直覺(jué)模糊知識(shí)粒的分解與合成研究*

張創(chuàng)邦 王青海

（青海師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 西寧 810008）

1 引言

1982 年P(guān)awlak 提出粗糙集理論，其作為一種處理不完備、不確定、不精確數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)工具，將人類客觀知識(shí)抽象為多元關(guān)系，構(gòu)建粗糙集模型本質(zhì)轉(zhuǎn)化為信息在多元關(guān)系下的關(guān)聯(lián)推理和知識(shí)發(fā)現(xiàn)［1～2］。該理論已在數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域有很多成功應(yīng)用［1，3］。

隨著人工智能理論及應(yīng)用的迅猛發(fā)展，針對(duì)現(xiàn)實(shí)世界各領(lǐng)域數(shù)據(jù)日益復(fù)雜和智能建?，F(xiàn)實(shí)需求，對(duì)粗糙集模型科學(xué)擴(kuò)展已成為粗糙集理論發(fā)展的關(guān)鍵瓶頸。Zadeh提出的模糊集是處理模糊性和不確定性知識(shí)的另一種數(shù)學(xué)工具［4］。模糊集能有效對(duì)模糊信息及不確定性信息進(jìn)行客觀表達(dá)和有效度量，解決了很多的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。例如：過(guò)濾冗余信息并提取關(guān)鍵特征的模糊決策［5］；從模糊前提集中得到模糊結(jié)論的模糊推理［6］；能明顯降低時(shí)間復(fù)雜度的模糊計(jì)算［7］；某些聚類問(wèn)題中有更好聚類效果的模糊聚類［8］。模糊集已發(fā)展出豐富的推廣集，比如Zadeh 的二型模糊集能同時(shí)對(duì)個(gè)體內(nèi)和個(gè)體間的不確定性建模［9］；Gorzafczany 的區(qū)間值模糊集更加適用于隸屬函數(shù)不易確定的情況［10］；Atanassov的直覺(jué)模糊集能更細(xì)膩的描述客觀世界的模糊性本質(zhì)［11］；Yager 的Pythagorean 模糊集拓寬了直覺(jué)模糊集的適用范圍［12］；Cuong 等的圖片模糊集比直覺(jué)模糊集更加全面地描述模糊情景［13］。由于粗糙集與模糊集具有典型的互補(bǔ)性，兩者的結(jié)合一直是粗糙集模型擴(kuò)展的重要方向。1990 年Dubois 等提出模糊粗糙集［14］，之后很多學(xué)者研究了vague 粗糙集［15］及模糊區(qū)間粗糙集［16］等，為模糊信息在模糊知識(shí)發(fā)現(xiàn)與近似推理提供了計(jì)算模型，有效解決了模糊信息屬性約簡(jiǎn)及規(guī)則提取問(wèn)題。1998 年Chakrabarty等提出直覺(jué)模糊粗糙集［17］，為直覺(jué)模糊信息的知識(shí)發(fā)現(xiàn)與近似推理提供了計(jì)算依據(jù)。隨著多論域、多異構(gòu)、多需求數(shù)據(jù)的不斷出現(xiàn)，粗糙集模型及理論仍然是復(fù)雜數(shù)據(jù)智能約簡(jiǎn)與科學(xué)建模的重要方法之一。

粒計(jì)算［18］是近年來(lái)發(fā)展迅速且融合了粗糙集、模糊集、商空間等多種理論的智能計(jì)算框架。其基本思想是人類抽象和表達(dá)知識(shí)的形式化方法。知識(shí)粒具有層次結(jié)構(gòu)，通過(guò)分解與合成策略可將復(fù)雜問(wèn)題粒與簡(jiǎn)化問(wèn)題粒進(jìn)行映射和聚合，得到解決復(fù)雜問(wèn)題的有效方法。吳明芬等為研究知識(shí)粒的分解而提出一種不同的雙論域粗糙集模型［19］，該模型在兩個(gè)近似空間(U,R1)和(V,R2)基礎(chǔ)上，構(gòu)建出新的近似空間(U×V,R1∏R2)，并將其稱為積近似空間。其中R1ΠR2為笛卡爾積(U×V)上的一個(gè)二元等價(jià)關(guān)系。吳明芬等還將這種近似空間推廣到模糊環(huán)境［20］，提出積模糊粗糙集和積近似空間中可定義集的分解問(wèn)題，將多維對(duì)象元組的積粗糙集數(shù)據(jù)處理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維粗糙集模型合成運(yùn)算，以有效提高復(fù)雜模型計(jì)算效率，降低計(jì)算復(fù)雜度。

將直覺(jué)模糊積粗糙集進(jìn)行分解與組合研究，探尋積模型可計(jì)算性和形式化表達(dá)，揭示其分解與組合之間轉(zhuǎn)換的客觀規(guī)律無(wú)疑具有重要意義。文章在吳明芬等提出的積模糊粗糙集基礎(chǔ)上將集合擴(kuò)展到直覺(jué)模糊集，而且將算子擴(kuò)展到更一般的三角模運(yùn)算；定義了直覺(jué)模糊近似空間的積等價(jià)關(guān)系和直覺(jué)模糊近似空間的積近似空間；研究了基于直覺(jué)模糊知識(shí)粒的積粗糙集模型表示、分解及合成規(guī)律。

2 基礎(chǔ)知識(shí)

定義1［21］（直覺(jué)模糊集）設(shè)U是一個(gè)給定論域，則U上的一個(gè)直覺(jué)模糊集A={＜x,μA(x),γA(x)＞|x∈U}。其中μA(x):U→[0,1]和γA(x):U→[0,1]分別代表A 的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，且?x∈U,0 ≤μA(x)+γA(x)≤1。U上的所有直覺(jué)模糊集構(gòu)成的集合表示為IF(U)。

為表達(dá)簡(jiǎn)潔，本文有時(shí)用格表示直覺(jué)模糊集［22］，即將上述映射A:U→L記為A(x)=(μA(x),γA(x))。其中L={＜μ,γ＞∈[0,1]2|μ+γ≤1}，其單位元為1L=(1,0)，零元為0L=(0,1)。后面出現(xiàn)的L含義相同。

對(duì)于任一非空子集A?L，?(μ,γ)∈A，A的上下確界有如下定義：

定義2［22］直覺(jué)模糊三角模［22］T（直覺(jué)模糊t-模），S（直覺(jué)模糊s-模）稱為t-可表示的，若存在對(duì)偶模糊t- 模t和s- 模s滿足，?x,y∈L，T(x,y)=(t(x1,s(x2,y2))和S(x,y)=(s(x1,y1),t(x2,y2))。

一對(duì)t-可表示的直覺(jué)模糊t-模T和直覺(jué)模糊s-模S關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)直覺(jué)模糊否定算子N對(duì)偶，即

一種特殊的直覺(jué)模糊三角?！猌adeh 算子（模糊環(huán)境下Zadeh算子為∧，∨）：

定義3［21］（單論域上的直覺(jué)模糊關(guān)系）設(shè)論域U，直積U×U上的一個(gè)直覺(jué)模糊集R稱為一個(gè)直覺(jué)模糊關(guān)系，記為R(x,y)={＜(x,y),μR(x,y),γR(x,y)＞|(x,y)∈U×U}其中(μR(x,y),γR(x,y))∈L。

定義4［21］設(shè)R∈IF(X×Y)，P∈IF(Y×Z)是兩個(gè)直覺(jué)模糊關(guān)系，則它們的合成關(guān)系R?P∈IF(X×Z) 定義為R?P={＜(x,z),μR?P(x,z),γR?P(x,z)＞|x∈X,z∈Z}。其中：

為直覺(jué)模糊集A在近似空間IFSA上的粗糙集。其中ψ為直覺(jué)模糊蘊(yùn)含算子。

對(duì)偶性不是任意直覺(jué)模糊粗糙集都具備的，所以在這里有近似空間算子上的限制——蘊(yùn)涵算子限制為直覺(jué)模糊S-蘊(yùn)涵算子ψN,S。具有對(duì)偶性的直覺(jué)模糊粗糙集可以用矩陣簡(jiǎn)單表示。

定理2 設(shè)IFAS=(U,R,ψS,N,T)（各參數(shù)含義同定理1），論域U={u1,u2,…,un}，U上的一個(gè)直覺(jué)模糊等價(jià)關(guān)系R，記為R=(rij)n×n。 ?A∈IF(U)，記為A=(a1,a2,…,an)T。則，

其中矩陣乘運(yùn)算“*”中的元素乘運(yùn)算為T(mén)運(yùn)算，元素“乘積”的和運(yùn)算為求上確界運(yùn)算sup。

證明：根據(jù)矩陣運(yùn)算的形式對(duì)照即可得到式（1）。根據(jù)定理1，另外直覺(jué)模糊集的補(bǔ)運(yùn)算算子是標(biāo)準(zhǔn)的直覺(jué)否定算子，即為對(duì)合算子，可知式（2）必然成立。

作為直覺(jué)模糊粗糙集的矩陣表示，式（1）只是在表達(dá)方式上和矩陣運(yùn)算進(jìn)行了對(duì)應(yīng)，故不需要限制條件，而式（2）建立在直覺(jué)模糊粗糙集的對(duì)偶性基礎(chǔ)上。

3 直覺(jué)模糊近似空間的積近似空間

將吳明芬等的積模糊粗糙集模型推廣到直覺(jué)模糊的情況，并將算子推廣到三角模。同時(shí)為保留更好的性質(zhì)，將定義中用到的模糊t-模和s-模限定為一對(duì)對(duì)偶算子。在此前提下給出直覺(jué)模糊積等價(jià)關(guān)系和相應(yīng)近似空間的定義，構(gòu)造相應(yīng)的粗糙集模型。

3.1 直覺(jué)模糊積等價(jià)關(guān)系

引理1 對(duì)于三角模T（模糊或直覺(jué)模糊的t-模或s-模）有T(T(a,b),T(c,d))=T(T(a,c),T(b,d))

證明：根據(jù)T的交換律和結(jié)合律：

定理3 定義7 在U×V上的直覺(jué)模糊關(guān)系R1∏R2為等價(jià)關(guān)系。

證明：只證傳遞性。

又因?yàn)镽1，R2是傳遞的，即R1?R1(u,u″)≤R1(u,u″)，R2?R2(v,v″)≤R2(v,v″)，且T具有單調(diào)性，可知

3.2 計(jì)算積直覺(jué)模糊等價(jià)關(guān)系的算法原理

直覺(jué)模糊元素A(xi)=(μA(xi),γB(xi))組成的矩陣上可定義類似兩個(gè)矩陣Kronccker積的運(yùn)算。

定義8 設(shè)A=(aij)n×n，B=(bkl)m×m，aij,bkl∈L

其中L={（μ,γ)|μ,γ≤1且μ+γ≤1}，則A，B矩陣的廣義Kronccker 積為A?B=(T(aij,B))mn×mn，其中T(aij,B)=(T(aij,bkl))m×m，從而

證明：由定義7和定義8可得出結(jié)論。

定理4 可作為基于兩個(gè)直覺(jué)模糊等價(jià)關(guān)系的積關(guān)系算法的原理。具體算法省略。

3.3 直覺(jué)模糊近似空間的積近似空間

定義9 設(shè)(U,R1)，（V,R2)為兩個(gè)直覺(jué)模糊近似空間，則稱(U×V,R1∏R2)為這兩個(gè)直覺(jué)模糊空間的積近似空間，即為一個(gè)二維積近似空間。

定義10 設(shè)兩個(gè)直覺(jué)模糊近似空間(U,R1)，（V,R2) 的積近似空間(U×V,R1∏R2) ，對(duì)于?(u,v)∈U×V，?M∈IF(U×V) 關(guān)于直覺(jué)模糊等價(jià)關(guān)系R1∏R2的上、下近似分別為

因?yàn)橹庇X(jué)模糊積粗糙集本質(zhì)上依然是直覺(jué)模糊粗糙集，其關(guān)系本質(zhì)上依然是二元關(guān)系，所以直覺(jué)模糊積粗糙集依然具有直覺(jué)模糊粗糙集的基本性質(zhì)、單調(diào)性、冪等性、對(duì)偶性等。同樣對(duì)偶性目前也僅限于(U×V,R1∏R2,ψS,N,T)直覺(jué)模糊積近似空間。

3.4 求直覺(jué)模糊積粗糙集的算法原理

根據(jù)定義8、定義10、定理2、定理4 以及直覺(jué)模糊積近似空間(U×V,R1∏R2,ψS,N,T)上的上、下近似的對(duì)偶性，給出其粗糙集的算法原理，具體算法省略。

4 直覺(jué)模糊積近似空間知識(shí)粒的分解

積近似空間是將兩個(gè)論域的等價(jià)關(guān)系合成一個(gè)論域的等價(jià)關(guān)系，本質(zhì)上是知識(shí)粒合成。反過(guò)來(lái)，能不能將一個(gè)論域的等價(jià)關(guān)系分解為兩個(gè)論域的，即進(jìn)行知識(shí)粒的分解？吳明芬等首先提出這種分解的思想和概念，并研究了精確集和模糊集的情況，但對(duì)積模糊粗糙集的分解退化到了粗糙模糊集的情況，如下面所引定理5。為進(jìn)一步研究直覺(jué)模糊積粗糙集的分解，本文補(bǔ)充研究了積模糊粗糙集的分解。

先補(bǔ)充說(shuō)明模糊集和精確集的表示方法。分別用F(U)和P(U)表示論域U上的所有模糊集和精確集。

定義11 設(shè)M∈F(U×V) ，若存在X∈F(U) ，Y∈F(V)，對(duì)?(u,v)∈U×V，有模糊三角模t，使得M(u,v)=t(X(u),Y(v))成立，則稱模糊集M是t模可分解的。 特別如M∈P(U×V) ，且存在X∈P(U) ，Y∈P(V) ，使得M=X×Y，則稱集合M是清晰可分解的。

此定義將吳明芬等的模糊可分解定義［20］擴(kuò)展到了模糊t-模可分解。

定義12 設(shè)兩個(gè)模糊近似空間(U,R1)，（V,R2)的積近似空間(U×V,R1∏R2)，模糊等價(jià)關(guān)系R1∏R2((u,v),(u′,v′))=t(R1(u,u′),R2(v,v′)) 。對(duì)于?(u,v)∈U×V，?M∈F(U×V)關(guān)于直覺(jué)模糊等價(jià)關(guān)系R1∏R2的上、下近似分別為

定義13 設(shè)M∈IF(U×V)，若存在X∈IF(U)，Y∈IF(V), 使 得 對(duì) ?(u,v)∈U×V,M(u,v)=T(X(u),Y(v))成立，則稱直覺(jué)模糊集M是T可分解的。

定理7 設(shè)有限論域U，V。M∈IF(U×V)是T可分解的，當(dāng)且僅當(dāng)存在X∈IF(U)，Y∈IF(V)，直覺(jué)模糊t-模T，使得M=X?Y。

證明：根據(jù)定義8和定義13可知結(jié)論成立。

例：設(shè)U={u1,u2}，V={v1,v2}，U×V={(u1,v1),(u1,v2),(u2,v1),(u2,v2)} ，若有M∈IF(U×V) ，且M=(＜0.6,0.2 ＞,＜0.4,0.6 ＞,＜0.3,0.5 ＞,＜0.7,0.1 ＞)T,則可驗(yàn)證M不是直覺(jué)模糊TM?？煞纸獾?。

定理8 設(shè)(U1,R1,∨,∧)，(V,R2,∨,∧)是直覺(jué)模糊近似空間，M∈IF(U×V)是直覺(jué)模糊Zadeh算子∧可分解的，即存在X∈IF(U)，Y∈IF(V)，使得對(duì)?(u,v)∈U×V，均有M(u,v)=X(u)∧Y(v) 成立，則對(duì)?(u,v)∈U×V有

從以上結(jié)果可知，二維模糊積近似空間的模糊可分解集確實(shí)可用一維模糊近似空間的知識(shí)粒表示。同樣，直覺(jué)模糊積近似空間的直覺(jué)模糊可分解集也可用一維直覺(jué)模糊近似空間上的知識(shí)粒來(lái)表示。

5 結(jié)語(yǔ)

本文基于直覺(jué)模糊知識(shí)粒視角研究了直覺(jué)模糊環(huán)境下積模型的分解與合成：通過(guò)一維直覺(jué)模糊知識(shí)粒合成了相應(yīng)的二維模糊知識(shí)粒，分析了任意二維直覺(jué)模糊知識(shí)粒的分解性問(wèn)題，驗(yàn)證了存在不可分解的情況，得到了直覺(jué)模糊積模型變換的一些重要結(jié)論。目前對(duì)于復(fù)雜模糊知識(shí)粒的分解和合成問(wèn)題仍處于初級(jí)研究階段，深入研究復(fù)雜模糊知識(shí)粒的相互轉(zhuǎn)化這一科學(xué)問(wèn)題，尤其是復(fù)雜模糊知識(shí)?？煞纸庑耘卸ê椭庇X(jué)模糊邏輯研究對(duì)于復(fù)雜模糊場(chǎng)景建模與推理具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，這也是本文下一步研究方向。