具有2-正則共軛類素圖的群

皇甫瑩,何立國

(沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

群是現(xiàn)代代數(shù)中最基本也是最重要的概念之一,它在數(shù)學(xué)本身以及現(xiàn)代技術(shù)的很多方面都有著廣泛的應(yīng)用。對于有限群中蘊(yùn)含的一些數(shù)量,例如,共軛類長及其素因子、元素的階及其素因子、不可約特征標(biāo)次數(shù)及其素因子等進(jìn)行約束，研究相應(yīng)的群結(jié)構(gòu)是有限群論的一個重要研究領(lǐng)域[1-4]。其中利用圖論的方法對這些數(shù)量的算數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行約束,研究其對應(yīng)群結(jié)構(gòu),則是它的一個特色[5-7]。約束這些數(shù)量的圖通常是公共因子圖和素圖[8]。有限群G的共軛類長素圖的頂點(diǎn)是G的所有共軛類長素因子,2個頂點(diǎn)p、q有邊相連當(dāng)且僅當(dāng)pq整除群G的某一共軛類長。文獻(xiàn)[9]證明了群G的共軛類長素圖至多有2個連通分支，且n(Γ)=2時,G為可解群。文獻(xiàn)[10]證明了連通圖的直徑最大為3,不連通圖對應(yīng)的每個連通分支都是完全子圖。文獻(xiàn)[11]研究了4個頂點(diǎn)1-正則圖時群G的結(jié)構(gòu)。本文研究4個頂點(diǎn)2-正則圖的群結(jié)構(gòu)。4個頂點(diǎn)2-正則圖就是一個長方形,2-正則圖剛好由2個三角形構(gòu)成,利用已知結(jié)果研究這2個圖對應(yīng)的群結(jié)構(gòu),并利用GAP研究了這兩類群的存在性及更具體的結(jié)構(gòu)[12]。

無特殊說明,文中符號都是標(biāo)準(zhǔn)的,參見文獻(xiàn)[13]。特別指出“:”表示半直積。

1 主要引理

引理1.1設(shè)G為任一有限群,則|G/Z(G)|的所有素因子均為共軛類長素圖的頂點(diǎn),即ρ*(G)=π(G/Z(G))。

證明見文獻(xiàn)[9]中引理1.9。

引理1.2設(shè)G為任一有限群,p,q∈ρ*(G)(p≠q)。若群G的任一共軛類長均不被pq整除,則G要么是p-冪零群,要么是q-冪零群。

證明見文獻(xiàn)[1]中定理33.8。

引理1.3設(shè)G是任一有限群,那么共軛類長素圖Γ*(G)不連通當(dāng)且僅當(dāng)G是擬弗比紐斯群,且其核與補(bǔ)均為交換群。

證明見文獻(xiàn)[1]中定理4.1及推論4.2后評述。

引理1.4設(shè)G是任一有限群,N是G的一個正規(guī)子群,那么N與G/N的共軛類長素圖均為Γ*(G)的子圖。

證明由文獻(xiàn)[10]的引理1可得。

引理1.5當(dāng)G為可解群,p,q,r為Γ*(G)中的3個不相同的頂點(diǎn),那么必有pq|cl(G),qr|cl(G),rp|cl(G)三者之一成立,即3個頂點(diǎn)中至少有2個頂點(diǎn)間存在一條邊連接。

證明由[14]的引理1.3可得。

2 主要結(jié)果

定理2.1設(shè)G是一個有限群,如果Γ*(G)是4頂點(diǎn)的2-正則圖,那么G是可解群且G=(N:H)×K,其中N是G的正規(guī)Hall-子群,H是G的交換Hall-子群,|π(N)|=|π(H)|=2,K是G的中心Hall-子群,且2子群N,H,K的階兩兩互素。

證明設(shè)有限群G的共軛類長素圖是4個頂點(diǎn)的正則圖,不妨設(shè)其4個頂點(diǎn)依次為p1,p2,p3,p4由引理1.1知ρ*(G)=π(G/Z(G))。設(shè)K是G的極大中心Hall-子群,則有G=M×K并且G與M有相同的共軛類長素圖。可知M的中心Hall-子群是平凡的,可得ρ(M)=π(G)。由于p1,p3是不相鄰的頂點(diǎn),因此不存在M的共軛類長同時含有素因子p1,p2。應(yīng)用引理1.2, 可設(shè)M是p1冪零的且Sylowp1-子群P是交換的,所以有M=N1:P,其中N1是M的正規(guī)Hall-子群。由于p2,p4也不相鄰,同理可得M=N2:Q,其中N2是M的正規(guī)Hall-子群,Q是M的交換Sylowp2-子群。故N=N1∩N2也是M的正規(guī)Hall-子群,且其階剛好含有2個不同的素因子。進(jìn)一步得M=N:H,H是M的Hall-子群。又因?yàn)?/p>

H≌M/N=M/N1∩N2M/N1×M/N2≌P×Q

得H是交換群。由于M的階恰含有2個不相等的素因子,利用Burnsidepq-定理可得G是可解群。證畢。

定理2.2設(shè)G是有限群,如果Γ*(G)是含有2個連通分支的2-正則圖, 則G是可解群且G=(U:H)×K,其中U是G的正規(guī)交換Hall-子群,H是G的交換Hall-子群。Z(U:H)≤H,|π(U)|=|π(H/Z(U:H))|=3,K是G的中心Hall-子群, 且3子群N,H,K的階兩兩互素。

證明由于Γ*(G)的連通分支數(shù)n(Γ)=2, 由引理1.3可得G/Z(G)是弗比紐斯群。因?yàn)棣?(G)=π(G/Z(G))及G/Z(G)的中心是平凡的, 由引理1.4得Γ*(G/Z(G))=Γ*(G)。又由引理1.3知G/Z(G)的核與補(bǔ)均為交換群, 故其共軛類長素圖中的2個分支是完全子圖。又因?yàn)棣?(G)是2-正則圖,且由引理1.5可得每個分支對應(yīng)的子圖都是三角形,因此有|π(G/Z(G))|=6。設(shè)K是G的極大中心Hall-子群,則有G=M×K，且G與M有相同的共軛類長素圖。由引理1.3得M/Z(M)是弗比紐斯群,即M/Z(M)=N/Z(M):H/Z(M)。因?yàn)閆(M)=Oπ(M),可得Z(M)是N的正規(guī)Hall-子群,故有N=U×Z(M), 進(jìn)而得出M=U:H,其中U與H的階互素。由于每個分支均為三角形，知|π(U)|=|π(H/Z(M))|=3。證畢。

因?yàn)?×3×5×7×11×13=30030,所以具有2個連通分支的2-正則圖所對應(yīng)的群階至少為30030。利用GAP對30030階的144個小群進(jìn)行檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)144個圖中含有6個頂點(diǎn)的圖37個,對這37個群進(jìn)行逐一驗(yàn)證得出,它們對應(yīng)的圖均不滿足2個連通分支2-正則共軛類長素圖的結(jié)構(gòu),故在所有階為30030的群所對應(yīng)的共軛類長素圖中不含2個連通分支的2-正則圖。

定理2.3設(shè)G為2000階以內(nèi)的群,如果它的共軛類長素圖為4個點(diǎn)的2-正則圖,那么群G與下列結(jié)構(gòu)之一同構(gòu):D10×(C7∶C3),S3×(C11∶C5),(C5∶C4)×(C7∶C3),C2×(D10×(C7∶C3)),(C7∶C3)×D22,A4×(C11∶C5)，C3×(S3×(C11∶C5)),C2×(A4×(C11∶C5))。

證明利用GAP可求得2000階以內(nèi)群的共軛類長素圖為4個點(diǎn)圖共1 192個,通過它們的共軛類長集,歸納總結(jié)出滿足4個頂點(diǎn)2-正則圖的群共有128個,下面給出定理中提到的群結(jié)構(gòu)在小群庫中的群號及共軛類長集:

SmallGroup(210,2),[1,2,3,4,5,6,7,14,15,35],D10×(C7∶C3);

SmallGroup(330,2),[1,2,3,5,6,10,11,15,22,33],S3×(C11∶C5);

SmallGroup(390,2),[1,2,3,4,5,6,13,15,26,65],D10×(C13∶C3);

SmallGroup(420,2),[1,2,3,4,5,6,7,14,15,35],(C5∶C4)×(C7∶C3);

SmallGroup(420,18),[1,2,3,5,6,7,14,15,35],C2×(D10×(C7∶C3));

SmallGroup(462,1),[1,2,3,6,7,14,33,77],(C7∶C3)×D22;

SmallGroup(660,16),[1,3,4,5,11,15,20,33,44],A4×(C11∶C5);

SmallGroup(660,18),[1,2,3,5,10,11,15,22,33],C3×(S3×(C11∶C5));

SmallGroup(1320,143),[1,3,5,11,15,20,33,44],C2×(A4×(C11∶C5));

其中，Cn表示n階循環(huán)群,Dn表示二面體群,Sn表示n次對稱群,An表示n次交錯群,且通過上述推導(dǎo)可以得出定理2.1結(jié)論。