能力、智力能力的發(fā)展的提高過(guò)程，不斷把形象思維能力優(yōu)勢(shì)轉(zhuǎn)化為抽象思維能力，善于從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象中，歸納、概括事物變化規(guī)律和本質(zhì)的要素，利于在解決問(wèn)題中，抓住核心關(guān)鍵的優(yōu)勢(shì)條件。小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想是小學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力創(chuàng)新發(fā)展的具體體現(xiàn)，在新課標(biāo)的10大核心概念中，是“獨(dú)一無(wú)二”的唯一的“思想”概念。并對(duì)這一思想概念的教學(xué)，提出了具體要求，就是把小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的建立作為一種基本途徑，幫助、引導(dǎo)小學(xué)生體會(huì)、理解和探究數(shù)學(xué)與社會(huì)大千世界外界的內(nèi)在聯(lián)系。使小學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的思維習(xí)慣，能在客觀事物變化的現(xiàn)象中，發(fā)現(xiàn)信息，歸納、抽象、概括成數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)知識(shí)、能力，解決問(wèn)題，提高數(shù)形合一思想、等量交換思想、數(shù)量關(guān)系思想等解決實(shí)際問(wèn)題的能力。比如，用數(shù)字符號(hào)、代數(shù)符號(hào)、計(jì)算公式等明確數(shù)學(xué)問(wèn)題、實(shí)踐問(wèn)題中的變化規(guī)律和數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用計(jì)算的方法，獲得“問(wèn)題”的處理“結(jié)果”，并對(duì)結(jié)果的意義，組織探究討論，加深對(duì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用規(guī)律，解決問(wèn)題的方法的認(rèn)識(shí)，逐漸形成數(shù)學(xué)模型思想。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的培養(yǎng)過(guò)程

（一）設(shè)計(jì)課堂流程

小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)及課程改革要求，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)的抽象過(guò)程，運(yùn)算與建模的過(guò)程。培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型思想的過(guò)程中，提高小學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力、概括分析問(wèn)題能力和科學(xué)地解決問(wèn)題能力，能使學(xué)生理解、掌握基本的數(shù)學(xué)模型，能夠在面對(duì)紛繁雜亂的數(shù)學(xué)現(xiàn)象時(shí)，運(yùn)用自己的模型進(jìn)行梳理、求解，把握和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)現(xiàn)象反映的本質(zhì)規(guī)律，排除雜亂數(shù)學(xué)信息的迷惑，把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力。鑒于此，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型思想的環(huán)節(jié)、順序、內(nèi)容等，要構(gòu)建一種體系，形成完善的結(jié)構(gòu)，有利于教學(xué)效果和作用的充分發(fā)揮。整個(gè)教學(xué)活動(dòng)分三步走：第一步，問(wèn)題情境；第二步，建立模型；第三步，求解驗(yàn)證；這三步是一個(gè)連續(xù)的教學(xué)環(huán)節(jié)，表現(xiàn)為一個(gè)整體的課堂教學(xué)活動(dòng)，小學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)學(xué)習(xí)歷程，有利于掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能，循序漸進(jìn)地積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想的本質(zhì)，完成新課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)模型思想教學(xué)的目標(biāo)。

（二）數(shù)學(xué)模型思想建構(gòu)的過(guò)程

數(shù)學(xué)模型思想是科學(xué)的意識(shí)，成熟的經(jīng)驗(yàn)和有效的方法，與數(shù)學(xué)知識(shí)中的概念、性質(zhì)、公式、法則、定律等存在著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，小學(xué)生在經(jīng)歷、體驗(yàn)和探索的過(guò)程中，才能逐步形成數(shù)學(xué)模型思想。如1、2、3、4、5，這幾個(gè)數(shù)字符號(hào)，小學(xué)生從幼兒園、一年級(jí)就開(kāi)始認(rèn)識(shí)、書(shū)寫(xiě)，并利用數(shù)字符號(hào)表示事物的多少，2可以看作2個(gè)蘋(píng)果，也可以看作2支筆、2本書(shū)、2場(chǎng)電影、2件事；等等。從小的事物個(gè)體，到大的事物個(gè)體，從有形的事物個(gè)體到無(wú)形的事物個(gè)體，在長(zhǎng)時(shí)間的練習(xí)、運(yùn)用中，學(xué)生認(rèn)識(shí)了數(shù)字符號(hào)這個(gè)模型，這個(gè)模型能在生活、學(xué)習(xí)中為統(tǒng)計(jì)、計(jì)數(shù)所利用，并且方便、快捷。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的建立，不是一蹴而就的結(jié)果，而是從一年級(jí)到五年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、法則、定律的過(guò)程中，慢慢積累的“產(chǎn)物”。以除法教學(xué)為例，學(xué)生對(duì)除法的接觸、認(rèn)識(shí)、理解逐步抽象概括的過(guò)程，是在減法基礎(chǔ)上的進(jìn)步和創(chuàng)新，知識(shí)和能力的繼續(xù)和發(fā)展。如6÷2=3，第一步，教師要讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)6÷2=3，6÷2的“商”是表示6平均分成2份的結(jié)果，一個(gè)盤(pán)子中，平均放2個(gè)蘋(píng)果；6個(gè)蘋(píng)果，需要多少個(gè)盤(pán)子？一個(gè)鉛筆盒中平均放2支鉛筆，6個(gè)鉛筆需要多少鉛筆盒？一天平均練習(xí)寫(xiě)2個(gè)大字，6個(gè)大字該練習(xí)幾天？在生活中，平均分配蘋(píng)果、鉛筆、大字等事物的問(wèn)題，可能遇到很多，比起一個(gè)一個(gè)地循環(huán)分發(fā)得到結(jié)果的方法，利用這個(gè)6÷2=3模型來(lái)計(jì)算，可以說(shuō)，準(zhǔn)確、快捷，發(fā)生錯(cuò)誤的概率比數(shù)數(shù)要低且更直接簡(jiǎn)單。第二步，對(duì)6÷2=3模型認(rèn)識(shí)的延伸，如果6÷2=3反過(guò)來(lái)，變成6÷3=2的意義，就是6平均分成2份，每份3個(gè)，變成6平均分成3份，每份2個(gè)。就是6個(gè)蘋(píng)果平均分到2個(gè)盤(pán)子，每個(gè)盤(pán)子分到3個(gè)蘋(píng)果；6支鉛筆平均分到2個(gè)鉛筆盒，每個(gè)鉛筆盒分到3支鉛筆；6個(gè)大字平均練習(xí)寫(xiě)兩天，2天每天寫(xiě)3個(gè)大字；6÷2=3和6÷3=2這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型，數(shù)字符號(hào)相同，運(yùn)算符號(hào)相同，商和除數(shù)互不相同，表示的意義卻有很大的區(qū)別，教師要讓學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到兩者之間的區(qū)別，并通過(guò)列式、運(yùn)算的過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型在應(yīng)用中的變化規(guī)律，這就是數(shù)學(xué)模型思想的轉(zhuǎn)化規(guī)律。第三步，對(duì)6÷2=3模型認(rèn)識(shí)的遞進(jìn)。讓小學(xué)生在學(xué)習(xí)6÷2÷3=1的過(guò)程中，回顧6÷2=3模型認(rèn)識(shí)，進(jìn)行合作探究，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的了解、理解，具備一定的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用能力。在教學(xué)中，注重打破“固化式”的死記硬背傳統(tǒng)，不能讓小學(xué)生先背除法口訣再進(jìn)行口算、筆算，而是在6÷2=？從6÷1=？6÷2=？6÷3=？的計(jì)算中，悟出“口訣”內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律，挖掘數(shù)學(xué)模型思想的真諦，強(qiáng)化小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。如此在學(xué)習(xí)中不斷提升學(xué)習(xí)興趣，把數(shù)學(xué)模型思想自然而然地融入數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的應(yīng)用過(guò)程中，讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性功能、特點(diǎn)，學(xué)習(xí)興趣不斷地提升，能夠辨析、梳理不同類數(shù)學(xué)模型間的相互關(guān)系、內(nèi)在聯(lián)系，概括其中的規(guī)律性，能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

（三）堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)模型思想的長(zhǎng)期連續(xù)培養(yǎng)

小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)字符號(hào)模型的應(yīng)用，公式、性質(zhì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，從低年級(jí)一直到高年級(jí)，循序漸進(jìn)，小學(xué)生在各種數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)、應(yīng)用，再認(rèn)識(shí)、再應(yīng)用的過(guò)程中，才能形成數(shù)學(xué)模型思想意識(shí)。以分步應(yīng)用題教學(xué)為例，第一步，必須建立在小學(xué)生熟悉運(yùn)算模型的基礎(chǔ)上。如300÷（30+20）=6這個(gè)四則運(yùn)算模型，就是按照“先算乘除，后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)”的法則順序進(jìn)行計(jì)算，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生鞏固練習(xí)200÷（30+10）=？500÷（80+20）=？800÷（30+50）=？等。第二步，提出問(wèn)題：要挖一條長(zhǎng)300千米的水渠，兩個(gè)工程隊(duì)分別從水渠工程的兩端開(kāi)始施工，問(wèn)幾天后兩個(gè)工程隊(duì)挖通相遇？這是個(gè)典型的相遇問(wèn)題模型，學(xué)生要掌握的數(shù)學(xué)核心知識(shí)要素有兩個(gè)：第一個(gè)是兩個(gè)工程隊(duì)每天挖多少千米；用數(shù)字符號(hào)模型表示，即30km、20km；然后，利用加法計(jì)算模型進(jìn)行計(jì)算，30+20=50；第二個(gè)是水渠總長(zhǎng)多少千米，即300km；了解掌握這兩大知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用除法計(jì)算模型，就能得出相應(yīng)的結(jié)果，即300÷50=6。第三步：數(shù)學(xué)模型思想培養(yǎng)的拓展延伸。在原來(lái)的問(wèn)題中，增加知識(shí)元素和數(shù)學(xué)模型內(nèi)容，即2020年，劉家灣要在山南修建一條長(zhǎng)300km的東西向水渠，王四工程隊(duì)和劉二工程隊(duì)承攬施工，王四工程隊(duì)人多機(jī)械設(shè)備條件好，每天能挖30km；劉二工程隊(duì)機(jī)械設(shè)備差，人少，每天只挖20km，從2月25日開(kāi)始，兩個(gè)工程隊(duì)，分別從東西兩端施工，問(wèn)，幾月幾日才能挖通？在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，除了利用300÷（30+20）=6數(shù)學(xué)模型外，還要引入日歷模型，即一年12個(gè)月，1、3、5、7、8、10、12為大月，每月31天。4、6、9、11為小月份，每月30天；2月份閏年為29天，平年為28天；在解決問(wèn)題的過(guò)程中，必須明白2020年是平年還是閏年，然后，從計(jì)算結(jié)果的6天中，從2月25日開(kāi)始計(jì)算，結(jié)合平年、閏年的日歷模型，對(duì)工程竣工時(shí)間進(jìn)行評(píng)估。這樣，從低年級(jí)的數(shù)字符號(hào)模型，中年級(jí)的四則運(yùn)算模型，到高年級(jí)的應(yīng)用題模型+日歷等生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)能力模型的運(yùn)用，小學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想逐漸形成，不但能解析應(yīng)用題，還能對(duì)生產(chǎn)、生活中工程施工、經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)等通過(guò)構(gòu)建模型進(jìn)行計(jì)算預(yù)判，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)能力在社會(huì)發(fā)展中服務(wù)功能和作用的發(fā)揮。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型思想培養(yǎng)層次把握

（一）讓學(xué)生探究摸索數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過(guò)程

數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建及解決問(wèn)題的過(guò)程，能激發(fā)小學(xué)生的興趣，獲得克服困難、取得成功的成就感。比如，讓低年級(jí)的學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)字符號(hào)模型，進(jìn)行物體多少的計(jì)數(shù)；“8”表示8只杯子；8本書(shū)；8雙襪子；8個(gè)人……小學(xué)生理解、掌握了數(shù)字符號(hào)模型，樹(shù)立了數(shù)學(xué)模型思想，在對(duì)無(wú)序的事物或問(wèn)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)清理時(shí)，能做到思路清晰，先分類，再計(jì)數(shù)，不至于在計(jì)數(shù)過(guò)程中分不清類別、順序和計(jì)算方法。在教學(xué)中，教材中很多現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型都是前人長(zhǎng)期辛勤探究的結(jié)果，像數(shù)字符號(hào)、代數(shù)式、計(jì)算法則、公式、定律等，不能讓小學(xué)生死記硬背公式、法則，要引導(dǎo)、指導(dǎo)、啟發(fā)小學(xué)生探究構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。又如，“圓的面積”的教學(xué)，在小學(xué)生了解了面積的概念后，基于長(zhǎng)方形面積求解的模型，教師指導(dǎo)小學(xué)生把圓形以圓心為起點(diǎn)，圓周上的任一點(diǎn)為終點(diǎn)，進(jìn)行連線，把圓形平均分成若干等分，在此過(guò)程中，可以比賽，看看誰(shuí)分的份數(shù)更多，激發(fā)學(xué)生探究的興趣，然后，進(jìn)行歸類整合，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，圓形變成了長(zhǎng)方形的過(guò)程，運(yùn)用長(zhǎng)方形的面積公式模型，求解圓形的面積，理解圓的“半徑”與長(zhǎng)方形的“寬”的關(guān)系，長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”與圓形的周長(zhǎng)的關(guān)系。通過(guò)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過(guò)程，樹(shù)立數(shù)學(xué)模型思想。

（二）化解小學(xué)生數(shù)學(xué)模型探究的難度

小學(xué)生年齡小，生活閱歷不夠，知識(shí)面窄，在探究數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建運(yùn)用過(guò)程中存在不同的難度，教師要給予啟發(fā)、將其化難為易，激勵(lì)學(xué)生不斷進(jìn)步。如速度模型、反比例模型等抽象程度較高的數(shù)學(xué)模型。

（三）運(yùn)用熟悉的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，舉一反三，鞏固練習(xí)

教師要根據(jù)各個(gè)年級(jí)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和教學(xué)大綱的要求，讓學(xué)生結(jié)合生活中的購(gòu)物、工程、分配、統(tǒng)計(jì)等現(xiàn)象、經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用熟悉的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型思想的進(jìn)步。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是個(gè)融合的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，數(shù)學(xué)模型思想與數(shù)學(xué)模型運(yùn)用是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的兩個(gè)方面，必須結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生構(gòu)建模型的能力，把實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、具體化，概括規(guī)律，以利于解決問(wèn)題。